标准Jacobi矩阵的混合型特征反问题

0 引言 本文讨论如下标准形式的Jacobi矩阵 其中a_i>0(i=1,2,…,n),b_i>0(i=1,2,…,n-1)。 对于Jacobi矩阵(对称三对角矩阵)的特征反问题,已有的成果[1],基本上集中在由两组频谱或两个特征对(指特征值及相应的特征向量)构造Jacobi矩阵的元素这样两类问题上,习惯上称之为频谱型或特征向量型反问题。本文提出且求解了第三类型——混合型特征反问题。即由一组频谱数据和一个特征向量构造矩阵元素的问题: 问题Ⅰ 给定正数λ~(1),λ~(2),…,λ~(n)和实向量x=(x_1,x_2,…,x_n)~T,其中x_1=1。构造一个标准形式的Jacobi矩阵J,使其第k阶顺序主子阵恰以λ~(k)(k=1,2,…,n)为其特征值。且(λ~(n),x)为其特征对。 问题Ⅱ 给定正数0<λ_1~(n)<λ_1~(n-1)<…<λ_1~(1)和正向量x=(x_1,x_2,…,x_n),其中x_=,x_k>0(k=2,…,n),构造一个标准形式的Jacobi矩阵J,使其第K阶顺序主子阵恰以λ_1~(k)为其最小特征值,而(λ~(n),x)为J的特征对。 问题Ⅲ 给定n个实数0<λ_1)<λ_2<…<λ_n和m个实数λ~(1),λ~(2),…,λ~(m)及m维向量x=(x_1,…,x_m)~T。构造n阶标准形式的Jaeobi矩阵J,使其第K阶顺序主子阵恰以λ~(k)(k=1,2,…,m)为其特征值,而(λ~(m),x)为第m阶顺序主子阵的特征对,且λ_k(k=1,2,…,n)为J的特征值。这里系大于或等     

一个加性混合幂丢番图不等式Ⅲ

证明了:如果λ1,…,λ11,μ是非零实数,并且不同一符号,至少有一个λi/λj是无理数,那么对任意实数η和ε>0,不等式λ1x14 … λ11x141 μy2 η<ε有无穷多正整数解x1,…,x11,y.     

关于Jacobi矩阵逆特征值问题的扰动分析

１预备 若不特别说明,本文沿用［６］中记号． Ｈｏｃｈｓｔａｄｔ于１９６７年提出如下问题［１］： 问题Ⅰ　给定两组实数｛λ｝ｎｊ＝１＝１和｛μ｝ｎ＝１ｉ＝１,满足构造一个ｎ阶实对称三对角矩阵Ｊｎ,使得λ１,…λｎ为人的特征值,而Ｊｎ－１阶顺序主子阵的特征值为μ１,…,μｎ－１． 问题Ⅱ　给定一组实数｛λｊ｝ｎｊ＝１,满足构造一个ｎ阶全对称三对角矩阵Ｊｎ（ｓ）,使得Ｊｎ（ｓ）的特征值为λ１,λ２,…λｎ． ｄｅ Ｂｏｏｒ和Ｇｏｌｕｂ［４］提出如下问题： 问题Ⅲ　给定两组实数满足构造ｎ阶实对称三对角矩阵Ｊ…     

求解特征值互补问题的ABS算法

正1引言对给定的矩阵A∈R~(n×n)和正定阵B∈R~(n×n),特征值互补问题(EiCP)~([1-3])是指:求实数λ和向量x∈R~n\{0}使得{y=(A-λB)x y≥0,x≥0 y~Tx=0 (1)它源于工程和物理问题,如对力学接触问题和结构力学系统的稳定性的研究[3-6].EiCP也可表示为如下形式的锥约束特征值问题[7,8]:对给定的矩阵A∈R~(n×n)和正定阵B∈R~(n×n),求实数λ和向量量x∈R~n\{0}使得     

实对称带状矩阵逆特征值问题

研究了一类实对称带状矩阵逆特征值问题：给定三个互异实数λ,μ和v及三个非零实向量x,y和z,分别构造实对称五对角矩阵T和实对称九对角矩阵A,使其都具有特征对(λ,x),(μ,y)和(v,z)．给出了此类问题的两种提法,研究了问题的可解性以及存在惟一解的充分必要条件,最后给出了数值算法和数值例子．     

污染数据回归分析中估计的强相合性

考虑简单回归模型（Ⅰ）yi＝α＋xiβ＋εi，i＝1，2，…，n，与半参数回归模型（Ⅱ）yi＝xiβ＋g（ti）－εi，i＝1，2，…，n，其中Eεi＝0，Eεi2＝σ12．假定y1，y2，…，yn受到另一独立同分布随机变量序列μ1，μ2，…，μn的污染，且仅能观察到污染数据，｛μi｝与｛yi｝独立．对文[1]，[2]中给出的α，β，g（·）及污染参数v的估计，本文在适当的条件下，证明了它们的强相合性．     

(0,1)实对称矩阵特征值的图论意义

A为元素只取 0 ,1且主对角线元素均为 0的 n阶实对称方阵 ,n维列向量 J=( 1 ,1 ,1 ,… ,1 ) T ,且 AJ=( d1,d2 ,d3,… ,dn) T。若 λi 是 A的特征值 ,试证明 :∑ni=1λ2i =∑ni=1di ( 0 )　　这是一道典型的线性代数中关于实对称矩阵特征值方面的问题。对它的求解如下 :设 n维非零向量 x是 A的对应于特征值λi 的特征向量 ,则有 Ax=λix.两边同时左乘 A,得A2 x =A(λix) =λi( Ax) =λ2ix ( 1 )而上式说明 λ2i 即方阵 A2 的特征值。由 [1 ],对任一 n阶方阵 A=[aij]n× n,若 λi 是 A的特征值 ,则有 ∑ni=1λi=tr( A) =∑ni=1aii 。…     

方差非负性的应用

方差的计算公式为S2人教版初中《代数》第三册），它又可化为9一上【】X～上（，IZI方差具有非负性，即5270，当且仅当xl—12一…一xu，SZ＝0，利用方差公式及其非负性，可以将不少数学问题转化为方差问题来解决．例1已知a，heR”，a＋b—1，求证a’＋bZk且2”证考虑a，b二项的方差例3已知实数x，y，z满足x－y＝6，cy＝zZ十9，求证：X一y·证工，y的方差为Y一言【x“十y“一二（x＋y广」”亏以x＋y）“一zry一青（x＋y广」一一子【一子X十一月．t＋o）1一一，J＞几4＝O，于是X一y·例4已知0＜6＜。，求函数y＝／厂工面F肩而十／而百…     

一个加性混合幂丢番图不等式(Ⅰ)

本文证明了如果λ1,…,λ6是非零实数,并且不同一符号,至少有一个λi/λj(1≤i,j≤3)是无理数,那么对任意实数η和ε＞0,不等式|λ1x21+λ2x22+λ3x23+λ4x44+λ5x45+λ6x46+η|＜ε有无穷多正整数解x1,…,x6.     

一个不等式的应用

高中代数下册（必修）习题十五第6为：已知ad≠be，求证：（a2＋b2）（c2＋d2）＞（ac＋bd）2．若去掉已知条件，则有（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（*）当且仅当ad＝be时取“＝”号．若灵活巧妙地顺用或逆用（*）式，可一些问题获得简洁的解证．例1若实数m、n、x、y满足m2＋n2＝a，x2十y2＝e（a≠b），则mx十ny的最大是昙（）解依题没，据（*）式，有ab＝（m2＋n2）（x2＋y2）≥（mx＋ny）2故应选（B）．例2若a、b、c、d∈R ，则一（1＋1）’一4．故应填4．例3若X’十／一1，则3X＋4y的取值范围是解依题设，据（。）式，有（3X十4y…     

RECENT PROGRESS ON SPHERICAL HARMONIC APPROXIMATION MADE BY BNU RESEARCH GROUP ——In memory of Professor Sun Yongsheng

As early as in 1990, Professor Sun Yongsheng, suggested his students at Beijing Normal University to consider research problems on the unit sphere. Under his guidance and encouragement his students started the research on spherical harmonic analysis and approximation. In this paper, we incompletely introduce the main achievements in this area obtained by our group and relative researchers during recent 5 years （2001-2005）. The main topics are： convergence of Cesaro summability, a.e. and strong summability of Fourier-Laplace series; smoothness and K-functionals; Kolmogorov and linear widths.     

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THE 8~(th) INTERNATIONAL CONGRESS ON INDUSTRIAL AND APPLIED MATHEMATICS

正August 10-14,2015Beijin,China The International Congress on Industrial and Applied Mathematics(ICIAM)is the premier international congress in the field of applied mathematics held every four years under the auspices of the International Council for Industrial and Applied Mathematics.From August 10 to 14,2015,mathematicians,scientists     

Boundedness for commutators of multipliers on Hardy type spaces

In this paper, we study the commutators generalized by multipliers and a BMO function. Under some assumptions, we establish its boundedness properties from certain atomic Hardy space Hb^p（R^n） into the Lebesgue space L^p with p 〈 1.     

A unified approach to certain problems of best local approximation

In this paper we study best local quasi-rational approximation and best local approximation from finite dimensional subspaces of vectorial functions of several variables. Our approach extends and unifies several problems concerning best local multi-point approximation in different norms.     

Towards Excellence in Science Chinese Academy of Sciences

<正>May 26,2014,Beijing Science is a human enterprise in the pursuit of knowledge.The scientific revolution that occurred in the 17th Century initiated the advances of modern science.The scientific knowledge system created by     

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Bounds for the zeros of polynomials

Let P(z)=∑↓j=0↑n ajx^j be a polynomial of degree n. In this paper we prove a more general result which interalia improves upon the bounds of a class of polynomials. We also prove a result which includes some extensions and generalizations of Enestrǒm-Kakeya theorem.