函数与导数综合的不等式问题的处理策略——切线放缩法的应用

放缩法是解答函数与导数压轴题的常用方法,即采用相应的不等式作为放缩的工具,将所证超越不等式放缩为常规的不等式.其中根据曲线及其切线的位置关系而得到的不等式在解题中有广泛的应用,这类不等式我们常称之为切线不等式,而此种方法即为切线放缩法.     

赏析高校强基计划考试中的多元最值问题

求解多元最值问题,与不等式的证明策略密切相关,均值不等式、柯西不等式、分析法、比较法、放缩法、解方程法等都是常用的重要方法.本文以近几年高校强基计划考试中的部分试题为例,介绍解题策略,并作相应变式.     

用待定系数法放缩证明数列不等式

<正>用放缩法证明数列不等式是高中数学的难点内容.由于放缩法灵活多变,技巧性强,导致学生甚至教师在使用该法时往往把握不好放缩的度,找不到解题的规律.笔者在教学过程中发现,利用待定系数法能够"恰到好处"地将数列放缩,从而一步到位完成问题的证明.本文介绍该方法在两种常见类型数列中的应用.     

数列不等式证明的若干放缩技巧

数列问题始终是高考的一大亮点,在高考试卷中可谓是常考常新,尤其是近几年数列与不等式的融合更成为高考命题者的新宠.数列不等式的证明是考察学生解题能力的重要内容,倍受命题者的青睐.放缩法是数列不等式证明中经常使用的方法,现将数列不等式证明的若干放缩技巧归纳如下,供大家参考.     

两类数列不等式问题的逐项放缩证法

<正>利用放缩法证明数列不等式历来是高考与竞赛的热点问题,由于证明方法灵活多样,并且有知识广、难度大、思维深、技巧强等特点,深受教师与学生的喜爱,研究的兴趣弥久不衰、常见的问题都是与数列求和或者数列求积等结合,经典的策略之一是先对通项公式放缩,使得放缩后的通项公式能求出和或者积,又能满足不等式的要求.关键是对"通项"进行研究,逐项放缩,整体运算进行解题.类型1乘积式逐项放缩     

解决函数零点距离问题的四种思路

<正>与函数零点有关的不等式问题是近几年高考和各地模拟考试的一个热点问题.与极值点偏移问题类似,函数零点距离问题也是关注函数值相等时对应的自变量之间的关系.前者关注自变量之间的和或积构造的不等式,后者关注由自变量之差引申出的不等关系.两者形式相似但解法差异较大,相较于极值点偏移问题其难度更高,综合性和灵活度更强.解决函数零点距离问题时常需要运用放缩的方法.但是采用怎样的放缩方法是解题过程中的难点问题.本文归纳总结了几种常用的放缩方法,对命制和解决类似问题提供思路.     

放缩法解题举例

<正>在近几年高考及竞赛中.有许多题都可用"放缩法"来求解,并且对解题带来极大简便,不仅节省了时间,而且提高了答题的准确率."放缩思想"理论基础是不等式性质中的传递性,即ab、b>c(?)a>c),     

曲径通幽处:一道高考模拟试题的背景揭示与破解

本文对一道二元二次方程约束条件下的二元函数最值问题进行了深度探究,阐述了试题命制的高等数学背景.从方程有解、函数最值、不等式放缩、几何直观等视角进行了解答,试图引导学生深刻剖析题设条件,敏锐捕捉解题灵感,触发思维萌芽,多方位搭建解题思路,提高解题效益.     

灵活应用切线不等式速解导数综合题

放缩法是处理函数与导数综合问题的重要工具,通过放缩可以将含有指数式、对数式或三角式的超越式化为一次式,从而简化问题的求解过程.利用曲线与其切线的位置关系进行放缩是常用的放缩方式,其中几种重要的切线不等式有指数函数的切线不等式、对数函数的切线不等式,以及三角函数的切线不等式.     

数列和不等式证明中的放缩技巧

数列和不等式的证明是高考中的一个热点,也是一个难点,难在常常不知从何下手,事实上,此类不等式常要对数列的项进行放缩,那么放缩的目标是什么？如何朝这一目标放缩？因此明确目标是关键,通过练习思考,我总结出应用放缩法证明数列和不等式的一些基本技巧,请大家指正．     

放缩与跨度及不等式证明

放缩与跨度及不等式证明王炳如（湖南娄底市涟源钢铁厂技工学校４１７１００）放缩法是证明不等式的基本方法．所谓放缩就是将数学式中的若干项的值放大或缩小，从而造成不等式．不等式两边的差值称为不等式的跨度，本文约定不等式ａ≥ｂ（或ｂ≤ａ）的跨度为ａ—ｂ．弄清...     

巧裂项，妙放缩——一道递推数列的裂项放缩技巧

解决一些涉及函数类型的数列递推关系式的求和问题,关键是抓住数列递推关系式的实质,进行合理变形与转化,巧妙结合不等式的性质加以放缩处理,综合数列求和的裂项相消法来解决,结合模拟题实例,从不同视角加以裂项处理,总结裂项放缩变形的基本策略与方法,引领并指导数学教学与解题研究.     

作差比较法

<正>在比较大小和不等式证明的教学中,很多师生不关注比较大小和不等式证明的方法之母—作差比较法,而片面追求技巧性强的方法,如放缩法、换元法、构造法、借助常见不等式等,与高中数学教学新理念不和谐,应收敛.作差比较法下手快,目标明,利于解题思维推进,符合高考命题原则,值得关注.本文略举数例说明,旨在抛砖引玉.     

例说放缩法证明不等式常用放缩途径

放缩法是证明不等式的重要方法,也是高考考查的重点．本文说明放缩法证明不等式的常用放缩途径．     

巧用“放缩法”,速证数列不等式

在近几年的高考数学试题中,常以数列递推式中不等式的证明作为能力型试题,这类问题综合性强,思维量大,能力要求高,是同学们感到很棘手的一类问题.而"放缩法"又是解决这类问题的有效手段,但在放缩过程中,又会常常出现思维受阻的现象,此时必须反思解题过程、深化思维层次、提高思维水平,本文通过具体的例子.对该种方法的运用予以详细剖析.     

Hermite正定对称矩阵迹的一些结果(英文)

本文研究了一类Hermite正定矩阵迹的不等式问题.利用文献[2-6]中的结果以及放缩法,获得了Hermite正定矩阵迹的极值定理、杨氏不等式和贝努利不等式,并且将许多初等不等式推广到Hermite正定矩阵迹的情形.     

高考中如何巧用放缩法证明数列不等式

<正>数列与不等式的交汇题作为高考的一类重要题型,在全国各地的高考试题中屡次出现.放缩法作为数列不等式证明的一种重要方法,由于其灵活多变,学生很难掌握.本文借助高考试题谈一谈用放缩法证明数列不等式的常用策略.     

合理构造 多向放缩

<正>近几年的高考导数压轴题,题型新颖别致、不落俗套,综合了函数、不等式等问题,蕴含了数形结合、构造、放缩等数学思想方法,综合考察学生的分析问题和解决问题的能力.而且试题难度、深度和广度还在不断变化.如何进行有效突破,是值得研究的课题.本文通过对2021年全国新高考Ⅰ压轴题的分析研究,通过构造函数、合理放缩,化复杂为简单,化抽象为具体,给出了常见解导数压轴题解题思维方式.     

构造辅助“双函数”解函数综合题

<正>对于证明与函数有关的不等式,或已知不等式在某范围内恒成立求参数的取值范围,讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,通过求导研究其单调性或寻求其几何意义来解题.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也因此而不同.有直接构造(如人教A版选修2-2P32B组第1题),也有稍作变形后再直接构造,有的要适当放缩后再构造,对有的数列不     

连续放缩两次探求多元函数最值

<正>求多元函数最值问题,内涵丰富,方法灵活多变,技巧性强,难度大,解法没有规律性,且有些此类问题按常规方法求解更有难度.若利用题设条件、不等式性质、基本不等式及柯西不等式等连续放缩两次,将多元变量转化为少元变量或单元变量,并兼顾等号成立的条件来解答,可使思维简约,过程简捷.下面举例说明,旨在抛砖引玉.1.由题设条件和均值不等式连续放缩两次由题目直接或间接给出的条件和均值不等式连续放缩两次,将多元变量最值问题转化为一