“形”中的最值

说到初中数学中的“最值”(最大值或最小值),往往会让人联想到从“数”的角度去建立函数关系式,求函数的最大值或最小值.而有时从“形”的角度去研究最值则显得更加直观、简洁在几何中与“最短”、“最长”相关联的知识点有:“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”等.     

盘点近几年中考中与线段相关的一类最值问题

近年来,与线段相关的一类最值问题在各地市中考试卷中大量涌现,并成为近几年中考的热点题型之一.这类问题对知识和技能要求较高,能够考查学生分析问题和解决问题的能力与创新意识.解决此类问题主要借助以下3个知识点:(1)两点之间线段最短;(2)三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之     

三角形的中位线定理的应用

<正>三角形的中位线定理是指:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.它不仅表示出中位线与第三边大小的数量关系,而且也表示出其与第三边平行的位置关系.应用该定理可解决两条线段的大小关系和平行关系问题.现举例加以说明,供参考.一、求线段的最值问题图1例1如图1,AB是     

利用三角形三边关系巧求最值

<正>基本事实三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.如图1所示,|a-b|≤c≤a+b,当A、B、C三点共线时,c最小值=|a-b|,c最大值=a+b.利用三角形的三边关系可以巧解几何最值问题.一、求最小值例1如图2,⊙O表示一个圆形水池,某人不慎落入水池中的P处(P与O不重合),问此人应以什么方向才能最短时间游到岸边?     

一类几何题看似无圆却有圆

<正>初中数学学习中,我们往往会遇到求最大值或最小值问题,所使用的知识点通常有:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;两点之间线段最短;垂线段最短.初三学习了圆这一章,经常用"圆外一点到圆上各点距离最大和最小的线段必经过圆心"这个结论来求最值.在我们所见到的问题中,其中有一类几何题看起来与圆无关,但若能根据问题的条件,图形的特点挖掘隐藏的圆,则可利用圆的知识巧妙解决.     

关于函数最值的一个注记

最值是刻画函数形态的一个重要指标.本文指出《数学分析》教材(华东师范大学数学系编,第三版)函数最值例题证明过程中的一个不当之处并给出两种完善的证明方法.     

清晰理解数学模型 合理探求线段最值

<正>笔者整理了近几年中考中关于"线段最值"的试题,归纳出三种数学模型.从"形"的角度构造"三角形两边之和大于第三边"和"垂线段最短"这两种几何模型,以及从"数"的角度建立函数模型.现举例加以分析.模型一、运用"三角形两边之和大于第三边"模型     

几何赛题最值探讨

<正>几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积等)的最大值或最小值;求几何最值常用的几何性质有:(1)斜边大于直角边;(2)两点之间线段最短;(3)垂线段最短;(4)三角形任两边之和大于第三边.     

灵活应用三角形三边的关系

<正>根据"两点之间的所有连线中,线段最短"可得到三角形三边之间的关系,三角形中任何两边的和大于第三边,再根据不等式的性质,得到三角形中任何两边的差小于第三边.灵活应用三角形三边的关系,能帮我们迅捷地解答一些三角形边的有关问题.     

巧用七招 突破最值

最值问题一直是高考试题中的一个热点,几乎年年都有所涉及.求最大(小)值问题,绝大多数都可转化为不等式问题.本文总结了解决最值问题的七个常用模型.     

巧用两点之间直线段最短求最值

“两点之间直线段最短”其道理简单浅显,广泛应用于平面几何．立体几何中很多求线段之和问题可以等价转化成平面几何的求线段之和问题．下面通过举例说明如何利用“两点之间线段最短”在立体几何中求最值．     

对最值问题的思考

<正>在中考前的复习过程中,笔者接触不同的题型,经常发现学生易错的一些题型,对这些题型进行归纳,从中找出解决这类问题的一般思路,形成专题,在复习中能起到事半功倍的效果.对于最值问题,笔者发现解决此类问题的主要依据有三个,分别是"两点之间,线段最短";"垂线段最短";"二次函数最值".一、两点之间线段最短例1如图1,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移     

最短路线问题求解

<正>在数学上,求最短线路的问题,我们称之为"最短线路问题".在几何的学习中,对这个问题的解决可尝试着从以下几方面着手解决.1.利用三角形的三边关系求解三角形两边之和大于第三边,在求解最短线路问题中也很有用.例1如图1,某部队在灯塔A的周围进行爆破,A的周围3km内的水域为危险水     

一道解析几何综合题的探究

涉及平面解析几何中的最值(或取值范围)问题是高考中的一个创新点与难点,考查形式变化多样,常考常新.结合一道解几背景下最值问题的求解,从不同思路展开,采用不同技巧方法解决,开拓数学思维,提升试题的宽度与厚度,有效指导数学教学与解题研究.     

关于三角形的三边关系

<正>三角形是由三条首尾相接的线段组成,但不是任意三条线段都能围成三角形.在具体的解题过程中,经常发生漏解、多解、错解等情况.本文着眼于三角形三边关系的简化,让思路明朗化,做到轻松解题.三角形的三边关系:两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.用a,b,c表示三角形的三边,由"两点之间,线段最短"得:     

当等号不能成立时

我们知道,在应用均值不等式求有关函数的最值时,必须注意"一正(各项均为正数)、二定(和或积为定值)、三相等(等号能否取到)"三个条件.若忽略了某个条件,应用它求最值就会出错,特别是"取得等号"这个条件最易被忽视.或者说,当不能取等号时,求函数最值就显得无能为力了.事实     

二次函数图像中最值问题的突破——以一道中考模拟压轴题的演变为例

二次函数图像中竖直线段的最值问题是数学中考常涉及的内容.它与几何图形结合求几何图形的最值问题是很容易拓展的内容.然而,在2019年4月苏州一模考试中,28题压轴题第2小问求三角形面积的最值问题,班级的得分率为0.65,仍有35%的学生因为数学建模不够准确,导致得分率较低,甚至不能得分.建模是数学学习的一个重要思想,笔者将水平线段、斜线段、三角形的周长、三角形的面积以及四边形的面积的最值问题统一转化为求例题竖直线段的最值问题.     

组合最值

用非常规办法去求最值的问题统称为组合最值问题 .这类问题的解答有两个难点 :一是最值的探求 ,二是最值的证明 .本文将通过一组实例说明解决这类问题的思想方法 .1　优化选择例 1　从 1,2 ,3,… ,1995这 1995个数中最多能选出多少个数 ,使得选出的数中没有一个数是另一个数的 19倍 ?分析　依据题设要求可知 ,若ｋ ,19ｋ是 1,2 ,… ,1995中的两个数 ,则这对数最多只能选择一个 ,为了使得选出的数具有规律性 ,不妨在每一对 (ｋ ,19ｋ)中选出最大的数 ,从而选出的数又能组成 1,2 ,3,… ,1995后面的一个片断 .∵ 199519=10 5 ,从而 ,10 6 ,10 7…     

从直线型轨迹最值问题谈图形构造——以南通2022年中考压轴题讲评为例

近年来最值问题成为中考复习中的热点、难点,2022年南通中考25题第三问的直线型轨迹的最值问题全面考查了学生的思维能力与计算能力,轨迹处理的多样性决定了解决途径的多样化,不同的思考方式决定了不同的处理方式.笔者在教学时尝试以大单元微专题的教学模式,训练学生以“图形构造”的方式进行思考,进而训练学生的高阶逻辑思维能力,以切实发展学生的核心素养,使学生真正掌握最值问题的能力.     

对2022年上海高考数学第20题的思考

最值问题是高考的热点,而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点,不仅会在选择题或填空题中进行考查,在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心.本文中以2022年上海高考数学第20题为例,分析了圆锥曲线中最值问题的一些基本的处理方法,如参数方程、作切线等方法.