Stability Problem for Jensen-type Functional Equations of Cubic Mappings

In this paper, we establish the general solution and the generalized Hyers-Ulam-Rassias stability problem for a cubic Jensen-type functional equation,4f（（3x＋y）/4）＋4f（（x＋3y）/4）=6f（（x＋y）/2）＋f（x）＋f（y）,9f（（2x＋y/3）＋9f（（x＋2y）/3）=16f（（x＋y）/2＋f（x）＋f（y）in the spirit of D. H. Hyers, S. M. Ulam, Th. M. Rassias and P. Gaevruta.     

不等式背景下的函数求值问题

众所周知,不等式a≤c≤a中蕴涵着等量关系c=a,不等式g（x）≤f（x＋k）-f（x）≤g（x）（x∈R）中蕴涵着等量关系f（x＋k）-f（x）-g（x）．若函数g（x）已知,再给出f（x0）的值以及n（n∈R且n≥2）,就可以求出f（x0＋nk）=f（x0）＋∑i=0^n-1g（x0＋ik）这一函数值．     

The Hyers-Ulam stability of a functional equation deriving from quadratic and cubic functions in quasi-��-normed spaces

In this paper, we investigate the Hyers-Ulam stability of the following function equation 2f（2x ＋ y） ＋ 2f（2x - y） = 4f（x ＋ y） ＋ 4f（x - y） ＋ 4f（2x） ＋ f（2y） - Sf（x） - 8f（y） in quasi-β-normed spaces.     

剖析解数列题中的常见错误

例1 已知等差数列{xn}的各项为正数，求证：1/（x1的平方根）＋（x2的平方根）＋1/（x2的平方根）＋（x3的平方根）＋…＋1/（xn的平方根）＋（xn＋1的平方根）=n/（x1的平方根）＋（xn＋1的平方根）。     

二元全微分的原函数的求法

设du＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy，称P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为函数u（x，y）的全微分，u（x，y）为P（x，y）dx＋Q（x，x）dx的一个原函数。若已知P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为某一函数的全微分，如何求u（x，y）呢？今举例说明如下：例求全微分（x＋y）dx＋（x—y）dy的一个原函数。首先注意，在本题中P（x，y）一一函数的全微分，即存在原函数u（x，y），使有du（x，y）＝（x＋y）dx＋（x－y）dy．解法一，简单路径法可选取或为积分路径，即这里取则解法二，微分方程法由前式解得。（x，s）一专x’＋xv＋。s），其中。，）为y的一个…     

一样的赋值与不一样的结果

已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（x＋y）=f（x）＋2y（x＋y）,且f（1）=1,求f（x）的表达式．     

平移后奇（偶）函数的性质的应用

有一类函数f（x）是非奇非偶函数,但平移后的函数f（x＋p）（或f（x）＋b）是奇（偶）函数,利用奇（偶）函数的性质处理函数f（x＋φ）（或f（x）＋b）的有关问题,再去解决原函数f（x）的问题,往往会有出奇制胜的功效．     

函数的右导数与导函数的右极限的关系

通过例子和定理讨论了函数f（x）在点x0处的右导数f′＋（x0）与导函数当x→x0^＋时的右极限f′（x0^＋）=limx→x0^＋f′（x）之间的关系．     

A Generalized Cubic Functional Equation

In this paper, we determine the general solution of the functional equation f1 （2x ＋ y） ＋ f2（2x - y） = f3（x ＋ y） ＋ f4（x - y） ＋ f5（x） without assuming any regularity condition on the unknown functions f1,f2,f3, f4, f5 ： R→R. The general solution of this equation is obtained by finding the general solution of the functional equations f（2x ＋ y） ＋ f（2x - y） = g（x ＋ y） ＋ g（x - y） ＋ h（x） and f（2x ＋ y） - f（2x - y） = g（x ＋ y） - g（x - y）. The method used for solving these functional equations is elementary but exploits an important result due to Hosszfi. The solution of this functional equation can also be determined in certain type of groups using two important results due to Szekelyhidi.     

函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

STABILITY AND EXISTENCE OF PERIODIC SOLUTIONS AND ALMOST PERIODIC SOLUTIONS ON LIENARD SYSTEMS

1MainResultsConsidersystem11~.x f(x)x' g(x)~0(1)wheref(x)islocallyintegrable,g(x)isdifferentiablealldg(0)=0.Theroem1Thezerosolutionofsystem(1)isuniformlyasymptoticallystableifbyequivalenttransf'Ormu=xov=X' F(x).DefineW[t,(uif\v)]j6ug(s)ds Iv',thenwisaposi…     

常微分方程的比较定理及其应用

<正> 本文§1讨论由驻定二阶系统(1.1)确定非驻定二阶系统(1.2)解的各种性态的比较定理.由于对(1.2)的定性研究,不能使用象Poincare-Bendixson理论那样的有力工具,显得办法很少,这种比较定理的意义之一在于,通过它可以将更多的工具间接用于(1.2).文[1]首先给出了许多这种比较定理,伹尚未得到使用,而且存在错误,本节将予纠正然     

含奇线(奇面)二阶线性偏微分方程的解在奇线(奇面)附近的性质

本文的第一部分研究了含奇线方程的解在奇线附近的性质;引进了“指数”的概念,从而给出了关于这类方程的“奇型郭西问题”的正确提法;并且通过一种特殊的积分-征分方程的研究,证明了这种“奇型郭西问题”的解的存在性,并且给出其近似解法;最后,就一般的情形,给出了方程一般解的表达式,从而说明了在β+β′<0时,郭西问题的多解性。本文的第二部分研究了空间含奇面方程(?)其中 A_σ是任一祇与变元σ=(σ_1…,σ_n)有关的算子,并且关于(15.5)的奇型郭西问题的解可以用关于方程(不合奇面)(?)(15.6)的郭西问题的解表示出来。同样的方法可用来解决空间却普里金方程(17.1)的郭西问题。     

Lienard方程周期解、概周期解的存在性

本文考虑 Lienard方程 x″+f (x) x′+g(x) =e(t) ,我们得到 :当 -∞ 0且 0 相似文献   

Logistic型方程周期解和概周期解的存在性

In this paper, we study the Logistic type equation x= a（t）x -b（t）x^2＋ e（t）. Under the assumptions that e（t） is small enough and a（t）, b（t） are contained in some positive intervals, we prove that this equation has a positive bounded solution which is stable. Moreover, this solution is a periodic solution if a（t）, b（t） and e（t） are periodic functions, and this solution is an almost periodic solution if a（t）, b（t） and e（t） are almost periodic functions.     

Fuzzy本征方程Rx=x全部解的表达式

本文证明了Fuzzy本征方程Rx=x与Fuzzy本征方程t(R)x=x是等价Fuzzy本征方程.由此,我们得出了一个求任意Fuzzy本征方程全部解的表达式的简便方法.     

Lienard方程周期解、概周期解的存在性

本文考虑Ｌｉｅｎａｒｄ方程ｘ”十ｆ（ｘ）ｘ’＋ｇ（ｘ）＝ｅ（ｔ），我们得到：当且时，对于任意周期或概周期。数ｅ（ｔ），它有周期或概周期解．而对于Ｌｉｅｎａｒｄ方程ｘ”＋ｆ（ｘ）ｘ’＋ｃｘ＝ｅ（ｔ），我们得到：当ｃ＞０且时，对于任意周期、或概周期函数ｅ（ｔ），它有周期或概周期解．     

广义 Liénard 方程的整体渐近性态

我们研究如下的广义 Liénard 方程的整体渐近性态(?)+f(x)(?)+g(x)=e(t),或等价地,(?)其中,f(x),g(x)是实数轴上的连续函数,e(t)为正半轴上的连续函数.     

REGULARIZATION OF AN ILL-POSED HYPERBOLIC PROBLEM AND THE UNIQUENESS OF THE SOLUTION BY A WAVELET GALERKIN METHOD

We consider the problem K(x)u xx = u tt , 0 < x < 1, t ≥ 0, with the boundary condition u(0,t) = g(t) ∈ L 2 (R) and u x (0, t ) = 0, where K(x) is continuous and 0 < α≤ K (x) < +∞. This is an ill-posed problem in the sense that, if the solution exists, it does not depend continuously on g. Considering the existence of a solution u(x, ) ∈ H 2 (R) and using a wavelet Galerkin method with Meyer multiresolution analysis, we regularize the ill-posedness of the problem. Furthermore we prove the uniqueness of the solution for this problem.     

THE LARGE TIME GENERIC FORM OF THE SOLUTION TO HAMILTON-JACOBI EQUATIONS

We use Hopf-Lax formula to study local regularity of solution to Hamilton-Jacobi (HJ) equations of multi-dimensional space variables with convex Hamiltonian. Then we give the large time generic form of the solution to We use Hopf-Lax formula to study local regularity of solution to Hamilton-Jacobi (HJ) equations of multi-dimensional space variables with convex Hamiltonian. Then we give the large time generic form of the solution to HJ equation, i.e. for most initial data there exists a constant T > 0, which depends only on the Hamiltonian and initial datum, for t > T the solution of the IVP (1.1) is smooth except for a smooth n-dimensional hypersurface, across which Du(x, t) is discontinuous. And we show that the hypersurface tends asymptotically to a given hypersurface with rate t 1 4 .HJ equation, i.e. for most initial data there exists a constant T > 0, which depends only on the Hamiltonian and initial datum, for t > T the solution of the IVP (1.1) is smooth except for a smooth n-dimensional hypersurface, across which Du(x, t) is discontinuous. And we show that the hypersurface tends asymptotically to a given hypersurface with rate t-1/4 .