一道射影几何名题的思考与探索

<正>文[1]给出了一道几何题的8种初等证法,其中,证法1是文[2]中华罗庚先生给出的简洁证明,证法2是文[3]中利用共边定理给出的更加简洁的证明.下面来探讨一下这个有趣的几何题.例1在四边形ABCD中,设K=AD×BC,L=AB×CD,M=AC×BD.     

一道积分题的多种证法

本文利用分析中函数积分的定义和一些基本性质,给出了一道积分题的几何解释和五种证法.其中几种证法是一般教科书上很难见到而在教学中值得引用的一些方法.     

一道陈题新议

这是一道陈题,其证法、几何意义、应用常出现在各类刊物上,本文则给出此题的新解释、新推广、新应用．     

一赛题的另解

<正>题目在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,若D和E分别是边AC和AB上的点,且使∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是BD和CE的交点,连结AF,求证:AF⊥BC.此题是2013年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题第四题,竞赛组委会所提供的答案是采用多组"四点共圆"进行证明的.本文再给出另外几种证法,供读者赏析.     

2020年全国高中数学联赛加试几何题的证明与思考

2020年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)的第一题是一道平面几何问题,此题构形简洁,题目中内蕴较多的基本几何位置关系,证明此题也不需要过多高深的知识,既可以从代数运算的角度推证,也可以利用平面几何基础知识获解,是一道证法灵活、内涵丰富的试题,值得我们品味把玩与思考研习.     

一道陈省身杯数学奥林匹克竞赛题的多角度探究与推广

此题是2010年第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克第6题,文[1]已给出其三种证法,本文拟从不同的角度给出六种证法,并进行一般推广．     

一道平面几何习题的简捷证法

初中《几何》第二册复习参考题六的第4题,教参给出的证明显得有些繁琐,笔者有一简捷证法,现介绍如下:△ABC 中,角平分线 AD、BE 交于点 I.求证:     

尝试探究化难为易

题1 (2006/2007英国数学奥林匹克第二轮赛题) 证明:存在无数对正整数(m,n),使m+1/n+n+1/m为正整数. "这个题目相当难,但(竞赛)仍有少数几个人解出",Winchester大学的Fredd Manners给出了本题的一种证法:     

两道几何名题的等价性

1998年全国高中数学联赛加试第 1题是道平面图 1几何题 ,记作题 1 .题 1　如图 1 ,O、I分别是△ ABC的外心和内心 ,AD是 BC上的高 ,I在线段 OD上 .求证 :△ ABC外接圆半径等于 BC边上的傍切圆半径 .文 [1 ]、[2 ]给出了七种证法 ,除解析法外 ,都须做多条辅助线 (最多的作 8条辅     

一道数学竞赛题的两种简捷解法

去年全国高中联合数学竞赛第二试第二题是这样的:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE 绕 A 点在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在点 M,使△BMD 为等腰直角三角形.(图形见本期 P40图7)这道题的解法可分成三类:1°平几证法;2°解几证法;3°复数证法.所运用的知识是紧扣中学现     

一道竞赛题的多种解法

2004年重庆市初中二年级数学竞赛决赛试题的第16题,答案只给出一种解法．本人又通过构造不同的图形,得出了多种证法,且证明中涉及了平面几何的一些重要图形．现介绍如下．     

利用圆证明勾股定理

勾股定理是八年级下册的内容,在课本中给出了几种几何面积证法的证明,现在利用圆的性质给出若干证明.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,求证AB2=AC2+BC2.证法一利用切割线定理证明     

别证一道几何题

<正>《中学生数学》2014年5月下刊登了陈明儒老师的一文《巧用相似三角形解题》,文中利用构造相似三角形证明如下一道几何题:已知:在△ABC中,AB=2BC,∠B=2∠A,求证:△ABC是直角三角形.本文拟给出另一种证法,供同学们参考.     

一道联赛题的新证法

一九八九年全国高中数学联赛第二试第二题抄录如下: 已知x_1∈R(i=1,2,…,n,n≥2)满足 sum from i=1 to n |x_i|=1,sum from i=1 to n x_i=0. 求证 |sum from i=1 to n x_i/i|≤1/2-1/2n. 这道题参考答案上已给出了两种证法,现在我们再给出另外一种证法,这种证法比参考答案给出的两种证法都简单,而且更加紧扣教材,更容易为学生所接受。证明任给i∈{1,2,…,n},则有     

极坐标法证平面几何题

极坐标法证平面几何题４３６５００黄梅实验中学何省三平面几何题的证明方法颇多，除自身的几何证法外，还可采用三角法、复数法、解析法等多种证法．选择证法时要因题而异，具体情况具体分析．本文介绍解析法中的极坐标法，既可巩固极坐标有关知识，又可以用强思维训练．...     

第35届IMO第2题的另一证法

第３５届ＩＭＯ第２题的另一证法许以超（中国科学院数学研究所１０００８０）本届ＩＭＯ在香港举办，六道考题中有三道初等数论题，二道代数题，一道几何题．本文给出这道几何题之解析几何证明（即代数方法证明）．由于中学将初等数论放在代数课中讲授．由此可见，今年Ｉ...     

一道竞赛题的解析证法

2003年保加利亚国家数学奥林匹克（决赛）的第2题是：设H是锐角△ABC的高线CP上的任一点,直线AH、BH分别交BC、AC于点M、N.（1）证明：∠NPC=∠MPC.（2）设O是MN与CP的交点,一条通过O的任意的直线交四边形CNHM的边于D、E两点.证明：∠EPC=∠DPC.此题的证明可见文[1],给出的是一种三角证法,本文这里再给出该题的另一种解析证法,供赏析参考.     

反证法在多项式理论中的应用

表达一个判断的语句称为命题,命题是由题设和题断构成。证明一个命题成立,有直接证法和间接证法。反证法属于间接证法。一般来说,大多数命题的证明是由直接证法给出的,但是当直接证法不易证明甚至无法证明时,运用反证法,有时可以收到证明既简练又确切的良好效果。因此反证法是一种重要的证明方法。然而多年来,一些人有片面的认识,认为反     

“两分角线相等的三角形必等腰”的三角证法

在平面几何中有一道几何题:“如果一个三角形的两条角平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形.”它的证法已有多种,一般较烦难.这里介绍一种三角证法,比较简捷,容易掌握.     

一道平几题的简易证法

下述命题是一个常见的几何题,一般的证明方法是本文的证法一;而证法二(见《数学通报》1982。6期,P5,例十,也有其繁杂的一面,对此命题,我想给出一种较简单的证法,也就是本文的证法三。为了比较,对前二种证法略述在前,最后给出证法三。原题由圆外一点A引两切线AS、AT (S、T为切点)。过A引圆的任一割线APQ交ST于R,若M为PQ中点,则AP·AQ=AR·AM. 证法一先证A、S、M、O、T五点共圆,再证△ASR∽△AMS。这是一种常见的证明方法,且证明步骤繁杂。