一道联赛题的别解及推广

2001年全国高中数学联赛第(12)题:在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图1)要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同植物,现有4种不同植物可供选择,则有______种栽种方案. 本题除了利用排列组合的知识解之外,还     

一道联赛试题的推广及递推解法

题目　在一块正六边形区域栽种观赏植物 (如图 1 ) ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 ,现有 4种不同的植物可供选择 ,则有　　　种栽种方案 .这是 2 0 0 1年全国高中联赛的一道填空题 ,参考答案给出了一种分类讨论的解法 .这里 ,我们将原问题推广后给出一种递推的解法 .为叙述方便 ,我们可以将原问题一般化后转化为下述等价问题 :在一块正 n边形区域栽种观赏植物 ,该正图 1n边形被其半径分割成 n个三角形块 ,依次记为 A1,A2 ,A3 ,… ,An.要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现在有 k种不同的植物可供选…     

两道2001年数学竞赛试题的关联

题目 A　将周长为 2 4的圆周等分为 2 4段 ,从 2 4个分点中选取 8个分点 ,使其中任何两点间所夹的弧长不等于 3和 8.问满足要求的 8点组的不同取法共有多少种 ?说明理由( 2 0 0 1年 CMO试题第 5题 ) .题目 B　将一个正六边形等分为六个全等的正三角形区域 A,B,C,D,E,F.在这六个区域内栽种观赏植物 ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现有 4种不同的植物可供选择 ,则有种栽种方案 ( 2 0 0 1年全国高中数学联合竞赛试题第 1 2题 ) .我们将给出下列更一般的结论 ,从而得到题目 A和 B之间的内在联系 ,其中定理 C是[1 ]…     

用递推数列研究一例

题目 1　在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图 1 ) ,要求同一块中种植同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 ,现有 4种不同的植物可供选择 ,问有多少种栽种方案 ?这是 2 0 0 1年全国高中数学联赛最后一个填空题 ,作为一个基本类型的排列组合问题 ,参考答案采用分类讨论的方法求解 ,也是常规方法 .现已有人分别从不同的途径进行了探讨与推广 ,并利用递推数列结合不同的知识对问题作了研究 .本文认为可以直接揭示相邻两项的关系 ,构造递推数列解决上述问题 .先看更一般的问题 .题目 2　把一个圆分为ｎ个扇形 (不一定相同 ) ,并且用ｍ…     

试题研讨(17)

试题　 ( 2 0 0 3年全国高考题 )如图 1 ,一个地区分为 5个行政区域 ,现给地图着色 ,要求相邻区域不得使用同一颜色 ,现有 4种颜色可供选择 ,则不同的着色方法共有种 (以数字作答 ) .图 1命题溯源　此题是 2 0 0 1年全国高中联赛第 1 2题的改编题 .解法集锦解法 1　这 5部分至少要着 3色 ,可分为两类 .若着 4色 ,则不相邻的域 3与域 5、域 2与域 4中恰有一组着同色 ,有方法 C12 A14 A33种 ;若着三色 ,则域 3与域 5、域 2与域 4分别着同色 ,有方法 C34 A33种 .由加法原理 ,共有 C12 A14 A33 C34 A33=72种着色方法 .评卷分析　据估分时统…     

构造锥体模型巧解2003年高考排列组合题

题目　某城市在中心广场建造一个花圃 ,花圃分为 6个部分 (如图 1) .现要栽种 4种不同颜色的花 ,每部分栽种一种且相邻部分不能种同样颜色的图 1　原题图花 ,不同的栽种方法有种 .(以数字作答 )这是 2 0 0 3年全国高考 (理科 )试题第 (15 )题 ,本文构作锥体模型巧解之 .图 2　模型图解析　如图 2 ,将花圃的每个部分视作为棱锥的一个顶点 ,相邻部分用“棱”相连 ,由图1知 ,花圃第 1部分与其余每个部分都相邻 ,因此 ,由该点引出的棱有 5条 ,于是将其视作为五棱锥的顶点 ,而其余部分则视为棱锥底面的顶点 .　　现要在花圃 1至 6六个部分栽种 4…     

一道几何题的别证与变式

图1文[1][2][3]中都有如下一道几何题:如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=12∠A,求证:BE=CF.文[2]中用共角定理给出证明,方法简洁、巧妙,文[3]中利用三角法结合正弦定理证明线段相等.这两种方法难度都较大,本文拟给出两种学生容易接受的常规证法并证明两个变式.图2证法1如图2,过点B作BG∥CE,过点C作CG∥BE,BG、CG相交于点G,连结GF,则∠4=∠2=∠1=12∠A,∠ACG=180°-∠A,四边形BGCE是平行四边形,∴CG=BE,∵∠FBG+∠FCG=∠1+∠4+∠ACG=12∠A+12∠A+180°-∠A=180°,     

一道无理函数最值题的两个数学解法

文[1]作者对此题多方探索未得到数学解法,最后借助于物理知识求解,文[2]则利用一引理给出其纯数学解法,本文从不同的新角度给出此题的两个纯数学解法．     

探究逼近√A的一套新方式

文[1]、[2]介绍了古希腊数学家向√A逼近的4种方式,而且2002年北京市高考数学第19题与文[1]同源.     

运用函数思想解决环形染色问题

环形染色问题,是排列组合中一类常见类型题,它的解题思路较为复杂.本人发现运用函数的思想方法来探讨这类问题.能轻松地得以解决,并形成较为系统的思想方法加以推广运用.本文试结合几个实例加以说明.1问题的提出问题某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6部分(如图1所示)现栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种(以数字作答).图12常见的解决方法常见的环形染色问题如果用分步解决问题,会遇到最后一个区域选择颜色不确定的情况,所以一般运用分类原理.解法1第一步考虑1,2,3三个部分有A43=2…     

求解一类最值问题的好方法

<正>1问题的提出及解答(1)问题的提出及思考例1设x,y,z均为正数,■,求xy+2xz的最大值.文[1]应用三角换元给出此题一个解,文[2]则从配方、构造二次方程、三角换元、线性规划四个角度进行求解,文[3]认为此题难度很大,很难找到解题入口,用主元法给出此题的一个解.     

对"423型题的解题思路"的再探讨

如图1,在△ABC中,D在BC上,E在AC上,AD,BE相交于F,图中有4个独立的比BD/DC,CE/AE,AF/DF,BF/EF,若已知其中2个比,则必可求出第3个比,文[1]简称"423型"题.此题型是相似三角形中的常见题型,很多学生感到难以下手,文[1],[2]介绍的方法是选择其中一点作平行线,利用平行线分线段成比例定理解决.笔者通过探讨发现,运用梅涅劳斯定理(文[1]例4)能比较简捷地解决此类型题,这对开阔学生视野,提高他们的学习兴趣是十分有益的.     

误法改进成通法,巧解一类间隔问题

文[1]在阐述用“分球入盒”模型解决不相邻排列问题时,提出用插空法求解一类不相邻问题时会出现错误,进而引出新的通法———用“分球入盒”模型解决不相邻排列问题,事实上,若能对这个错误的方法略加改进,仍然能很快捷地求解此类间隔问题,本文对此阐述如何将误法改进成通法,希望能给同学们一些思考.文[1]有如下两个问题:问题1晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目,要求每两个舞蹈节目之间至少有一个演唱节目,可以有多少种不同的节目顺序表?问题2晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目,要求每两个舞蹈节目之间至少有两个演唱节目,可以有多少种不…     

再谈一道奥林匹克问题的简解

原题如图1,在平行四边形ABCD中,CE上AB,CF上AD,垂足为E,F,设EF与对角线BD交于点P,若AB:AD=2:3,试求:PF:PE.研读文[1],文[2],文[3],文[4]后受益非浅.但总觉得不满足,该题确实是一道难得的好题,可是文[2]由于辅助线较多,给初中生一种繁难之感.文[3]利用解析法并借助点到直线的距离公式等有关知识“算出”了辅助线,对初中生而言有望而生畏之嫌.     

一个涂色问题的推广

文[1],[2]讨论了这样一个涂色问题(为了问题的严谨与简洁,这里对原题作了改写):题目将图1中n(n≥3)个扇形区域用三种不同颜色涂色,要求相邻的区域不能够同色,且三种颜色都要使用,求所有的涂色方法总数an.     

三角形的一个向量性质及其空间拓广

文[1]、文[2]、文[3]及文[4]对一个三角形重心向量性质进行了探讨,笔者阅读后深受启发,得到了三角形的一个向量性质,并进行空间拓广.图1三角形定理1如图1所示,已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,过P作直线AB,AC两边分别交于M,N两点,且A     

着色问题的一种统一解法

有 n种颜色给 m个区域涂色 ,解决这样一类问题 ,比较容易产生“疑团”[1 ] .现介绍一种统一的方法 ,可以轻松地解决问题 ,疑团随之烟消云散 .图 1例 1　如图 1 ,用 5种颜色给图中的五个区域涂色 ,每个区域涂一种颜色 ,相邻区域不同颜色 ,那么共有多少种不同的涂色方法 ?解　我们把每一个区域画成一个小圆圈 ,相邻区域间用一条线段连接起来 ,就可以得到图 2 .图 2图 3用 5种颜色 ,有 A55种方法 ;用 4种颜色 (参见图 2 ) ,共有 3种情形 ,有 3A4 4种方法(相同的颜色打上同样的阴影 ,以下同 ) ;用 3种颜色 (参见图 3) ,有 A33种方法 ;所以共有…     

对《“硬币”滚动随谈》一文的商榷

题目如图1。两枚同样大小的硬币,其中一个固定,另一个沿其圆周滚动,滚动时,两枚硬币始终保持有一点接解,则滚动硬币再回到原来位置时,它自转的周数为( )．(A)1 (B)2 (C)3 (D)4这是山东省济南市2000年的一道中考题,提供的标准答案是(B)．文[1]给出的答案也是(B)．并且文[1]从该题出发,将硬币改成圆环,固定圆A与滚动圆B     

画地图至少要用几种颜色——四色问题

2003年高考数学(理工农医类·全国卷)第15题是: 如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有______种.(用数字作答) 这道题要考察的数学知识是排列组合,但     

IMO42-2的推广的简证

第 42届 (2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第2题是 :对所有正实数ａ ,ｂ ,ｃ,证明 :ａａ2 +8ｂｃ+ｂｂ2 +8ｃａ+ｃｃ2 +8ａｂ ≥ 1 (1 )这个形式优美的不等式 ,看似简单 ,实则不易 ,文 [1 ]提供了一种反证法证明 .文 [2 ]、[3 ]则通过换元后 ,采用分析与综合相结合的证法 ,文[4]、[5 ]则给出了一种很简洁的叠加法证明 ,文[6 ]则采用文 [2 ]、[3 ]的方法 ,将 (1 )式推广为 :若ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+,λ≥ 8,则ａａ2 +λｂｃ+ｂｂ2 +λｃａ+ｃｃ2 +λａｂ≥ 31 +λ (2 )文 [4]、[5 ]为证 (1 )式 ,先证明ａａ2 +8ｂｃ ≥ ａ43ａ43 +ｂ43 +ｃ43(3 )(3…