The role of coordinate systems in boundary-layer theory

Zusammenfassung Die Grenzschichtnäherung zu einem gegebenen Strömungsproblem ist nicht invariant, das heisst, sie hängt von dem Koordinatensystem ab, in dem der Näherungsprozess durchgeführt wird. Zwar ist die von der Flüssigkeit ausgeübte Reibungskraft von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig, aber das Strömungsfeld selbst hängt im allgemeinen vom Koordinatensystem ab. Theorem 1 besagt, dass die Grenzschichtlösung eines Koordinatensystems durch eine einfache Substitution in die Lösung irgendeines anderen Systems übergeführt werden kann. Nur wenn die zwei Koordinatensysteme durch eine ganz spezielle Beziehung verbunden sind, bleibt das entsprechende Strömungsfeld dabei unverändert. Diese Abhängigkeit des Strömungsfeldes von der Wahl des Koordinatensystems wird benutzt, um Theorem 2 zu beweisen, das besagt, dass Koordinatensysteme gefunden werden können, die in dem folgenden Sinne optimal sind: Die entsprechende Grenzschichtlösung ist im ganzen Raum, auch ausserhalb der eigentlichen Grenzschicht, als Näherung gültig. Sie enthält die äussere Potentialströmung und auch die Strömung, die von der Verdrängungswirkung der Grenzschicht herrührt. Durch dieses Theorem wird das Problem hinfällig, wie man die äussere Potentiallösung und die innere Grenzschichtlösung an irgendeinem Rande der Grenzschicht zusammenfügt. Die vorliegende Arbeit beschränkt sich auf Strömungen ohne Ablösung, weil die Grenzschichttheorie im Ablösungsfalle mit prinzipiellen Schwierigkeiten behaftet ist. Es wird ausserdem vorausgesetzt, dass die Strömung zweidimensional, stationär und inkompressibel ist. Die letzteren Beschränkungen sind weniger wesentlich und werden in einer demnächst erscheinenden Arbeit diskutiert.

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Research prepared under Office of Naval Research Contract N 6 ONR-244, Task Order VIII, Project NR 061-036.     

The collapse load of rigid-plastic circular plates under arbitrary loading in one direction only

Zusammenfassung Eine Kreisplatte aus ideal starrplastischem Material mit der v. Misesschen Fliessbedingung als Fliesskriterium ist rotationssymmetrisch belastet. Die Lasten sollen einseitig wirken, damit die Platte an Kollapszustand voll plastifiziert ist. Aus einem zulässigen Geschwindigkeitsfeld wird eine obere Schranke für den Kollapslastparameter hergeleitet, in Form eines Quotienten von zwei Integralen, deren Integranden Funktionen des Geschwindigkeitsfeldes sind. Der Extremwert des Quotienten führt auf eine Differentialgleichung, deren Lösung die exakte Kollapsbelastung und den entsprechenden Fliesszustand ergibt.     

Finite elastic deformations of bodies with irregular shapes

Zusammenfassung In der Theorie endlicher Deformationen elastischer Festkörper sind jene Probleme, für die exakte Lösungen verfügbar sind, beschränkt auf Körper, deren gespannte und entspannte Zustände durch Koordinatenflächen eines der bekannten und allgemein verwendeten Koordinatensysteme begrenzt sind, und die daher symmetrische Eigenschaften in hohem Grade besitzen. Diese Abhandlung entwickelt eine Methode, mit deren Hilfe man Lösungen für endliiche Deformationen erhalten kann, und zwar für Körper, deren nichtdeformierte Form eine Perturbation der nichtdeformierten Form eines anderen Körpers ist, für den eine endliche Deformationslösung schon verfügbar ist. Diese Methode wird verwendet zur Bestimmung einer Lösung zu dem Problem der endlichen Streckung und Torsion eines elliptischen Zylinders, dessen Verhältnis von Hauptachse zu Nebenachse nahezu eins ist. Im Weiteren erleichtert diese Methode eine Analyse des Problems einer endlichen Ausdehnung für zwei Fälle achsensymmetrischer Körper: 1. Der Körper ist ein Kreiszylinder in allen Punkten ausserhalb eines Streifens endlicher Länge, wo seine nichtdeformierte Form eine Perturbation des Kreiszylinders ist. 2. Der Körper wird erhalten durch Rotation einer Sinuskurve um die Symmetrieachse.     

A note on uniform asymptotic edge ‘diffraction’ for the diffusion equation

Zusammenfassung In einer früheren Arbeit wurden asymptotische Lösungen von Wärmeleitungsproblemen betrachtet, bei denen die Randflächen des betrachteten Gebietes Kanten enthalten. Diese Lösungen erwiesen sich auf gewissen Kurven und Flächen sowie auf den Kanten als singulär. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist eine allgemeingültige Beschreibung der Lösungen von Kantenproblemen der betrachteten Art. Diese Lösungen erscheinen in der Form von asymptotischen Entwicklungen, die nirgends singulär sind.

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This research was supported by the National Science Foundation under Grants GP-7641 and GP-12188.     

Load-absorption by a discontinuous filament in a fiber-reinforced composite

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich analytisch mit der statischen Kraftübertragung auf eine einzelne unendliche, elastische Faser, die an einem Querschnitt unterbroche ist. Die Faser ist vollständig in einem unendlich ausgedehnten Körper von anderen elastischen Eigenschaften eingebettet. Der Körper selbst ist im Unendlichen einer einachsigen Zugspannung parallel zur Faser ausgesetzt. Die Charakterisierung der gesuchten Faserkraft wird durch eine schon früher erprobte Annäherungsmethode auf eine Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art zurückgeführt und die letztere wird auf numerischem Wege gelöst. Die Verteilung der Faserkraft ist für verschiedene Werte des Verhältnisses der beiden Elastizitätsmodulen dargestellt.

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The results communicated in this paper were obtained in the course of an investigation conducted under Contract N00014-67-A-0094-0020 with the Office of Naval Research in Washington, D.C.     

On the propagation of pressure pulses in circular elastic rods

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit den radialen und axialen Dehnungen in einem einseitig unbegrenzten elastischen Stab mit kreisförmigem Querschnitt. Die Oberfläche des Stabes ist in radialer Richtung frei von Spannungen; in normaler Richtung wird an dem einen Ende eine Druckspannung als zeitlicher Sprungimpuls eingeprägt, wobei die Scherspannung an diesem Ende stets zu Null angenommen wird. Die exakte Lösung wird dargestellt durch komplexe Laplace-Umkehr-Integrale, welche für grosse Fortpflanzungsentfernungen asymptotisch gelöst werden. Insbesondere werden Lösungen gefunden für die Umgebung der Vorläufer der Welle und für die Anstiegsflanke der Druckwelle.     

Theoretical analysis of a coaxial Hall accelerator

Zusammenfassung Eine eindimensionale Analyse des koaxialen Hallbeschleunigers unter Berücksichtigung des Ionenschlupfes wird beschrieben. Die möglichen Operationsregime werden eingehend diskutiert und eine formale Analogie zwischen dem idealen Faraday- und dem idealen Hallbeschleuniger wird aufgezeigt. Ferner wird auf die Existenz von Minimalwerten des effektiven Hallparameters für Beschleunigung bzw. Erhöhung der Machzahl hingewiesen. Abschliessend wird eine analytische Lösung der entsprechenden gasdynamischen Gleichungen für den Sonderfall eines konstanten Ionisationsgrades angegeben.     

Ein Verfahren zur Lösung parameterabhängiger,nichtlinearer Maximum-Probleme

Zusammenfassung Der Gegenstand dieser Arbeit ist die Behandlung parameterabhängiger Maximum-Probleme mit der Zielsetzung, die optimale Lösung explizit als Funktion des Parameters darzustellen.Zu diesem Zweck wird ein Verfahren entwickelt, das es gestattet, das vorgegebene Parameter-intervall eindeutig so in endlich viele Teilintervalle aufzuteilen, daß sich jedem Teilbereich ein vom Parameter abhängiges Gleichungssystem zuordnen läßt, dessen Lösung mit der optimalen Lösung übereinstimmt. Für Maximum-Probleme mit quadratischer Zielfunktion und linearen Nebenbedingungen sind diese Gleichungssysteme linear. Ihre Auflösung ergibt die Komponenten der optimalen Lösung in der Gestalt von Quotienten gebildet aus Polynomen des Parameters.Als eine Anwendung dieses Verfahrens erhält man eine Methode zur Lösung quadratischer Maximum-Probleme mit streng konkaver Zielfunktion und linearen Nebenbedingungen.

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Summary In this paper parametric maximum problems are treated with the aim to represent the optimal solution explicitly as a function of the parameter.The method developped to this purpose permits to divide the given parameter interval uniquely into a finite number of subintervals in such a manner that it is possible to attach to each of these a system of equations depending from the parameter the solution of which corresponds with the optimal solution. These systems of equations are linear for maximum problems with quadratic object function and linear restrictions. Their solutions give the components of the optimal solution in the form of quotients of polynoms of the parameter.A further extension of this method enables the solution of quadratic maximum problems with strict concave object function and linear restrictions.

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Diese Arbeit wurde von der Deutschen Forschungsgemeinschaft gefördert.

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Vorgel. v.:H. Görtler     

Constitutive theory for a mixture of an isotropic elastic solid and a non-Newtonian fluid

Zusammenfassung Greens undNaghdis Formulierung der Theorie von in Wechselwirkung stehenden Kontinua benützend, leiten wir in dieser Abhandlung eine allgemeine (d.h. nichtlineare) Theorie ab, welche das thermomechanische Verhalten eines isotropischen elastischen Körpers, der von einer nicht-Newtonschen zähen Flüssigkeit durchdrungen ist, beschreibt. Konstitutive Gleichungen für Mixturen dieser Art werden zuerst postuliert und dann zu einer expliziten Form reduziert mit Hilfe von auf Tensor-Invarianten gewonnenen Resultaten. Dann untersuchen wir eine Klasse von Kräftereihe-Lösungen von Feldgleichungen und benützen ein iteratives Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen, von denen jedes Stadium die Lösung von Lineargleichungen zur Voraussetzung hat. Das erste Stadium stellt eine linearisierte Theorie dar, für welche thermodynamische Reduktionen von der Ungleichheit bei der Wärmegewichtserzeugung abgeleitet werden. Schliesslich geben wir kurze Hinweise auf die dissipativen Mechanismen, welche die Erzeugung von Wellen mit kleiner Amplitude in der von uns behandelten Klasse von Mixturen affiziert.     

Absorbing set forn-person games

This study tries to modify von Neumann and Morgenstern (vN-M) solution. As with John Harsanyi in 1974, vN-M solution is viewed in a dynamic sense. The final outcome of a game not only depends on the ability of players and standards of behavior of the particular society but also upon which imputation is proposed first. An absorbing property is obtained as a result of modifying the bargaining process of Harsanyi. This modified solution concept maintains the internal stability condition of vN-M solution, and replaces their external stability condition by this absorbing property.

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Zusammenfassung Diese Arbeit zielt auf eine Modifizierung des Begriffs der von Neumann-Morgenstern (vN-M) Lösung. In Anlehnung an John Harsanyi (1974) werden vN-M-Lösungen dynamisch interpretiert. Das endgültige Ergebnis eines Spiels hängt nicht nur von der Fähigkeit der Spieler und den Verhaltensstandards einer bestimmten Gesellschaft ab, sondern auch davon, welche Imputation zunächst vorgeschlagen wird. Durch eine entsprechende Modifizierung des von Harsanyi vorgeschlagenen Verhandlungsprozesses erhält man eine Absorbtionseigenschaft. Das demgemäß modifizierte Lösungskonzept erhält die interne Stabilitätsbedingung der vN-M-Lösung und ersetzt die externe Stabilitätsbedingung durch die Absorbtionseigenschaft.

     

Application of the Galerkin and Ritz methods to nonconservative problems of elastic stability

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden nichtkonservative Probleme der elastischen Stabilität mittels des Galerkin- und des Ritz-Verfahrens behandelt.Zuerst wird bewiesen, dass die Resultate vonLeipholz bezüglich der Konvergenz des Galerkinschen Verfahrens für solche Probleme auf eine grössere Klasse zulässiger Versuchsfunktionen erweitert werden können. Danach wird das Hamiltonsche Prinzip für nichtkonservative mechanische Systeme so formuliert, dass die Ritzsche Methode auf nichtkonservative Probleme der elastischen Stabilität angewendet werden kann, im Gegensatz zur Ansicht, dass eine solche Anwendung nicht möglich ist. Zum Schluss werden einige angenäherte Lösungen des Beckschen Problems angeführt und verglichen, um die Begriffe zu erklären, die am Anfang dieser Arbeit dargestellt wurden.     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

On the concept of transmissibility for randomly excited elastic structures

Zusammenfassung Der Vergrösserungsfaktor (auch Transmissibilität oder Resonanzfunktion genannt) ist eine wohldefinierte Grösse bei deterministisch erregten Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad. Die begriffliche Deutung dieser Grösse kann jedoch nach dem Permanenzprinzip erweitert werden. Es ist somit möglich, diesen Begriff auch auf zufallserregte Schwingungen von Systemen mit einer unendlichen Zahl von Freiheitsgraden anzuwenden. Im allgemeinen führt aber eine solche Erweiterung auf zwei verschiedene Arten von Transmissibilität: spezifische Transmissibilität und Gesamt-Transmissibilität. Bei akustischen Problemen wird danach die Quadratwurzel des Quotienten aus Ausgangs-Energiespektraldichte über Eingangs-Energiespektraldichte als spezifische Transmissibilität bezeichnet, wohingegen die Gesamt-Transmissibilität gegeben ist durch das Verhältnis der quadratischen Mittelwerte von Ausgangs-Druck zu Eingangs-Druck.Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einigen analytischen und experimentellen Konsequenzen dieses Konzepts.     

Vierdimensionale quadratische Divisionsalgebren über Hilbert-Körpern

Zusammenfassung Inhalt der vorliegenden Untersuchung ist eine Klassifizierung der vierdimensionalen quadratischen Divsionsalgebren über einem Hilbert-Körper. Die Anregung dazu entstammt einer Arbeit von Kuz'min [6], in der endlichdimensionale reelle Divisionsalgebren durch Aussagen über ihre Multiplikationskonstanten charakterisiert werden. Der Schwerpunkt liegt dort auf den quadratischen Divisionsalgebren. Deren Struktur wird wesentlich durch quadratische Formen bestimmt. Deshalb ist es naheliegend, diese Algebren für eine allgemeinere Klasse von Körpern mit einer überschaubaren Theorie der quadratischen Formen zu betrachten. A Fröhlich [5] hat eine axiomatische Beschreibung für eine Klasse von Körpern, die sogenannten Hilbert-Körper, gegeben, die eine Theorie der quadratischen Formen wie die -adischen Zahlen oder die reellen Zahlen haben. Diese Körper legen wir in der Untersuchung zugrunde. Eine genauere Motivation für das Vorgehen und einen Ausblick auf die Ergebnisse gibt die folgende Einleitung.Die Verfasserin dankt Herrn Prof. Dr. K. Strambach, Erlangen, für die Anregung und Begleitung dieser Arbeit und Herrn Prof. Dr. L. Bröcker, Münster, für die konstruktiven Vorschläge zur Überarbeitung des ursprünglichen Manuskiptes.     

The indentation of an orthotropic half plane

Zusammenfassung Der Verfasser findet eine allgemeine Lösung für die Verteilung des Druckes zwischen einem Block und einer orthotropen Halbebene. Es wird gezeigt, dass die Verteilung des Druckes für den flachen Block mit allgemeiner Belastung un-abhängig ist von den elastischen Eigenschaften der Halbebene und auch genau dieselbe, als ob die Halbebene isotrop wäre.     

A combined boundary value and transmission problem arising from the calculation of eddy currents: Well-posedness and numerical treatment

The problem of calculating eddy current losses is formulated as a boundary value and transmission problem for a complex Helmholtz equation and Laplace's equation. By deriving an equivalent system of integral equations, we show the existence of a unique solution depending continuously on the data. Furthermore, we propose a numerical method based on decomposing the problem into two boundary value problems, where part of the boundary values have to be determined by a system of linear equations.

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Zusammenfassung Das Problem der Berechnung von Wirbelstromverlusten wird als Randwert- und Übergangsproblem für eine komplexe Helmholtz- und die Laplacegleichung formuliert. Wir führen dieses Problem in ein äquivalentes Integralgleichungssystem über und zeigen die Existenz einer eindeutigen, stetig von den Daten abhängenden Lösung. Weiter schlagen wir eine numerische Lösungsmethode vor, die auf der Dekomposition des Problems in zwei Randwertprobleme beruht, wobei ein Teil der Randwerte durch ein lineares Gleichungssystem zu bestimmen ist.

     

Das nichtkooperative Nichtnullsummen-Zwei-Personen-Spiel

Zusammenfassung Als Grundlage für die Theorie des Nichtnullsummen-Zwei-Personen-Spiels werden die Begriffe Gleichgewichtspunkt, Sattelpunkt, präventive und defensive Strategie, Felddominanz, Strategiendominanz und mehrere Unterbegriffe davon definiert. Mit ihrer Hilfe wird eine Anzahl von Sätzen bewiesen, die unmittelbar zu einer Lösung dieses Spieltyps führen: Es zeigt sich, daß es zwei Klassen von Nichtnullsummenspielen gibt: solche mit spielbedingten und solche mit persönlichkeitsbestimmten Lösungen. Erstere umfassen alle Spiele, die einen einzigen, nichtdominierten Gleichgewichtspunkt besitzen. Dieser ist die Lösung. Bei allen übrigen Spielen ist die Persönlichkeit der Spieler sozusagen selbst Teil des Spiels. Auch hierfür werden Lösungen angegeben.

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Summary The following terms being the basis of the two-person non-zero-sum games will be defined: equilibrium point, saddle point, preventive and defensive strategy, field dominance, strategy dominance, and several other sub-terms. Using these terms a number of theorems leading directly to a solution of this type of games will be proved. It is shown that there are two types of non-zero-sum games: one type with game-determined solutions and another one with personality-determined solutions. The first one includes all games having a single non-dominated equilibrium point, which is the solution. In all other games the player's intention must be considered as part of the game. Here as well solutions are given.

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Der Grundgedanke wurde von Professor Dr.W. Krelle auf der Jahrestagung der DGU vom 9. bis 11. September 1963 in Braunschweig vorgetragen und anschließend in Zusammenarbeit mit Diplom-MathematikerDieter Coenen in eine druckreife Form gebracht.     

Steady-state thermal stresses in an elastic cone

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit der Bestimmung der stationären Wärmespannungen, die in einem elastischen Kreiskegel durch eine unstetige Verteilung der Oberflächentemperatur hervorgerufen werden. Die Temperatur der Mantelfläche wird oberhalb und unterhalb einer festen Entfernung von der Kegelspitze konstant angenommen. Das zugehörige Wärmeleitungsproblem wurde in einer früheren Veröffentlichung unabhängig gelöst. In der vorliegenden Arbeit wird eine strenge Lösung für die gesuchten Wärmespannungen mit Hilfe der Mellin-Transformation hergeleitet. Das hier benutzte Verfahren ist auch anwendbar auf das gewöhnliche Randwertproblem für einen elastischen Kegel, der durch eine entsprechende unstetige Oberflächenbelastung beansprucht wird.

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The results communicated in this paper were obtained in the course of an investigation conducted under Contracts Nonr 562(20) and Nonr 562(25) of Brown University with the Office of Naval Research in Washington, D. C.     

On the determinacy of motions for the displacement problem in the dynamics of elastic bodies with viscosity

Summary For a class of materials in which the stress depends upon the deformation and its rate, we show-without the aid of linearizing assumptions-that the solution to the displacement initial boundary-value problem is unique.

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Zusammenfassung Für eine Klasse von Materialien, deren Spannung von ihrer Verformung und der Geschwindigkeit derselben abhängt, zeigen wir-ohne die Hilfe von Linearisierungsannahmen- dass die Lösung des Anfangs- und Randwertproblems für die Verschiebungen eindeutig ist.

     

On the Clausius-Duhem inequality

Zusammenfassung Die der Kontinuumsmechanik angemessene Form des zweiten thermodynamischen Hauptsatzes wird auf eine sehr allgemeine Weise hergeleitet. Dabei werden zwei Temperaturen eingeführt und eine Verallgemeinerung der Clausius-Duhemschen Ungleichung erhalten.Zunächst wird bewiesen, dass für eine bestimmte Klasse von Stoffen die Ungleichung nur gültig ist, wenn beide Temperaturen gleich sind, so dass solchen Stoffen die gewöhnliche Form der Clausius-Duhemschen Ungleichung angemessen ist.Schliesslich wird gezeigt, dass ein einfaches Material mit Erinnerung dieser Stoffart angehört.