变上限积分的等价无穷小

变上限积分求极限中,被积函数可用恰当的等价无穷小进行代换,以简化运算。     

浅谈一元变上限积分的等价无穷小

本文探讨了当一元变上限积分上限和被积函数均为无穷小量时,分别的用另一等价无穷小替换.在一定条件下,替换前的变上限积分与替换后的变上限积分等价无穷小.     

再谈“无穷多个无穷小之积”

在本刊1992年第三期作者曾发表了也谈“无穷多个无穷小之积”一文.该文通过构造的一组实例说明;无论是在x→∞ 时或是在x→x_0 时,无穷多个非0无穷小之积可能是该过程中的无穷小;也可能无穷大;也可能是以任一实数为极限的变量,还可能无极限.从而说它是不定式.     

高阶无穷小与低阶无穷小：—无穷小比较的一个问题

一般的微积分教材 ,是这样定义高阶与低阶无穷小的 :设在同一变化过程中 ,α,β是无穷小量 ,若1°　lim βα=0 ,就说 β是比 α高阶的无穷小 ;2°　lim βα=∞ ,就说 β是比 α低阶的无穷小 .对此 ,不少人认为 2°是多余的 ,以为β是比α高阶的无穷小 ,就意味着α是比β低阶的无穷小 ,将 1°、 2°合并为一条 .果真 ,近年来有些高等数学教材 ,就是用 1°一条来定义 β是比 α高阶的无穷小 (或说 α是比 β低阶的无穷小 ) .笔者认为这是值得商榷的 ,因为无穷小的比较 ,首先是指无穷小的比 ,这样 ,β是比α高阶的无穷小未必有α是比β的低阶…     

"无穷小的比较"的定义及其改进

"无穷小的比较"的现有定义有多种表述形式,但其中不少表述尚不够准确,有失严谨,甚至会导致错误命题的出现.引入"基"概念可使无穷小及无穷小比较的定义更为严谨、简洁、一般化.将无穷小量按含O值点的不同情况分为2类,有利于找出"无穷小的比较"现有定义中存在的问题.通过调整大前提,解决了定义项与被定义项外延不一致的问题;通过转...     

关于无穷小比较的一点注记

两个非零的无穷小即使在能比较阶的高低情况下,一个无穷小未必是另一个无穷小的k(k>0)阶无穷小.     

关于无穷小阶数的几点注记

为了要更精确地比较无穷小的形态,需要用数字来表示它们的阶.结合无穷小的阶数的定义,给出无穷小阶数的相关性质,并统一从无穷小的阶数的观点来回答无穷小内容学习的几个难点,什么条件下两个无穷小才可以进行比较?在用等价无穷小代换求极限中,什么条件下相减和相加的因子能看成一个整体直接代换?最后给出无穷小定阶的常用方法.     

等价无穷小代换在求极限过程中的应用

等价无穷小代换是一种很灵活的求极限方法。如果用来替换的无穷小选择恰当的话 ,可以使计算简化。但替换中要严格遵守无穷小替换法则 ,即定理 1　在自变量同一变化过程中 ,设 α～ α′,β～ β′,且 limβ′α′存在 ,则 lim βα=limβ′α′证明见 [1 ]。定理 1说明 ,无穷小替换只能在积商运算中使用。其实不然 ,等价无穷小代换也能在多项式无穷小之比时使用。例 1　求 limx→ 0x-sin2 xx+sin2 x解　原式 =limx→ 0x-2 xx+2 x=-13例 2　求 limx→ 0tanx-sinxx3解　原式 =limx→ 0x-xx3=0例 1正确 ,但例 2错误。事实上 ,limx→ 0tanx -sin…     

再论无穷小的应用

无穷小在极限运算中的地位,是十分重要的,且技巧很强.本文将对等价无穷小作较全面讨论.     

差函数的等价无穷小代换

分析了差函数等价无穷小代换求极限应该注意的问题及差函数常用的等价无穷小。     

再论无穷多个无穷小量的乘积

对文[6]提出的质疑给出回答,表明由于不同的无穷小量趋近于0的速度有快有慢,因此无穷多个无穷小量的乘积∏∞k=1{x_n~(k)}∞n=1,有可能不是无穷小量(其中对每个正整数k,{x_n~(k)}_(n=1)~∞表示极限为0的数列),而验证∏∞k=1{x_n~(k)}∞n=1是否是无穷多个无穷小量的乘积,只需验证对每个正整数k,当n→+∞时,{x_n~(k))_(n=1)~∞是否趋近于0,而无需考虑函数列{{x_n~(k)}_(n=1)~∞}_(k=1)~∞的极限limk→∞x_n~(k)是不是无穷小量.进而,对无穷多个无穷小量的乘积是无穷小量或不是无穷小量给出了一些充分条件,     

The ring of Fermat reals

We give the definition of the ring of Fermat reals, a simple extension of the real field containing nilpotent infinitesimals. The construction takes inspiration from smooth infinitesimal analysis, but provides a powerful theory of actual infinitesimals without any need of a background in mathematical logic. In particular it is consistent with classical logic. We face the problem to decide if the product of powers of nilpotent infinitesimals is zero or not, the identity principle for polynomials, the characterization of invertible elements and some applications to Taylor's formulas.     

关于变上限积分的等价无穷小

利用微分中值定理和L’Hospital法则证明含有变上限积分的等价无穷小代换问题,并提供两个实例作为应用．     

关于等价无穷小量

对等价无穷小量代换问题进行探讨.通过实例说明某文献中的一条定理存在不妥之处,并给出相应修正.结果可拓广等价无穷小量替换方法的使用范围.     

由重积分的坐标变换透视微元法

本文针对极坐标、柱坐标和球坐标给出相应的微元和坐标变换公式,并分析不同微元的本质.     

Topological and algebraic structures on the ring of Fermat reals

The ring of Fermat reals is an extension of the real field containing nilpotent infinitesimals, and represents an alternative to Synthetic Differential Geometry in classical logic. In the present paper, our first aim is to study this ring by using standard topological and algebraic structures. We present the Fermat topology, generated by a complete pseudo-metric, and the omega topology, generated by a complete metric. The first one is closely related to the differentiation of (non-standard) smooth functions defined on open sets of Fermat reals. The second one is connected to the differentiation of smooth functions defined on infinitesimal sets. Subsequently, we prove that every (proper) ideal is a set of infinitesimals whose order is less than or equal to some real number. Finally, we define and study roots of infinitesimals. A computer implementation as well as an application to infinitesimal Taylor formulas with fractional derivatives are presented.     

关于二重变上限积分的等价无穷小

将二重变上限积分看作是一类特殊的一元诱导函数,本文给出了两种二重变上限积分的定义方式,分别对积分限和被积函数做相应的等价无穷小量替换.在一定的条件下,替换后的二重变上限积分与替换前的二重变上限积分是等价无穷小,从而得到一类求极限的方法,并给出了应用实例.     

Alpha-theory: An elementary axiomatics for nonstandard analysis

The methods of nonstandard analysis are presented in elementary terms by postulating a few natural properties for an infinite “ideal” number . The resulting axiomatic system, including a formalization of an interpretation of Cauchy's idea of infinitesimals, is related to the existence of ultrafilters with special properties, and is independent of ZFC. The Alpha-Theory supports the feeling that technical notions such as superstructure, ultrapower and the transfer principle are definitely not needed in order to carry out calculus with actual infinitesimals.     

Optimal solutions of a (3 + 1)-dimensional B-Kadomtsev-Petviashvii equation

We explored and specialized new Lie infinitesimals for the (3 + 1)-dimensional B-Kadomtsev-Petviashvii (BKP) using the commutation product, which results a system of nonlinear ODEs manually solved. Through two stages of Lie symmetry reduction, (3 + 1)-dimensional BKP equation is reduced to nonsolvable nonlinear ODEs using various combinations of optimal Lie vectors. Using the integration and Riccati equation methods, we investigate new analytical solutions for these ODEs. Back substituting to the original variables generates new solutions for BKP. Some selected solutions illustrated through three-dimensional plots.     

多元无穷小量不可以比较吗？──兼论无穷小的同阶性质

文章论述了同阶无穷小．