Généralisation du critère de Beurling-Nyman pour l'hypothèse de Riemann

Nous généralisons dans cet article le critère de Beurling-Nyman, qui concerne la fonction de Riemann, à une large classe de séries de Dirichlet. Nous établissons donc une correspondance entre la densité d'un certain sous-espace de fonctions dans et la localisation des zéros d'une série de Dirichlet. Nous utilisons pour obtenir ce résultat la structure de l'espace de Hardy du demi-plan.

ABSTRACT. We generalise Beurling-Nyman's criterion, already known for the Riemann function, to a larger class of Dirichlet series. We reveal a link between the density of some subspace of functions in and the localization of the zeros of a Dirichlet series. To do so, we use the structure of the Hardy space of the half-plan.

     

Construction de certaines opérades et bigèbres associées aux polytopes de Stasheff et hypercubes

Stasheff polytopes, introduced by Stasheff in his study of -spaces, are linked to associativity. The direct sum of their cellular complexes is the underlying complex of the operad which describes homotopy associative algebras. In particular, there exists a quasi-isomorphism .

Here, we define on the direct sum of their dual cellular complexes the structure of a differential graded operad. This construction extends the dendriform operad of Loday, which corresponds to the vertices of the polytopes. We also define the structure of a differential graded operad on the direct sum of the dual cellular complexes of the hypercubes. We define a quasi-isomorphism from to each of these operads.

We also define non-differential variants of the two preceding operads and a morphism from to each of these operads. We show that the free algebras have a coproduct which turns them into bialgebras.

RÉSUMÉ. Les polytopes de Stasheff, introduits pour l'étude des -espaces, sont liés à l'associativité. La somme directe de leurs complexes cellulaires forme le complexe sous-jacent à l'opérade qui décrit les algèbres associatives à homotopie près. En particulier, il existe un quasi-isomorphisme .

Ici, on munit la somme directe des duaux de leurs complexes cellulaires d'une structure d'opérade différentielle graduée. Cette construction généralise l'opérade des algèbres dendriformes de Loday, qui correspond aux sommets des polytopes. On munit aussi la somme directe des duaux des complexes cellulaires des hypercubes d'une structure d'opérade différentielle graduée. On définit un quasi-isomorphisme de dans chacune de ces deux opérades.

On construit également des variantes non différentielles des deux opérades précédentes. On définit un morphisme de dans chacune de ces opérades et on montre que les algèbres libres sont munies d'un coproduit coassociatif qui en fait des bigèbres.

     

Estimations des solutions de l'équation des ondes sur certaines variétés coniques

We prove R. Strichartz's estimates for solutions of the wave equation on some conical manifolds. RÉSUMÉ. On prouve des estimations pour les solutions de l'équation des ondes, analogues aux estimations de R. Strichartz, sur certaines variétés coniques.

     

Absolutely continuous S.R.B. measures for random Lasota-Yorke maps

A. Lasota and J. A. Yorke proved that a piecewise expanding interval map admits finitely many ergodic absolutely continuous invariant probability measures. We generalize this to the random composition of such maps under conditions which are natural and less restrictive than those previously studied by Morita and Pelikan. For instance our conditions are satisfied in the case of arbitrary random -transformations, i.e., on where is chosen according to any stationary stochastic process (in particular, not necessarily i.i.d.) with values in .

RSESUM´E. A. Lasota et J. A. Yorke ont montré qu'une application de l'intervalle dilatante par morceaux admet un nombre fini de mesures de probabilité invariantes et ergodiques absolument continues. Nous généralisons ce résultat à la composition aléatoire de telles applications sous des conditions naturelles, moins restrictives que celles précédemment envisagées par Morita et Pelikan. Par exemple, nos conditions sont satisfaites par toute -transformation aléatoire, i.e., sur avec choisi selon un processus stochastique stationnaire quelconque (en particulier, non-nécessairement i.i.d.) à valeurs dans .

     

Estimations des fonctions du Laplacien sur les variétés cuspidales

Le but de cet article est d'étudier la continuité des fonctions du Laplacien sur les variétés cuspidales.

     

On composite formal power series

Let be a holomorphic map from to defined in a neighborhood of such that . If the Jacobian determinant of is not identically zero, P. M. Eakin et G. A. Harris proved the following result: any formal power series such that is analytic is itself analytic. If the Jacobian determinant of is identically zero, they proved that the previous conclusion is no more true.

The authors get similar results in the case of formal power series satifying growth conditions, of Gevrey type for instance. Moreover, the proofs here give, in the analytic case, a control of the radius of convergence of by the radius of convergence of .

RÉSUMÉ. Soit une application holomorphe de dans définie dans un voisinage de et vérifiant . Si le jacobien de n'est pas identiquement nul au voisinage de , P.M. Eakin et G.A. Harris ont établi le résultat suivant: toute série formelle telle que est analytique est elle-même analytique. Si le jacobien de est identiquement nul, ils montrent que la conclusion précédente est fausse.

Les auteurs obtiennent des résultats analogues pour les séries formelles à croissance contrôlée, du type Gevrey par exemple. De plus, les preuves données ici permettent, dans le cas analytique, un contrôle du rayon de convergence de par celui de .

     

Boundary Hölder and estimates for local solutions of the tangential Cauchy-Riemann equation

We study the local solvability of the tangential Cauchy-Riemann equation on an open neighborhood of a point when is a generic -concave manifold of real codimension in , where . Our method is to first derive a homotopy formula for in when is the intersection of with a strongly pseudoconvex domain. The homotopy formula gives a local solution operator for any -closed form on without shrinking. We obtain Hölder and estimates up to the boundary for the solution operator. RÉSUMÉ. Nous étudions la résolubilité locale de l'opérateur de Cauchy- Riemann tangentiel sur un voisinage d'un point d'une sous-variété générique -concave de codimension quelconque de . Nous construisons une formule d'homotopie pour le sur , lorsque est l'intersection de et d'un domaine strictement pseudoconvexe. Nous obtenons ainsi un opérateur de résolution pour toute forme -fermée sur . Nous en déduisons des estimations et des estimations hölderiennes jusqu'au bord pour la solution de l'équation de Cauchy-Riemann tangentielle sur .

     

Problème de Dirichlet pour une équation de Monge-Ampère réelle elliptique dégénérée en dimension

RÉSUMÉ. On considère dans un ouvert borné de , à bord régulier, le problème de Dirichlet

où , est positive et s'annule sur un ensemble fini de points de . On démontre alors sous certaines hypothèses sur et si est assez petit, que le problème (1) possède une solution convexe unique .

ABSTRACT. We consider in a bounded open set of , with regular boundary, the Dirichlet problem

where , is positive and vanishes on , a finite set of points in . We prove, under some hypothesis on and if is sufficiently small, that the problem (1) has a unique convex solution .

     

Conjecture de l’inertie modérée de Serre

Résumé On considère K un corps complet pour une valuation discrète, de caractéristique nulle et dont le corps résiduel est supposé parfait de caractéristique p. On appelle e l’indice de ramification absolue de K, son anneau des entiers, et une cl?ture algébrique. Soit X _K un schéma propre et lisse sur K admettant un modèle propre et semi-stable X sur . Généralisant les résultats de Breuil (valables pour e=1), on démontre dans cet article un isomorphisme de périodes reliant le r-ième groupe de cohomologie étale de à coefficients dans ℤ/p ⁿ ℤ et un r-ième groupe de cohomologie log-cristalline de la fibre spéciale de X. Nous avons toutefois les restrictions er<p-1 et e(r+1)<p-1 si n>1. On en déduit une preuve complète de la conjecture de Serre sur l’inertie modérée (voir [Ser72]).     

Sur l'inégalité de Poincaré, à support compact, pour un ou plusieurs champs de vecteurs

Nous démontrons, dans cette note, une inégalité de type Poincaré pour un ou plusieurs champs de vecteurs , et des fonctions régulières à support contenu dans un voisinage d'une hypersurface , sous une hypothèse naturelle de contact entre et la famille . La constante intervenant dans cette inégalité est précisément reliée à l'épaisseur du voisinage autour de et à l'ordre du contact entre et .

     

Etude de l'écoulement autour d'un dièdre pour un gaz à quatre vitesses

Résumé Dans ce travail nous considérons, en théorie cinétique, un gaz dont les molécules ne peuvent prendre pour vitesse que l'un des quatre vecteurs obtenus en joignant l'origine de l'espace des vitesses aux sommets d'un carré. Pour ce gaz les équations des ondes de choc sont établies et étudiées; l'application du critère de Lax ou du théorème H de Boltzmann permet de démontrer la stabilité de tous les chocs supersoniques et de certains chocs subsoniques. Les résultats obtenus sont appliqués à l'étude de l'écoulement plan stationnaire autour d'un dièdre; malgré l'extrême simplification du schéma adopté pour représenter le gaz, la plupart des conclusions sont analogues à celles que l'on obtient en dynamique des gaz.

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Summary In this work we consider, in kinetic theory, a gas the molecules of which can have as velocity only one of the four vectors obtained by joining the origin of the velocity space to the vertex of a square. For this gas the equations of shock waves are derived and studied; the application of the Lax criterion or of the Boltzmann's H-theorem prove the stability of all supersonic shocks and of some subsonic shocks. The results obtained are applied to the study of the stationnary plane flow around a wedge; in spite of the extreme simplicity of the scheme adopted for representing the gas the greatest part of the conclusions are analogous to those obtained in gas dynamics.

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A Dario Graffi nel suo 70^o compleanno

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Entrata in Redazione il 9 febbraio 1975.

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Professeur à l'Université Pierre et Marie Curie, Paris.     

Dimension des familles de courbes lisses sur une surface quartique normale de

Dans cette note, on montre que les courbes, lisses connexes, de degré et genre , tracées sur une surface quartique normale variable de , et n'y étant pas intersection complète, forment des familles de dimensions . Cette majoration est la meilleure possible. Comme application on prouve que le schéma de Hilbert des courbes lisses connexes de de degré et genre est irréductible.

     

Spécialisation de la -équivalence pour les groupes réductifs

Soit un groupe réductif défini sur un corps de caractéristique distincte de . On montre que le groupes des classes de -équivalence de ne change pas lorsque l'on passe de au corps des séries de Laurent , c'est-à-dire que l'on a un isomorphisme naturel .

ABSTRACT. Let be a reductive group defined over a field of characteristic . We show that the group of -equivalence for is invariant by the change of fields given by the Laurent series. In other words, there is a natural isomorphism .

     

Laminar boundary layer oblique shock wave interaction on flat and curved plates

Résumé Ce mémoire décrit quelques recherches expérimentales et théoriques sur l'interaction des ondes de choc obliques avec les couches limites laminaires. Une série de mesures détaillées de pressions et du frottement a été faite dans la région d'interaction dans un écoulement le long d'une plaque plane. Un modèle du mécanisme en a été déduit, dont les prédictions s'accordent raisonnablement bien avec les résultats des expériences. Les mêmes idées ont été appliquées à l'interaction sur une surface courbe, et les résultats s'accordent encore avec les expériences. Une étude simplifiée de la région de stabilité de l'interaction sous l'action d'oscillations de faible amplitude a été faite.

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This work was supported by the National Advisory Committee for Aeronautics Contracts Nos. Naw-6320, 6412, 6452, 6507 and Air Force Contract No. 33-(616-3064) sponsored by the Wright Air Development Center, Wright Patterson Air Force Base.     

Une compactification des champs classifiant les chtoucas de Drinfeld

One knows that the notion of Harder-Narasimhan's canonical polygon allows one to write the stacks classifying Drinfeld's shtukas of rank at least as inductive limits of open substacks of finite type. When there is no level structure, we present here a smooth modular compactification of each such open substack, generalizing Drinfeld's construction for rank .

Résumé. On sait qu'en rang au moins , la notion de polygone canonique de Harder-Narasimhan permet d'écrire les champs classifiant les chtoucas de Drinfeld comme des réunions filtrantes d'ouverts de type fini. Quand il n'y a pas de structure de niveau, on présente ici une compactification modulaire lisse de chacun de ces ouverts, généralisant celles de Drinfeld en rang .

     

Sur le rang du

On the rank of the -class group of . Let be a square-free positive integer and be a prime such that . We set , where or . In this paper, we determine the rank of the -class group of .

RÉSUMÉ. Soit , un corps biquadratique où ou bien un premier et étant un entier positif sans facteurs carrés. Dans ce papier, on détermine le rang du -groupe de classes de .

     

Kruzkov's estimates for scalar conservation laws revisited

We give a synthetic statement of Kruzkov-type estimates for multi-dimensional scalar conservation laws. We apply it to obtain various estimates for different approximation problems. In particular we recover for a model equation the rate of convergence in known for finite volume methods on unstructured grids.

Les estimations de Kruzkov pour les lois de conservation scalaires revisitées

Résumé Nous donnons un énoncé synthétique des estimations de type de Kruzkov pour les lois de conservation scalaires multidimensionnelles. Nous l'appliquons pour obtenir d'estimations nombreuses pour problèmes différents d'approximation. En particulier, nous retrouvons pour une équation modèle la vitesse de convergence en connue pour les méthodes de volumes finis sur des maillages non structurés.

     

Counting integral Lamé equations by means of dessins d'enfants

We obtain an explicit formula for the number of Lamé equations (modulo linear changes of variable) with index and projective monodromy group of order , for given and . This is done by performing the combinatorics of the `dessins d'enfants' associated to the Belyi covers which transform hypergeometric equations into Lamé equations by pull-back.