n次迭代还原函数的一个构造定理的改进

定义1^[1]记函数f（x）=f^[1]（x）,f（f（x））=f^[2]（x）,…,f（f（…f（x）…））=f^[n]（x）,f^[n]（x）为f（x）的n次迭代．     

对一道习题的思考

从相关习题出发，借助夹逼定理可证明：lim n→∞（b1a^n1＋b2a^n2＋…＋bma6n m）1/n=max{a1,a2,…,am}；设函数φ（x）,f（x）在[a,b]上都是正连续函数，则有lim n→∞{∫^b aφ（x）[f（x）]^n dx}^1/n=max a≤x≤b{f（x）}     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f（x）=x^2＋bx＋c进行n次迭代，得到f^[n]（x），其中f^[1]（x）=f（x）．函数f（x）有无不动点（即方程f（x）=x有无实数根）对方程f^[n]（x）=x解的情况有何影响？文[1]、文[2]对此进行了探讨，得到一些颇有价值的结论．其中文[2]证明了下述结果：     

二次函数迭代的一个问题初探

对二次函数f（x）=x^2＋bx＋c进行n次迭代，得到f^[n]（x），函数f（x）有无不动点（即方程f（x）=x有无实根）对方程f^[n]（x）=x的解的情况有何影响？文[1]探讨了这个问题，并提出未解决的问题：     

α-混合随机序列最近邻密度估计的强相合收敛速度

设{Xi）i=1^∞是一维平稳序列，具有公共的未知密度f（x），在{Xi}i=1^∞是α-混合的条件下，给出了f（x）基于前礼个观测值{Xi}i=1^∞的最近邻密度估计的强相合收敛速度，当f（x）满足适当条件，收敛速度可达到0（n^-1/3（ln n）^4（1＋p）／3））．     

一种拟Grünwald插值算子的Lp收敛速度

1 引言 设f（x）为[-1,1]上的连续函数，则以第二类Chebyshev多项式Un（x）（Un（cosθ）=sin（n＋1）θ/sinθ的全部零点{xk=cos k/n＋1 π}^n k=1为插值结点组的f的Grunwald插值多项式为     

新题征展(35)

A　题组新编1 .已知曲线 C:xy - 2 kx k2 =0与直线 l:x - y 8=0有唯一的公共点 ,而数列{an}的首项 a1=2 k,点 ( an- 1,an)恒在曲线上( n≥ 2 ) ,数列 {bn}满足关系 bn =1an - 2 .( 1 )问数列 {bn}是等差数列吗 ?( 2 )求数列 {an}的通项公式 .2 .已知二次函数 f ( x) =ax2 bx c有f ( 0 ) =3,且直线 y =5x 1与 f( x)的图像相切于点 ( 2 ,1 1 ) .( 1 )求函数 f ( x)的解析式 ;( 2 )若 f( n)为数列 {an}的前 n项和 ,求数列 {an}的通项公式 ;( 3)求limn→∞ ( 1a2 a3 1a3a4 1a4 a5 … 1an- 1an) .B　藏题新掘3.在边长为 1的正△ …     

UNBOUNDED SELF-ADJOINT OPERATOR ΠK SPACE

如果A是Πsubsub空间上的自共轭算子，由文[1]可知存在空间昨一个标准分解 \[{\Pi _k} = N \oplus \{ Z + {Z^*}\} \oplus P\] 在此分解下，A有三角模型\[A = \{ S,{A_N},{A_p},F,G,Q\} \].利用三角模型，我们直接证明了 定理1设A是\[{\Pi _k}\]上的-共轭算子，n是任何自然数，那末\[{A^n}\]也是自共轭算子. 定理2设A是\[{A^n}\]上的自共轭算子，那末对所有的\[{A^n}(n = 1,2,...)\]，存在一个公共 的标准分解，在此分解下 \[\begin{gathered} {A^n} = \{ {S^n},A_N^n,A_P^n,\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{S^i}} FA_N^{n - 1 - i},\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{S^i}GA_P^{n - 1 - i}} , \hfill \ \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{S^i}} Q{S^{*n - 1 - i}} - \sum\limits_{i + j + k = n - 2} {{S^i}(FA_N^j{F^*} + GA_P^j{G^*}){S^{*k}}} \} \hfill \\ \end{gathered} \] 定理3 设A是瓜空间上的自共轭算子，\[\sigma (A) \subset [0,\infty ),0 \notin {\sigma _P}(A),\]，那末存在唯 一的自共轭算子A1，满足\[A_1^n = A,\sigma ({A_1}) \subset [0,\infty )\] 其次，我们研究了谱系在临界点附近的性状.记临界点全体为\[C(A)\]).对 \[{\lambda _0} \in C(A)\]记S与入0相应的最高阶根向量的阶数为\[r({\lambda _0})\] 定理4设A是\[{\Pi _k}\]空间上的无界自共轭算子，\[C(A) \cap ({\mu _1},{\nu _1}) = \{ {\lambda _0}\} \],那末以下四 个命题等价： (i）\[\mathop {sup}\limits_{\mu ,\nu } \{ \left\| {{E_{\mu \nu }}} \right\||{\lambda _0} \in (\mu ,\nu ) \subset ({\mu _1},{\nu _1})\} < \infty \] (ii）\[{\mu ^{{\text{1}}}}...,{\mu ^{{{\text{k}}_{\text{0}}}}}\]是全有限的测度； （iii）\[s - \lim {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {E_{\mu \nu }}\]存在； （iv)A与\[{\lambda _0}\]相应的根子空间\[{\Phi _{{\lambda _0}}}\]非退化；这里\[{\mu ^{{\text{1}}}}...,{\mu ^{{{\text{k}}_{\text{0}}}}}\]是由\[{A_P}\]与G导出的测度. 定通5 设A是\[{\Pi _k}\]上自共轭算子，\[{\lambda _0} \in C(A),r({\lambda _0}) = n\]，那么 （i）\[{E_{\mu \nu }}\]在\[{{\lambda _0}}\]处的奇性次数不超过2n， （ii）\[s - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int_{[{M_1},{\lambda _0} - \varepsilon )} {(t - {\lambda _0}} {)^{2n}}d{E_t},s - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int_{[{\lambda _0} + \varepsilon ,{M_2})} {(t - {\lambda _0}} {)^{2n}}d{E_t},\]存在。这里\[{M_1},{M_2}\]满足\[[{M_1},{M_2}] \cap C(A) = \{ {\lambda _0}\} \] 定理6 设A是\[{\Pi _k}\]上的自共轭算子，临界点集\[C(A) = \{ {\lambda _1},...,{\lambda _l},{\lambda _{l + 1}},{\overline \lambda _{l + 1}},...,{\lambda _{l + p}},{\overline \lambda _{l + p}},\]，这里\[\operatorname{Im} {\lambda _v} = 0(1 \leqslant \nu \leqslant l),r({\lambda _\nu }) = {n_\nu }\]那么有 \[{(\lambda - A)^{ - 1}} = \int_{ - \infty }^\infty {K(\lambda ,t)d{E_t}} + \sum\limits_{\nu = 1}^l {\sum\limits_{i = 1}^{2{n_\nu } + 1} {\frac{{{B_{\nu i}}}}{{{{(\lambda - {\lambda _\nu })}^i}}}} } + \sum\limits_{\nu = l + 1}^{l + p} {\sum\limits_{i = 1}^{{n_\nu }} {[\frac{{{B_{\nu i}}}}{{{{(\lambda - {\lambda _\nu })}^i}}}} } + \frac{{B_{\nu i}^ + }}{{{{(\lambda - {{\overline \lambda }_v})}^i}}}]\] 这里 \[K(\lambda ,t) = \frac{1}{{\lambda - t}} - \sum\limits_{v = 1}^l {\delta (t - {\lambda _v}} )\sum\limits_{i = 1}^{2{n_v}} {\frac{{{{(t - {\lambda _v})}^{i - 1}}}}{{{{(\lambda - {\lambda _v})}^i}}}} ,\delta \lambda {\text{ = }}\left\{ \begin{gathered} {\text{1}}{\text{|}}\lambda {\text{| < }}\delta \hfill \ {\text{0}}{\text{|}}\lambda {\text{|}} \geqslant \delta \hfill \\ \end{gathered} \right.\] \[0 < \delta < \mathop {\min }\limits_\begin{subarray}{l} 1 \leqslant \mu ,v \leqslant l \\ {\lambda _\mu } \ne {\lambda _v} \end{subarray} |{\lambda _\mu } - {\lambda _v}|\].对\[1 \leqslant v \leqslant l\]，\[{B_{vi}}\]是\[{\Pi _k}\]上的有界自共轭算子，而当\[l + 1 \leqslant v \leqslant l + p\]时，\[{B_{vi}} = {({\lambda _\mu } - S)^{i - 1}}{P_{\lambda v}}\]是以与\[{{\lambda _v}}\]相应的根子空间为值域的某些平行投影. 定理7 在定理6的条件下，有 \[\begin{gathered} {\text{f}}(A) = \int_{ - \infty }^\infty {[f(t) - \sum\limits_{v = 1}^l {\delta (t - {\lambda _v}} } )\sum\limits_{i = 0}^{2{n_v} - 1} {\frac{{{f^{(i)}}({\lambda _v})}}{{i!}}} (t - {\lambda _v})d{E_t} \hfill \ {\text{ + }}\sum\limits_{{\text{v = 1}}}^{\text{l}} {\sum\limits_{i = 0}^{2{n_v}} {\frac{{{f^{(i)}}({\lambda _0})}}{{i!}}} } {B_v} + \sum\limits_{v = l + 1}^{l + p} {\sum\limits_{i = 0}^{{n_v} - 1} {[\frac{{{f^{(i)}}({\lambda _v})}}{{i!}}} } {B_{vi}} + \frac{{{f^{(i)}}({{\overline \lambda }_v})}}{{i!}}B_{vi}^ + ] \hfill \\ \end{gathered} \] 这里\[f(\lambda )\]在\[\sigma (A)\]的一个邻域内解析. 为了建立更一般的算子演算，我们引入两个特殊的代数： \[{\Omega _n} = \{ (f,\{ {a_i}\} _{i = 0}^{2n})|f\]为Borel可测函数，\[\{ {a_i}\} \]为一常数}。对\[F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n},G = (g,\{ {b_i}\} ) \in {\Omega _n}\]，定义 \[\begin{gathered} \alpha F + \beta G = (\alpha f + \beta G,\{ \alpha {a_i} + \beta {b_i}\} ) \hfill \ F \cdot G = (f \cdot g,\{ \sum\limits_{j = 0}^i {{a_j}} {b_{i - j}}\} ),\overline F = (\overline f ,\{ {\overline a _i}\} ) \hfill \\ \end{gathered} \] 显然\[{\Omega _n}\]是一个交换代数，它的子代数\[{\omega _n}\]定义为 \[{\omega _n} = \{ F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n}|\]在0点的一个与F有关的邻域中，成立\[{\text{|f(t) - }}\sum\limits_{i = 0}^{2n} {a{t^i}} | \leqslant {M_F}|t{|^{2n + 1}},{M_F}\]与F有关} 定义 设A是\[{\Pi _k}\]上的自共轭算子，C（A）={0}，r(0)=n,对\[F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\omega _n}\]，定义 \[\begin{gathered} FA{\text{ = }}\int_{{\text{ - }}\infty }^\infty {|f(t) - \sum\limits_{i = 0}^{2n} {{a_i}} } {t^i}{|^2}d{E_t} + \sum\limits_{i = 0}^{2n} {{a_i}} {A^i} \hfill \ DF(A)) = D({A^{2n}}) \cap \{ x \in {\Pi _k}\int_{{\text{ - }}\infty }^\infty {|f(t) - \sum\limits_{i = 0}^{2n} {{a_i}} } {t^i}{|^2}d{\left\| {{E_t}x} \right\|^2} < \infty \hfill \\ \end{gathered} \] 如果f解析，\[F = (f,\{ \frac{{{f^{(i)}}(0)}}{{i!}}\} )\]，那么可得F（A）=f（A）。 定理8 设A是有界自共轭算子，C（A）={0}，r（0）=n，\[G \in {\omega _n}\]，那么 \[\begin{gathered} \overline F (A) = {[F(A)]^ + },(\alpha F + \beta G)(A) = \alpha F(A) + \beta G(A) \hfill \ (FG)(A) = F(A)G(A). \hfill \\ \end{gathered} \] 定理9 设A是\[{\Pi _k}\]上的自共轭算子，C（A）={0}，r（0）=n，\[{F_1} = ({f_1},\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n}\]，\[{F_2} = ({f_2},\{ {a_i}\} ) \in {\omega _n},{f_1},{f_2}\]在\[( - \infty ,\infty )\]连续，在\[\sigma (A)\]上恒等，那么\[{F_1}(A) = {F_2}(A)\]。 定理10 设A是\[{\Pi _k}\]上自共轭算子C（A）={0}，r（0）=n，\[F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n}\]f是连续函数，那么\[\sigma (F(A)) = \{ f(t)|t \in \sigma (A)\} \]。 在定理11中，我们建立了F（A）的三角模型并由此证明当\[F = \overline F \]时，\[C(F(A)) = \{ f(t)|t \in C(A)\} \] 定理12 设A施可析\[{\Pi _k}\]空间上的自共轭算子，C（A）={0}，r（0）=n，与0相应的根子空间非退化，T是稠定闭算子，那么\[T \in {\{ A\} ^{'}}\]的充要条件是存在\[F \in {\Omega _n}\]，使T=F（A）。这里\[{\{ A\} ^{'}} = \{ T|\]对满足\[BA \subset AB\]的有界算子B，均有\[BT \subset TB\]}     

等差数列中“和问题”的一种处理方法

公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1 (n-1)d (n∈N),若函数f(x)=dx (a1-d) (x∈R),则有an=f(n).本文称函数f(x)为等差数列{an}的伴随函数,这样便有下面的定理.定理 若f(x)为等差数列{an}的伴随函数,且mi (i=1,2,3,…,k)为自然数,则证 ∵ f(x)为等差数列{an}的伴随函数,∴ f(x)=dx (a1-d) (x∈R),故定理得证.推论 若f(x)为等差数列{an}的伴随函数,Sn为前n项和,则证 由定理得：利用定理及推论可巧妙解答等差数列中有关的和问题.例1 在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,则a2 a8=( )(A) 45. (B) 75. (C) 180.…     

考点38 数学归纳法

1.(辽宁卷,19)已知函数f(x)=x 3x 1(x≠-1).设数列{an}满足a1=1,an 1=f(an),数列{bn}满足bn=an-3,Sn=b1 b2 … bn(n∈N*).()用数学归纳法证明bn≤(32n--11)n;()证明Sn<233.2.(江西卷,21)已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an 1=21an(4-an),n∈N.(1)证明an相似文献   

ON THE STABILITY CONJECTURE

目前微分动力体系理论中，一个主要问题是问关于离散体系的所谓稳定性推测是否成立.设\[{M^n}\]是一 \[n\]维紧致的\[{C^\infty }\]Riemann流形，\[Dif{f^ \bot }({M^n}{\kern 1pt} )\]是\[{M^n}{\kern 1pt} \]上所有\[{C^1}\]微拓变换作成的空间，赋以\[{C^1}\]拓扑.考虑一任给的\[f \in Dif{f^1}({M^n}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} \]这推测说，在\[n \ge 2\]情况下，若\[f\]是结构稳定的，则它满足公理\[A\]及强勻断条件；若\[f\]是\[\Omega - \]稳定的，则它满足公理\[A\]及无环性条件.关于这里出现的名词，例如可参看[18]，[19]，[14]，[4]等.这推测即令在\[n = 2\]情况下，直到最近\[Ma\tilde ne{\kern 1pt} \]才在\[{\kern 1pt} \Omega (f) = {M^2}\]这一強的附加条件下证明过有正面的答案.这里\[\Omega (f)\]表\[f\]的非游荡集. 本文的一个目的是给出这推测在\[n = 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \]情况下的正面答案（没有\[\Omega (f) = {M^2}\]这附加假定).我们的主要结果如下： 定理1命\[f \in Dif{f^1}({M^2}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \].则：\[f\]结构稳定的必要条件是它满足公理A及强匀断条件;f是稳定的必要条件是它满足公理A及无环性条件. 这些条件的充分性也成立，见以前的[14]，[15]，[19].这样，我们就得出了\[f \in Dif{f^1}({M^2}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]结构稳定与稳定的特征性质. 定理2 \[f \in Dif{f^1}({M^2}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]是\[\Omega - \]稳定的，当且仅当它\[ \in {{\cal F}^*}({M^2}{\kern 1pt} )\] 这里\[{{\cal F}^*}({M^n}{\kern 1pt} )\]表所有具有下述性质的\[g \in Dif{f^1}({M^n}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} \]作成的集合，即：\[g\]在\[Dif{f^1}({M^n}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]中有一邻域G使得，每一\[h \in G\]的周期点都是双曲的（或等价地，每一\[h \in G\] 都至多只有可数个周期点)。根据一些周知的论断，容易看出对于\[f \in Dif{f^1}({M^1}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]，定理2的结论仍然成立.由此可看出，文献[8,383页]中提到的一问题在\[\dim {\kern 1pt} {\kern 1pt} {M^n} \le 2\]情况下的解答是肯定的文献[5,318页]中提到的一推测的微拓变换类比形式的答案也是正面的. 本文大部分内容(在较有限制的情况下)讨论了 \[{M^n}\]上的\[{C^1}\]切向量场，然后借助于通常的扭扩的办法完成上述定理1及2的证明.     

ON THE APPROXIMATION OF (0,2) INTERPOLATION

Let $-1=x_{n,n}相似文献   

关于连续性与一致连续性的一个定理

设f（x）在Ω上连续．任给e〉0，令δ（ε,x0）=1/2sup{δ：当｜x-x0｜〈δ}时，｜f（x）-f（x0）｜〈e},则f（x）在Ω上一致连续的充要条件是δ（e）=inf{δ（ε,x0）：x0∈Ω}〉0.实例给出其应用.     

ON THE STABILITY CONJECTURE

目前微分动力体系理论中，一个主要问题是问关于离散体系的所谓稳定性推测是否成立.设\[{M^n}\]是一 \[n\]维紧致的\[{C^\infty }\]Riemann流形，\[Dif{f^ \bot }({M^n}{\kern 1pt} )\]是\[{M^n}{\kern 1pt} \]上所有\[{C^1}\]微拓变换作成的空间，赋以\[{C^1}\]拓扑.考虑一任给的\[f \in Dif{f^1}({M^n}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} \]这推测说，在\[n \ge 2\]情况下，若\[f\]是结构稳定的，则它满足公理\[A\]及强勻断条件；若\[f\]是\[\Omega - \]稳定的，则它满足公理\[A\]及无环性条件.关于这里出现的名词，例如可参看[18]，[19]，[14]，[4]等.这推测即令在\[n = 2\]情况下，直到最近\[Ma\tilde ne{\kern 1pt} \]才在\[{\kern 1pt} \Omega (f) = {M^2}\]这一強的附加条件下证明过有正面的答案.这里\[\Omega (f)\]表\[f\]的非游荡集. 本文的一个目的是给出这推测在\[n = 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \]情况下的正面答案（没有\[\Omega (f) = {M^2}\]这附加假定).我们的主要结果如下： 定理1命\[f \in Dif{f^1}({M^2}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \].则：\[f\]结构稳定的必要条件是它满足公理A及强匀断条件;f是稳定的必要条件是它满足公理A及无环性条件. 这些条件的充分性也成立，见以前的[14]，[15]，[19].这样，我们就得出了\[f \in Dif{f^1}({M^2}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]结构稳定与稳定的特征性质. 定理2 \[f \in Dif{f^1}({M^2}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]是\[\Omega - \]稳定的，当且仅当它\[ \in {{\cal F}^*}({M^2}{\kern 1pt} )\] 这里\[{{\cal F}^*}({M^n}{\kern 1pt} )\]表所有具有下述性质的\[g \in Dif{f^1}({M^n}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} \]作成的集合，即：\[g\]在\[Dif{f^1}({M^n}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]中有一邻域G使得，每一\[h \in G\]的周期点都是双曲的（或等价地，每一\[h \in G\] 都至多只有可数个周期点)。根据一些周知的论断，容易看出对于\[f \in Dif{f^1}({M^1}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]，定理2的结论仍然成立.由此可看出，文献[8,383页]中提到的一问题在\[\dim {\kern 1pt} {\kern 1pt} {M^n} \le 2\]情况下的解答是肯定的文献[5,318页]中提到的一推测的微拓变换类比形式的答案也是正面的. 本文大部分内容(在较有限制的情况下)讨论了 \[{M^n}\]上的\[{C^1}\]切向量场，然后借助于通常的扭扩的办法完成上述定理1及2的证明.     

An Erdös-Ko-Rado theorem for restricted signed sets

A restricted signed r-set is a pair （A, f）, where A lohtain in [n] = {1, 2,…, n} is an r-set and f is a map from A to [n] with f（i） ≠ i for all i ∈ A. For two restricted signed sets （A, f） and （B, g）, we define an order as （A, f） ≤ （B, g） if A C B and g｜A ： f A family .A of restricted signed sets on [n] is an intersecting antiehain if for any （A, f）, （B, g） ∈ A, they are incomparable and there exists x ∈ A ∩ B such that f（x） = g（x）. In this paper, we first give a LYM-type inequality for any intersecting antichain A of restricted signed sets, from which we then obtain ｜A｜≤ （r-1^n-1）（n-1）^r-1 if A. consists of restricted signed r-sets on [n]. Unless r = n = 3, equality holds if and only if A consists of all restricted signed r-sets （A, f） such that x0∈ A and f（x0） =ε0 for some fixed x0 ∈ [n], ε0 ∈ [n] ／ {x0}.     

2006全国高中数学联赛的函数迭代题

2006年全国高中数学联合竞赛一试最难的题是第15题： 设f（x）=x^2＋a，记f^1（x）=f（x），f^n（x）=f（f^n-1（x））,     

MEAN APPROXIMATION OF A PERIODIC FUNCTION BY THE PARTIAL SUMS OF ITS FOURIER SERIES

Given a sequence of positive real numbers \[{\varepsilon _0},{\varepsilon _1},...,{\varepsilon _n},...\] which satisfy the conditions \[{\varepsilon _v} \to 0,{\varepsilon _v} - {\varepsilon _{v + 1}} \ge 0,{\varepsilon _v} - 2{\varepsilon _{v + 1}} + {\varepsilon _{v + 2}} \ge 0\] for v =0, 1, 2, ..., and a class L(s) of 2pi-periodic, L-integrable functions f(x) such that \[{E_n}{(f)_L} \le {\varepsilon _n}(n = 0,1,2,...)\], where \[{E_n}{(f)_L}\] is the best mean approximation of f(x) by trigonometrical polynomials of degree ≤n Let \[{S_n}(f)\] be the n-th partial sum of the Fourier series of f(x). It’s known that Oskolkov has proved \[\mathop {\sup }\limits_{f \in L(\varepsilon )} ||f - {S_n}{(f)_L}|| = \sum\limits_{v = n}^{2n} {\frac{{{\varepsilon _n}}}{{v - n + 1}}} \] where \[||f|{|_L} = \int_0^{2\pi } {|f(x)|} dx\] Oskolkov asked whether there is a single function \[{f_0}(x) \in L(s)\] for which the above relation is satisfied for all n, In this paper the following result is obtained. Theorem Let \[L(\varepsilon )\] be a class of 2pi-periodic, L-integrable functions as giyen above, then there exists a funotion \[{f_0}(x) \in L(\varepsilon )\] such that \[{{\tilde f}_0}(x) \in L(\varepsilon )\] and \[\begin{array}{l} \overline {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } } \frac{{{{\left\| {{f_0} - {S_n}({f_0})} \right\|}_L}}}{{\sum\limits_{v = n}^{2n} {\frac{{{\varepsilon _n}}}{{v - n + 1}}} }} \ge C > 0\\overline {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } } \frac{{{{\left\| {{{\tilde f}_0} - {S_n}({{\tilde f}_0})} \right\|}_L}}}{{\sum\limits_{v = n}^{2n} {\frac{{{\varepsilon _n}}}{{v - n + 1}}} }} \ge C > 0 \end{array}\] where C is an absolute constant. Some generalizations of the theorem are given.     

一道数学开放题

题目已知:两函数f(x)=kx b(k≠1)和g(x)=x,数列{xn}当n≥2时满足xn=f(xn-1),且x1=α.由此可得出哪些结论? 本题参考答案 (1)函数f(x)=kx b(k≠1)和g(x)=x的图象有交点(b/1-k,b/1-k); (2)数列{xn}满足递推式xn-kxn-1=b; (3)数列{xn}的通项公式是: (4)数列{xn}前n项和: (5)当-1相似文献   

与直线方程有关的最值问题

（2006年江苏高考第21题）设数列{an}，{bn}，{Cn}，满足：bn=an-an＋2，Cn=an＋2an＋1＋3an＋2（n=1，2，3，…），证明{an}为等差数列的充分必要条件是{Cn}为等差数列且bn≤bn＋1（n=1，2，3，…）     

平稳序列最近邻密度估计的相合性

设{X_n}_(n=1)~∞ 是 R~d 中平稳过程,具有公共的未知密度 f(x).本文并不假定{X_n)_(n=1)~∞ 是独立的,考察基于前 n 个观察值{X_i}_(i=1)~n 的f(x)的最近邻估计.在过程{X_n}_(n=1)~∞ 是φ混合或强混合的情形下,得到了逐点相合性、一致相合性以及收敛速度.