整系数多项式的"分解矩阵"及其应用

在数学上 ,求微分方程的特征根、矩阵的特征值时 ,都会遇到多项式的因式分解问题 ;在工程上 ,研究动态系统的稳定性等问题时 ,也会遇到多项式的因式分解问题。传统的因式分解法有一定的局限性 ,它只适合于一些低次多项式或较规则的高次多项式的分解 ,而对一般高次多项式的因式分解 ,传统的方法常显出它的缺陷。本文就整系数多项式的因式分解问题 ,给出了一个比较好用的方法——矩阵法。该方法的核心就是根据多项式构造一个“分解矩阵”,再用此“分解矩阵”对多项式进行因式分解。该方法具有简便、实用的特点 ,特别适用于高次多项式的因式分…     

因式分解常见错误分析

因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的.它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形等知识提供了必要的基础.因此因式分解是中学代数教材的一个重要内容,它具有广泛的基础知识的功能. 由于进行因式分解时要灵活地、综合地运用学过的有关数学基础知识,并且因式分解的途径多,技巧性强,要求逆向性思维较高,而这些对中学生来说具有一定的深广度,所以因式     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题因式定理适用年级初中一年级学期 2005～2006学年度第二学期训练目的 (1)了解并掌握因式定理的内容,会利用因式定理进行多项式的因式分解． (2)培养学生恒等变形的能力,提高对代数的学习兴趣．典型范例     

例谈因式分解的方法和技巧

因式分解是将一多项式变形为几个整式乘积的形式,它的过程与整式乘法相反,整式乘法是将整式的乘积式化为和式.利用因式分解可以求代数式的值,可以判定三角形或四边形的形状,可以判定一个算式能被哪些数整除.前面我们已学过提公因式法、公式法这些因式分解的方法,其实因式分解的方法还有很多,包括分组分解法、十字相乘法、添项法、待定系数法、配方法、试根法、换元法、求根公式法等.学生在因式分解的过程中出现分解不彻底、乱用公式、不提取公因式、无从下手等情况,这一方面说明学生对因式分解认识不深刻,另一方面对因式分解的方法掌握的比较少,造成思维呆板,对于新情境下的因式分解问题,不能做到灵活处理.本文将介绍几种因式分解的巧妙方法,以期引领学生走出因式分解的困境,达到灵活、巧妙处理因式分解问题.     

一元四次整系数多项式的因式分解法

仅对一元四次整系数多项式在实数域内分解问题进行了研究,根据分解后其系数应为二次代数整数的特点,以及导出的二次方程判别式的完全平方性质,得出了一元四次整系数多项式在实数域内能分解成两个二次因式乘积的条件及方法,从而解决了一元四次整系数多项式在实数域内的因式分解问题.     

用“箭头法”解一元高次不等式

用“箭头法”解一元高次不等式梁克健（南宁有色金属工业学校５３０００１）本文给出一元高次不等式的一种解法──“箭头法”．用这种解法既不用找同解不等式组，也不用列表，只要在不等式左边因式的上方画上一些话头，便可以马上得出不等式的解．这种解法具有实用性，也...     

记一次歪打正着的研究性学习

<正>在因式分解的公式法中,有两种公式.一是平方差公式,二是完全平方公式.但当我们遇到一些二次三项式,它们既不能提取公因式,又不能套用公式时,就可以尝试用十字相乘法来分解因式.所谓十字相乘法就是把二次三项式分解因式如下:x~2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),在这一过程中往往需要多次试验才能成     

也谈二元二次非齐次多项式的因式分解

数学通报一九八一年第五期“关于多项式的因式分解问题”一文中的Ⅱ二元二次非齐次多项式的因式分解((P_(12)),这节中有如下定理: 定理:多项式Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F能分解成两个一次因式的条件是:     

代数曲面的特性及整式的因式判定法

本文的中心目的有二:第一找曲面是代数曲面的必要兼充分条件,第二建立整式的各次因式种类的决定法以及整式可分解的条件.在§1作者建立了直线和曲面的交点重复度交比积及交比积函数的概念.在§2找出了代数曲面的交比积公式,此式,在§3定理三的证明中将要引用,实际上§2可看成定理三的引理.§3是本文的中心之一,在这一节中作者证明了两个定理:前一个定理指出代数曲面和任一定向多边形的交比积恒等于1;后一个定理指出和任一定向多边形的交比积恒等于1的曲面必是代数曲面.§4是本文中心之二,在这一节中作者建立了整式的因式判別式概念,一方面说明这些判別式经过四则运算有限多次可以求得,另一方面证明了 l 次因式判别式恒等于零是 l 次因式存在的必要兼充分条件.于是在理论上解决了各次因式存在与不存在以及整式是否质整式的判定方法问题,无须进行因式分解。此节是上节定理的应用.在§5作者算出二次整式的判别式,获得了二次整式可分解的必要兼充分条件,并且说明了所得条件等价于代数学中已知的结果。     

因式分解易错问题原因剖析

本文对同学们在分解因式时的几种常见错误进行了梳理,对其错因作简单剖析.一、概念不清例1分解因式:a2+3a-4.错解原式=a(a+3)-4.原因没有理解因式分解的概念,即没有     

一类多项式的因式分解

关于多项式xy ax bu c的因式分解有下面一个定理. 多项式xy ax by c能分解成两个一次因式的充要条件是ab=c. 证明 (1)必要性. 若xy ax by c能分解成两个一次因式的积,不妨设xy ax by c=(x P)(y q). 则xy ax by c=xy qx py pq 这是一个关于xy的恒等式,根据恒等式对应项的系数相等,有     

谈谈因式分解的方法与技巧

因式分解是一种重要的代数式变形方法。因式分解不仅用于计算代数式的化简、求值解方程和不等式等代数内容,而且在几何、三角等解题与证明中扮演着重要角色,在高等数学中也有一定的应用,它是解决许多数学问题的有力工具,所以,掌握因式分解的方法和技巧是很重要的。     

一张表給我的启示

(一) 由列表法所想起的阅读了中学生数学课外读物“不等式”中关于一元高次不等式的列表解法,自己动手练习,果然是个易掌握的方法。可是当不等式一边的因式越多,那末表中的正负符号也显得越多。因觉尚有不足之处。例如不等式 (3x+2)(x-2)(x-4)/(2x+1)(x-1)>0的列表解法如下:     

因式分解的教学

因式分解这一章是初中代数的一个重要內容。学生以后学习分式时,要先学会約分和通分;而約分和通分都要用到因式分解。不但如此,它可以用来簡化数字計算。例如根据給定的字母的值計算某些多項式的值时,先把原式分解因式,再求它們的值,就可以使計算簡便。在解二次或二次以上的方程和不等式时,也常要利用因式分解。在高中数学里,某些超越方程(指数方程、对数方程、三角方程等)的特殊解法也需要利用因式分解。有时利用因式分解,还可以把某些式子化为适于对数計算的形式。总之,教会学生掌握因式分解的一些常用方法,对今后的学习有着重要的作用。 現行課本首先說明因式分解的意义。接着提出四种主要的因式分解方法(提取公因式法、分組分解法、应用公式法和十字相乘法)。在学生熟习了这些方法的基础上,再提出因式分解的一般步驟,并讲解上面四种方法的綜合应用。最后讲利用因式分解求最高公因式和最低公倍式。     

三“十字”法——十字相乘法的推广

把二元二次非齐次多项式分解因式,通常是用待定系数法或求根公式法,但计算都比较复杂。文(1)、(2)介绍的简便分解法克服了这个困难这里我们再介绍一种简明分解法——三十字法。本法不仅可用于作因式分解,而且还可用于作简乘运算和快速编制可分解因式的二元二次非齐次多项式。     

分组分解法的基本思路

人教版初中《代数》第二册第八章介绍了因式分解的提取公因式法,运用公式法,分组分解法以及ｘ2+(ｐ+ｑ)ｘ+ｐｑ型式子的因式分解,其中的分组分解法是这几种方法中的重点和难点.本文介绍分组分解因式的几种基本思路,以帮助读者学好这部分的内容.一.直接分组1.按公因式分组例1　分解因式:ｘ2-ｘｙ+ｘｚ-ｙｚ.(2001年河北省中考试题)分析:多项式中第1,2项有公因式ｘ,第3,4项有公因式ｚ,可把它们各分为一组.解:原式=(ｘ2-ｘｙ)+(ｘｚ-ｙｚ)=ｘ(ｘ-ｙ)+ｚ(ｘ-ｙ)=(ｘ-ｙ)(ｘ+ｚ).2.按公式分组例2　分解因式:ｘ2-ｙ2+ｙ-14.(2000年北京市大兴县中…     

整系数多项式因式分解的一种新方法

利用整系数多项式与正有理数的对应 ,将多项式因式分解通过对真分数序列筛选的办法求得因式 ,给出了整系数多项式因式分解的一种新方法 .     

一个因式相通定理及其应用

证明了一个因式相通定理,它是奇点理论中等价性定理的一个推广.这个定理表明单纯高阶项的开折对普适开折因式相通中的参数映射没有贡献.据此本文提出了一种因式相通中参数映射的简洁有效的近似计算方法     

一类高次整系数多项式的因式分解法

文中利用五次整系数多项式在其范围内分解时而导出的一元二次方程判别式的整数性质,给出了五次整系数多项式的因式分解方法,从而解决了一类高次整系数多项式的因式分解问题.     

因式分解切记四个“必须”

把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解.因式分解的基本思路:首先考虑是否有公因式可以提取,其次考虑能否运用公式进行分解,最后要检查每一个因式是否已经完全分解.下面对因式分解的结果与同学们谈几个基本要求: