角平分面的性质及应用

<正>我们首先引进角平分面的概念,设OC是∠AOB的角平分线,过点O作∠AOB所在平面的垂线l,把由直线l和射线OC确定的半平面叫做∠AOB的角平分面.通过研究发现角平分面有如下性质:性质1角平分面内的任意一条直线和角的两边所成的角相等(如图1).证明设直线m是∠AOB的角平分面内任意一条直线,(1)当m是角平分线或平行于角平分线,或者m⊥平面AOB时,显然成     

《一道常见几何题的推广》的简证

<正>读了王敬如老师的《一道常见几何题的推广》(《中学生数学》2015,2(下),P14)很受启发.唯感觉推广1和推广2中的证明较为复杂,本文给出较简单的证明思路.原文大意已知:直线AB∥CD被直线EF所截.(1)如图1,∠BEF和∠EFD的角平分线交于点G.则∠G=90°;(2)推广1如图2,将(1)中∠BEF的角     

发挥立体几何中距离和角的最值功能

立体几何中有关点、线、面的距离和角有以下的一些与最值有关的性质 :性质 1:两条异面直线的距离 ,是这两条异面直线上各取任意一点的所有连线段的长度的最小值 .一般地 ,立体几何中点、线、面的各种距离 ,是相应点、线、面上各取任意一点的连线段的长度的最小值 .性质 2 :斜线和平面所成的角 ,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角 .图 1　性质 3图性质 3:如图 1,A是半平面α内的一点 ,AB⊥β交半平面 β于B ,则二面角α -l- β的平面角 (平面角是锐角或直角 ) ,是E在交线l上移动时所有∠AEB中的最大角 .认识这些距离与…     

空间的角

空间中角的概念 ,包括异面直线所成的角 ,直线和平面所成的角和二面角 .1　异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义 ,平移其中的一条使之和另一条相交 ,就可以得到异面直线所成的角 .而平移通常是以作平行线的方法来达到这一目的 .图 1　例 1图例 1　 ( 1989年北京高一竞赛题 )如图 1,三棱柱ＡＢＣ -Ａ′Ｂ′Ｃ′中 ,全部九条棱长都等于 1,且∠Ａ′ＡＢ =∠Ａ′ＡＣ =∠ＢＡＣ ,Ｐ为侧面Ａ′ＡＢＢ′的对角线Ａ′Ｂ上的一点 ,Ａ′Ｐ =33,连ＰＣ′ ,求异面直线ＰＣ′与ＡＣ所成角的度数 .解　由Ａ′Ｃ∥ＡＣ ,故∠Ａ′Ｃ′Ｐ的度数即为异…     

有趣的平角、直角与角平分线

学了角平分线之后,你是否注意到平角,因为角平分线而与直角有了许多有趣的联系。让我们一起往下看. 例一如图1,已知A、O、B三点在同一条直线上,OC是一条射线,OD、OE分别平分∠AOC与∠BOC,你猜猜∠DOE的度数是多少?     

空间两直线所成角的一个性质

平面Ｍ内的一条直线和平面Ｍ的斜线及其在Ｍ内的射影间所成的角有下述关系 :图 1　命题 1图命题 1　如图 1所示 .平面Ｍ内的一条直线ＢＣ和Ｍ的斜线ＰＡ成角θ ,ＢＣ与斜线ＰＡ在平面Ｍ内的射影ＯＡ成角 ,则1)当 0 <θ<π2 时 ,θ> ;2 )当 π2 <θ <π时 ,θ < ;3)当θ=π2 时 ,θ = .证　 1)如图 1,∠ＰＡＣ =θ ,且 0 <θ <π2 ,∠ＣＡＯ= .过点Ｐ作ＰＣ⊥ＢＣ于Ｃ ,连ＯＣ .由三垂线逆定理知ＯＣ⊥ＢＣ .显然由ｃｏｓ∠ＰＡＣ =ｃｏｓ∠ＰＡＯ·ｃｏｓ∠ＣＡＯ ,有ｃｏｓ∠ＰＡＣ <ｃｏｓ∠ＣＡＯ .∵在 ( 0 ,π)内余弦函数为…     

线线垂直的证明方法

我们知道 ,当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,我们就称这两条直线互相垂直 ,它是两条直线相交中的一种特殊位置关系 .证明两直线垂直的问题始终贯穿于整个初中阶段 ,它在几何问题证明中占有非常重要的位置 .为此 ,本文就证明两条直线垂直的方法进行归纳总结 ,供读者参考 .1 .利用垂直的定义来证例 1　如图 ,已知 :△ABC的高AD ,BE相交于点H ;F ,G分别是AC ,BH的中点 .求证 :DG⊥DF .分析 :欲证DG⊥DF ,只需证∠GDF =90° .观察图形 ,由已知条件知∠ADB =90° ,故只需证∠ADF =∠GDB .证明 :∵DF是Rt△ACD斜…     

求异面直线所成角的几种常用方法

求异面直线所成的角是立体几何中的一个重要内容 ,本文就一道习题的多种解法谈求异面直线所成角的几种常用方法 .图　 1题目　如图 1,已知两个边长为ａ的正方形ＡＢＣＤ和ＡＢＥＦ所在平面互相垂直 ,求异面直线ＡＣ和ＢＦ所成角的大小 .解法 1　 (直接平移 )如图 1,在平面ＡＣ内过点Ｂ作ＢＰ∥ＡＣ与ＤＣ交于点Ｐ ,则∠ＦＢＰ与异面直线ＢＦ ,ＡＣ所成的角相等或互补 .由于正方形边长为ａ ,在△ＡＢＰ中用余弦定理计算得ＡＰ =5,在Ｒｔ△ＰＡＦ中 ,易得ＦＰ =6ａ ,在△ＢＰＦ中 ,由余弦定理知 ,ｃｏｓ∠ＦＢＰ =- 12 .∴ＡＣ与ＢＦ所成的角…     

构造基本图形巧解题

<正>引子一个全等基本图形如图1,△ACB和△BDE都是直角三角形,C、D为直角顶点,两斜边AB和BE互相垂直且相等,点C、B、D在同一条直线上;则△ACB≌△BED.简证由三个直角的条件和"同角(即∠ABC)的余角相等"的性质,得∠A=∠DBE,又AB=BE,根据AAS的全等判定方法,得△ACB≌△BED.     

布列方程组,解决几何探究题

<正>布列方程组的方法也可以巧妙应用在几何题的探究证明中.下面几道例题,与同学们交流分享.例1已知△ABC中,(1)若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,如图1所示,试求∠O与∠A的关系;(2)若∠ABC和∠ACB的三等分线(即将一个角平均分成三等分的射线)相交于O,O_1,如图2所示,试求∠O与∠A的关系;(3)如此类推,若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相     

联想探路——对一道中考试题的解析

题目(2011年北京中考题)在ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.(1)在图1中证明:CE=CF;(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连结DB、DG(如图     

一道竞赛题的解析证法

<正>2003年保加利亚国家数学奥林匹克(决赛)的第2题是:设H是锐角△ABC的高线CP上的任一点,直线AH、BH分别交BC、AC于点M、N.(1)证明:∠NPC=∠MPC.(2)设O是MN与CP的交点,一条通过O的任意的直线交四边形CNHM的边于D、E两点.证明:∠EPC=∠DPC.此题的证明可见文[1],给出的是一种三角证法,本文这里再给出该题的另一种解析证法,供赏析参考.证明如图,建立平面直角坐标系,不妨     

关于两直线垂直的证明

我们知道 ,当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,我们就称这两条直线互相垂直 ,它是两条直线相交中的一种特殊位置关系 .证明两直线垂直的问题始终贯穿于整个初中阶段 ,它在几何问题证明中占有非常重要的位置 .为此 ,本文就证明两条直线垂直的方法进行归纳总结 ,供读者参考 .1.利用垂直的定义来证例 1　已知 :如图 1,在⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ⊥ＣＤ ,分别在ＡＢ ,ＣＤ上取点Ｅ ,Ｆ ,使ＡＥ =ＣＦ .过Ｅ作弦ＣＮ ,过Ｆ作弦ＢＭ ,两弦相交于点Ｈ .求证 :ＣＮ⊥ＢＭ .分析 :欲证ＣＮ⊥ＢＭ ,只需证∠ＣＨＦ =90° ,即只需证∠ＨＥＢ +…     

2004年中考数学模拟试题(7)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .5 -2 的结果是 (　 ) .A .25 　　B .-25 　　C .2 5　　D .12 52 .下列运算中 ,正确的是 (　 ) .A .x2 ·x3 =x6　　B .2x2 +x3 =5x2C .(x2 ) 3 =x6　　D .(x+y2 ) 2 =x2 +y43 .如图 .直线a ,b被直线c所截 ,现给出下列四个条件 :①∠ 1 =∠ 5 ;②∠ 1 =∠ 7;③∠ 2 +∠ 3 =1 80° ;④∠ 4=∠ 7.其中能判定a∥b的条件的序号是 (　 ) .A .①②　　　B .①③C .①④　　　D .③④4.下列图形中 ,不是中心对称图形的5 .直线l1,l2 ,l3 表示三条相互交叉的公路 ,现要建一个货物中转站 ,要求它…     

Steiner定理的拓广

Steiner定理是一个著名的几何题,它的证明更是给广大数学爱好者予启发和想象.本文给出Steiner定理的拓广,供大家参考.Steiner定理在△ABC中,∠B和∠C的平分线BD与CE相等,则AB=AC.拓广定理(如图1)在△ABC中,设BD、CE分别为∠ABC和∠ACB的n≥2等分角线中的任意两条相应的分角线段     

2011年北京市中考一道综合题的多解与拓展

北京2011年中考一道综合题是这样的:在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.(1)在图1中证明CE=CF;(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连结DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.第(2)问要求"直接写出",同学们用测量的方法就可得到结论:∠BDG的度数是45°,     

相交线、平行线目标检测(一)

一、判断题(每小题2分,共10分) 1.互补的角是邻补角。 ( ) 2.相等的角是对顶角。 ( ) 3.两条相交直线不能都平行于同一条直线。 ( ) 4.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 ( ) 5.在同一平面内,不平行的两条线段必相交。 ( )     

西摩松线的一个性质

大家知道 :三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线 ,这条直线称做该点对于三角形的西摩松线 (Simson) .本文将给出关于三角形西摩松线的一个新性质 .定理　三角形的三个外角平分线与其外接圆交点的西摩松线共点 .已知　如图 1,在△ ABC(AB≥ AC)中 ,X、Y、Z分别是△ ABC三个外角∠ DAB、∠ ABE、∠ BCF的平分线 AX、BY、CZ与△ ABC外接圆的交点 ,且点 Xi、Yi、Zi(i =1,2 ,3)分别是点 X、Y、Z在直线 AB、BC、CA上的射影 .求证　直线 X1 X2 X3 、Y1 Y2 Y3 、Z1 Z2 Z3 三线共点 .先给出一个引理 :引理 [1 ]　…     

四边形又一角性质及应用

四边形四个内角的和为360°,这是四边形的一个基本性质,这个性质揭示了四边形四个内角之间的关系.(如图1)在凸四边形和凹四边形中,因为周角等于360°,若∠A的外周角(有一个公共顶点和两条公共边并且不重合的两个角,则称其中一个角是另一个角的外周角)为a,则有∠a=∠B+∠C+∠D.     

运用圆锥曲线的光学性质解题续谈

笔者在研读并欣赏文[1]之余,总觉得意犹未尽,经探究证明,得如下几个结论,遂成下文,仅供大家参考.命题1已知抛物线的焦点为F,直线PM′与PN′分别切该抛物线于点M,N,则1)如图1,若点P,F在直线MN同侧(或点F在直线MN上)时,∠MPN=12∠MFN;2)如图2,若点P,F在直线MN异侧时,∠MPN=180°-21∠MFN.图1命题1图图2命题1图证明1)分别过点M,N,P作抛物线对称轨的平行线MR,NS,PX,则∠M′MR=∠MPX,∠N′NS=∠NPX.由抛物线的光学性质知∠PMF=∠M′MR,∠PNF=∠N′NS,∴∠MPX ∠NPX=∠PMF ∠PNF,即∠MPN=∠PMF ∠PNF(1)又∵∠M…