Sul luogo di Gorenstein di un anello

Riassunto In questo lavoro viene data una nuova dimostrazione del fatto che il luogo di Gorenstein di un anello di Cohen-MacaulayA che sia immagine omomorfa di un anello di Gorenstein è aperto. La presente dimostrazione permette di dare esplicitamente l'ideale a ⊂A la cui varietà è il luogo non di Gorenstein diA. Si studia inoltre il comportamento del luogo di Gorenstein rispetto a certi omomorfismi di anelli.

---

Summary In this paper we give a new proof of the fact that the Gorenstein locus of a Cohen-Macaulay ringA which is homomorphic image of a Gorenstein ring is open, this describing explicitly the ideal a⊂A whose variety gives the non-Gorenstein locus ofA. Also, we study the Gorenstein locus behaviour with respect to certain ring homormorphisms.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R.     

Sulla classificazione delle curve algebriche sghembe in base alla determinazione di tutti I multilateri sghembi connessi per ogni ordine e genere

Riassunto In questa Nota viene continuato (per il caso din=7) lo studio dei multilateri sghembi di ordinen e generep dati, conn+p−1 vertici di connessione e che sono casi limite di curve algebriche sghembe irriducibili, studio già iniziato (pern≤6) in un precedente lavoro.

---

Résumé Dans cette Note on continue (pour le casn=7) l’étude des multilatères gauches d’ordren et de genrep donnés, ayantn+p−1 sommets de connexion, et qui sont des cas limites de courbes, gauches algébriques irriductibles, étude déjà initiée (pourn≤6) dans un précédent travail.

---

---

(Nota II)

---

Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Gruppo di ricerca n. 26 del Comitato Nazionale per la Matematica del C.N.R. per l’anno accademico 1963–64.     

Successioni regolari relative e ideali sizigetici

Riassunto Si utilizzano le successioni regolari relative strette per studiare i moduli di sizigie e i gruppi di omologia del complesso di KoszulK(f₁,…,f_n;A) di un sistema di elementif ₁,…,f _n appartenenti ad un anello commutativo con unitàA, estendendo, tra l'altro, un noto teorema diJ. P. Serre valido per le successioni regolari. Numerose applicazioni geometriche illustrano i risultati conseguiti.

---

Résumé On utilise les suites regulières relatives strictes pour étudier les modules des syzygies et les groupes d'homologie du complex de KoszulK(f ₁,…,f_n;A) d'un systéme d'élémentsf ₁,…,f _n d'un anneau commutatif avec unitéA, généralisant un théorème bienc connu deJ. P. Serre valide pour les suites régulières. Nombreuses applications géométriques clarifient les résultats obtenus.

---

---

La presente Nota riproduce fedelmente la prima di 3 conferenze, tenuta dall'autore il 12 giugno 1979 alla XVIII Session du Séminaire de Mathématique Supérieures de l'Université de Montréal.

---

Lavoro eseguito nell'ambito della GNASAGA-CNR.     

Ricerche sopra il numero delle classi di forme aritmetiche di Hermite

Sunto è il seguito della Memoria pubblicata in questi ?Annali ? ńel Tomo III (1925–1926). Si tratta della ricerca delle relazioni tra i numeri delle classi di forme diHermite, appartenenti ad un corpo quadratico immaginarioK(√−d), quando i determinanti differiscono per il fattoremm ₀, essendom un intero del corpoK(√−d), m ₀ il suo coniugato.     

Zur topologie multivalenter selbstabbildungen von mannigfaltigkeiten

Riassunto SianoV, W due varietà topologiche edf un'applicazione continua tale che per ogni puntop diV, l'insiemef(p)⊂V sia l'immagine continua diW. Quali sono le condizioni affinchè esistano puntip inV conp∈f(p)? Di questa questione si occupa il nostro articolo.

---

Résumé SoientV, W deux variétés topologiques etf une application continue telle que, pour tout pointp deV, l'ensemblef(p)⊂V soit image continue deW. Quelles sont les conditions pour qu'il existe des pointsp enV avecp∈f(p)? C'est cette question qui est traitée par notre article.

     

The Dirichlet problem for the minimal surface equation in non-regular domains

Summary In this paper we study the Dirichlet problem for the minimal surface equation in a open set Ω without any assumption about the regularity of ϖΩ. We prove an existence theorem using only the pseudoconvexity of Ω.

---

Riassunto In questo lavoro studiamo il problema di Dirichlet per l'equazione delle superfici minime in un aperto Ω diR ⁿ sulla cui frontiera non si fa nessuna ipotesi di regolarità. Si ottiene un teorema di esistenza usando la sola pseudoconvessità di Ω.

     

Projective version of Malcolmson’s criterion

It is proven that the extension of Malcolmson’s methods to reppresent all elements ofR _ζ is not purely straightforward. A detailed proof of such extension is here furnished.

---

Sunto Si prova che l’estensione dei metodi di Malcolmson per la rappresentazione degli elementi diR _ζ a tutte le applicazioni tra moduli proiettivi indotti non è puramente meccanica. è fornita una dimostrazione dettagliata di detta estensione.

     

Sopra un problema di Intrecciatura

Riassunto Questa nota, dopo aver ricostruito certi omorfismi della letteratura che generalizzano un numero di intrecciatura classico, si occupa della questione come si possono definire costanti topologiche considerando trasformazionif di una varietàA in una varietàB e le intrecciature algebriche delle componenti dif ⁻¹ (b) doveb è un punto diB.

---

Résumé Notre note, après avoir reconstruit certains homomorphismes de la littérature qui généralisent un nombre classique d'entrelacement, s'occupe de la question comment on peut définir des constantes topologiques en considérant des transformationsf d'une variétéA en une variétéB et les entrelacements algébriques des composantes connexes def ⁻¹ (b) oùb est un point deB.

     

MisureH n−1 σ e insiemi di perimetro finito

Riassunto Si introducono le misureH _n−1 ^σ (0<σ<1), ottenute mediante una costruzione di Caratheodory a partire dalla famiglia dei cilindri aperti per i quali il rapporto tra altezza e diametro di base non supera σ e se ne studiano le relazioni con la misura di Hausdorff (n−1)-dimensionale sulle frontiere di insiemi di perimetro finito.

---

Summary We study a new measure,H _n−1 ^σ (0<σ<1), obtained with Caratheodory’s construction on the family of all open cylinders for which the ratio between height and base diameter is not greater than σ.

---

---

Lavoro eseguito nell’ambito dello G.N.A.F.A.     

Teoremi merceriani relativi a trasformazioni regolari non negative e anche più generali

Sunto Ad una successione (complessa) |s_n| associamo la successione trasformata |t_n| mediante una matrice di sommazione regolare C; sono noti teoremi merceriani (per es.G. H. Hardy, E. R. Love) che dalla relazione s_n — qt_n → (1 — q)l deducono s_n → l, sotto la condizione che il moltiplicatore q sia interno a determinati campi In questa NOta si considera C regolare non negativa e, mediante l'introduzione di un' opportuna ? funzione di aderenza di un insieme in un altro ? e l'applicazione del classico teorema del ? nocciolo ? diK. Knopp, si determinano campi più ampi di quello circolare stabilito daE. R. Love; si estende il risultato anche a matrici C regolari più generali mediante teoremi più recenti diR. P. Agnew eA. Robinson; inoltre si perfeziona il classico teorema diJ. Mercer-G. H. Hardy.

---

Summary Let |t_n| be trasformed, by a regular summation matrix C, of a (complex) sequence |s_n|. Mercerian theorems (e. g. G. H. Hardy, E. R. Love theorems) deduce s_n → l from s_n — qt_n → (1 — q)l if q lies in a suitable domain. This paper is concerned with regular non-negative C. A suitable ? adherence-function of a set into another ? is introduced and theKnopp's ? Core theorem ? leads to wider domains thanE. R. Love circle. The result is extended to more general regular matrices C by means ofR. P. Agnew andA. Robinson theorems. The classicalJ. Mercer-G. H. Hardy theorem is also improved.

---

---

A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.

---

Il presente lavoro è stato oggetto di una comunicazione al VI Congresso Nazionale della Unione Matematica Italiana (Napoli, 11–16 settembre 1959).     

Fundamental groups of branched covering spaces ofS 3

Summary Given a knotK⊂S ³, it is known a standard method for constructing a 4-coloured graph representing the closed orientable 3-manifoldM=M(K, d, ω) which is thed-fold covering space ofS ³ branched overK and associated to the transitived-representation ω of the knot group. In this paper we obtain a presentation of the fundamental group ofM, directly from the Wirtinger presentation of the knot group and from the transitived-representation ω.

---

Riassunto Dato un nodoK⊂S ³, è noto un metodo standard per costruire un grafo 4-colorato rappresentante la 3-varietà chiusa ed orientabileM=M(K, d, ω) che è lo spazio di rivestimento diS ³ ramificato suK ed associato allad-rappresentazione transitiva ω del gruppo del nodo. In questo articolo si ottiene una presentazione del gruppo fondamentale diM, direttamente dalla presentazione di Wirtinger del gruppo del nodo e dallad-rappresentazione transitiva ω.

---

---

Work performed under the auspicies of the G.N.S.A.G.A. of the C.N.R. (National Research Council of Italy) and financially supported by M.P.I. (project ?Geometria delle Varietà differenziabili?).     

Real points in the fibres of dominant maps defined overR

Letf: X → Y be a dominant map between real algebraic varieties of the same dimension. The object of this paper is the study of the map which sends every pointy ∈ Y to the number of real points inf ⁻¹ (y). We give a sufficient condition ony to ensure that the above map is locally constant iny. Moreover, we consider the subset ofY where this map is no more locally constant and we give the principal properties of this set.

---

Sunto Siaf: X → Y un morfismo dominante tra varietà algebriche reali della stessa dimensione. In questo articolo si studia la mappa che associa ad ogni puntoy ∈ Y il numero di punti reali inf ⁻¹ (y); in particolare si dà una condizione sufficiente suy affinchè tale mappa sia costante in un suo intorno. Inoltre, si considera il sottoinsieme diY in cui tale mappa non è più localmente costante e si danno le principali proprietà di tale insieme.

---

---

The work was written while both the authors were members of the G.N.S.A.G.A. of the Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Versality of linearly normal non-special embeddings

LetX⊂P ⁿ be a smooth non-degenerate non special linearly normal projective curve. Here we classify all such embeddings ofX such that for every hyperplaneM ofP ⁿ the family of all hyperplane sections ofX is a versal deformation of the zerodimensional schemeX∩M.

---

Sunto SiaX una curva liscia e proiettiva. Qui si classificano le immersioni non-speciali linearmente normali diX inP ⁿ tali che per ogni iperpianoM diP ⁿ la famiglia delle sezioni iperpiane diX induce una deformazione versale diX∩M.

     

Sugli ideali,le congruenze e i quozienti di ω-gruppi in una categoria astratta

Riassunto Dato un anelloA in una categoria ∂ con prodotti finiti, si definisce il concetto di ?ideale diA? e si studiano le relazioni tra ideali, congruenze e ?anelli quozienti? diA.

---

Summary Given a ringA in a category ∂ with finite products, we define the concept of ?ideal ofA? and we investigate some relations between the ideals, the congruences and the ?quotient rings? ofA.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dei Gruppi di Ricerca Matematica del C.N.R. per l'anno 1969–1970 (115.2182.05174).     

Sulla stabilità di un fluido politropico, viscoso e pesante in un contenitore limitato da pareti perfette conduttrici di calore

Sunto In questa Nota, si affronta il problema del comportamento asintotico nel tempo di perturbazioni alla quiete per il sistema di equazioni per un fluido comprimibile, viscoso e politropico. Ammesso che esista una soluzione regolare globale, si dimostra, sotto l’ipotesi che il gradiente della temperatura assegnata al bordo sia piccolo, che la differenza tra la soluzione corrispondente a dati iniziali arbitrari e la quiete decade a zero pert che tende ad infinito nella normal diL ².

---

We consider the equation system for a compressible viscous polytropic fluid in a regualar bounded domain and we study the asymptotic behavior as time goes to infinity of perturbations with respect to the basic rest state. Under the assumption of the smallness of the gradient of the given temperature on the boundary, we prove the exponential decay of theL ²-norm of the difference between the solution corresponding to arbitrary initial data and the rest state.

---

---

The second author thanks the 60% contract MURST, also she acknowledges the GNFM of italian CNR-INDAM for financial supports.     

Strong approximation ofGSBV functions by piecewise smooth functions

Let Ω be an open and bounded subset ofR ⁿ with locally Lipschitz boundary. We prove that the functionsv∈SBV(Ω,R ^m ) whose jump setS _vis essentially closed and polyhedral and which are of classW ^{k, ∞} (S _v,R ^m) for every integerk are strongly dense inGSBV ^p(Ω,R ^m ), in the sense that every functionu inGSBV ^p(Ω,R ^m ) is approximated inL ^p(Ω,R ^m ) by a sequence of functions {v _k{_j∈N with the described regularity such that the approximate gradients ∇v _jconverge inL ^p(Ω,R ^nm ) to the approximate gradient ∇u and the (n−1)-dimensional measure of the jump setsS _{v j} converges to the (n−1)-dimensional measure ofS _u. The structure ofS _v can be further improved in casep≤2.

---

Sunto Sia Ω un aperto limitato diR ⁿ con frontiera localmente Lipschitziana. In questo lavoro si dimostra che le funzioniv∈SBV(Ω,R ^m ) con insieme di saltoS _v essenzialmente chiuso e poliedrale che sono di classeW ^{k, ∞} (S _v,R ^m ) per ogni interok sono fortemente dense inGSBV ^p(Ω,R ^m ), nel senso che ogni funzioneu∈GSBV ^p(Ω,R ^m ) è approssimata inL ^p(Ω,R ^m ) da una successione di funzioni {v _j}_j∈N con la regolaritá descritta tali che i gradienti approssimati ∇v _jconvergono inL ^p(Ω,R ^nm ) al gradiente approssimato ∇u e la misura (n−1)-dimensionale degli insiemi di saltoS _{v j}converge alla misura (n−1)-dimensionale diS _u. La struttura diS _vpuó essere migliorata nel caso in cuip≤2.

     

Remarks on the local regularity of the\overline \partial

Summary Let Ω⊂⊂C ⁿ be a pseudo-convex domain with smooth real-analytic boundarybΩ; the local regularity in of the is then strictly related not only with the subellipticity of such problem, but also with certain geometric conditions onbΩ: ifn=2 and α is a (0,1)-form, such relations are equivalences.

---

Riassunto Se Ω⊂⊂C ⁿ è un dominio pseudo-convesso con frontierabΩ definita da una funzione analitica reale e ?liscia?, la regolarità locale delle soluzioni in del αè in stretta relazione non solo con la subellitticità di tale problema ma anche con certe condizioni geometriche sulla struttura dibΩ: sen=2 ed α è una (0,1)-forma, tali relazioni sono delle equivalenze.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.S.A.G.A. del C.N.R.     

Immagini inverse dei gruppi di omotopia

Riassunto SeM edN sono varietà poliedriche chiuse connesse ed orientate di dimensioni rispettivem edn, conm≥n>2, edf∶M→N è una trasformazione continua, allora per ognir, minore din e non inferiore a 2, si definisce un omomorfismo indotto ϕ_rπ:_r (N)→H _m-n+r (M) dal quale si ricavano certi invarianti topologici.

---

Résumé Soientm≥n>r≥2 des entiers etM, N des variétés polyédrales closes connexes orientées satisfaisant dimM=m et dimN=n, de plusH _i(M) le groupe de Betti à i dimensions deM,M,π _i (N) le groupe de Hurewicz ài dimensions deN, etf∶M→N une application continue. Alorsf définit, pour,r=2, 3, …n−1, un homomorphisme réciproque ϕ_rπ:_r (N)→H _m-n+r (M) comme il suit. Etant donné un élément α du groupe π_r (N) et uner-sphère continue orientéeS de α, on peut supposer quef ⁻¹(S) soit un polyèdre finiA àm−n+r dimensions. Parf est induit dansA un (m−n+r)-cyclez à coefficients entiers, et la classe d'homologie dez est justement l'image ϕr(α) de α par ϕr. Pourr=1, on obtient un homomorphisme réciproque ϕ_rπ:_r (N)→H _m-n+r (M) du groupe fondamentalF(N) deN dans le groupe d'homologie àm−n+1 dimensions deM. A l'aide des homomorphismes ϕ,,ϕ2,ϕ,3...,ϕn-i, on parvient à certaines expressions caractéristiques dépendantes seulement de la classe d'homotopie def, en particulier on obtient des constantes pour les images des bases de Betti deM, pour Fimage du groupe de torsion deM, et pour l'image réciproque du groupe fondamental deN.

     

Complementi per una formula di rappresentazione per funzioni analitiche in un cono aperto diR n

Riassunto Si prova una formula di rappresentazione per funzioni analitiche in un cono aperto Ω⊂R ⁿ

---

Summary An integral representation formula for analytic functions in any open cone Ω⊂R ⁿ is proved.

---

---

Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Gruppo Nazionale per l’Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Misure euclidee,hermitiane, simplettiche e potenze esterne di uno spazio vettoriale quaternionale

Riassunto SiaV _n uno spazio vettoriale quaternionale destro n-dimensionale e V_4n lo spazio vettoriale reale ? immagine reale ? diV _n. Una metrica hermitiana inV _n e le metriche euclidea e simplettica ad essa associate danno luogo (attraverso la considerazione di determinanti sul corpo dei quaternioni) a tre diversi tipi di metriche per i multivettori semplici di ∧^t V_4n. Le nozioni introdotte permettono, tra l’altro, di associare ad ogni sottospazio V_t di V_4n un ben determinato angolo (deviavione caratteristica assoluta di V_t) e di generalizzare ai multivettori la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Contratto di Ricerca n. 9 del Comitato per la matematica del C.N.R. Entrata in Redaz’one il 25 giugno 1970.