四面体的界心

文[1]中,笔者把三角形的奈格尔(Nagel)点[2]概念及性质引申推广至有棱切球的特殊四面体中.本文拟将奈格尔点概念进一步引申推广至一般四面体中.三角形的奈格尔(Nagel)点被国内作者称为三角形的"界心";——这是由三角形的三条"周界中线"交于一点而得名(同一个三角形的界心与奈格尔点是同一点,以下统称为三角形的界心).     

四面体的界心

文[1]中,笔者把三角形的奈格尔(Nagel)点[2]概念及性质引申推广至有棱切球的特殊四面体中.本文拟将奈格尔点概念进一步引申推广至一般四面体中. 三角形的奈格尔(Nagel)点被国内作者称为三角形的"界心"[3～10]——这是由三角形的三条"周界中线"交于一点而得名(同一个三角形的界心与奈格尔点是同一点,以下统称为...     

非等边双圆闭折线的一个性质

文[1]为了证明不等式三角形若干“心”的一个性质,给出以下引理:引理设不等边△ABC的外心为O,垂心为H,内心为I,界心为K,则OI=∥12KH.本文拟用向量法将其推广到非等边双圆闭折线中.定理设非等边双圆闭折线的外心为O,垂心为H,内心为I,奈格尔点(即界心)为K,则OI=n-11NH.证明设非等     

圆外切闭折线的奈格尔点定理

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了定义三角形"奈格尔点"的定理如下:……     

一类定值问题在圆锥曲线中的推广

文[1]将一些特殊平面图形或空间几何体的定值性质的一系列研究([2]?[4])结论推广到三角形、四边形、正多边形、四面体的“重心圆(或重心球)”,即命题1[1]以三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)的重心为圆(球)心的任意圆周(球面)上的点到三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)各顶点的距离的平方和为定值.     

四面体的等角共轭点性质初探

1 引言 在文[1]和[2]中,我们已将三角形"等距共轭点"的概念及有关性质推广至四面体中.本文将进一步研究"等角共轭点"的概念及性质在四面体中的推广. 过△ABC的顶点A作两条直线,关于∠A的平分线对称,与BC所在直线分别交于A1、A2,则线段AA1与AA2称为从△ABC的顶点A引出的一对"等角线".     

四面体外心坐标公式

文[1]给出了四面体的界点、界心及其坐标公式,并提出:"求四面体外心的一般坐标公式"的问题.本文解决这一问题,给出四面体外心坐标公式.     

四面体的界点、界心及其坐标公式

笔者在文 [1 ]、[2 ]中给出了三角形特殊点的一般坐标公式及四面体的内心和旁心的坐标公式 ,本文将介绍四面体的界心概念的定义 ,并给出界心的坐标公式 .图 1四面体关于一棱的中界面可定义如下 :如图 1 ,过棱 AD作四面体 A -BCD的截面 ADP,交对棱于 P,如果平面 ADP把它的全面积分为两等份 ,就称平面 ADP为四面体关于棱 AD的中界面 .显然每一个四面体有 6个中界面 .1　中界面的性质定理中界面 ADP分对棱 BC成两段之比为　　　 BPPC=S- S3 S- S2( 1 )这里我们记 A - BCD的顶点 A、B、C、D的对面三角形面积分别为 S1、S2 、S3…     

四面体

四面体又叫三棱锥 ,它是最简单、最基本的多面体 .四面体在立体几何中的地位就象三角形在平面几何中的地位一样 ,在数学竞赛中 ,立体几何以四面体为主要内容 .1　一般四面体由于四面体是三角形在空间的推广 ,因此 ,三角形的许多性质也都可以推广到四面体 :1 )连接四面体对棱中点的线段交于一点 ,且在这里平分这些线段 .2 )连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点Ｇ ,且这点将所在线段分成的比为 3∶1 ,Ｇ称为四面体的重心 .3)每个四面体都有外接球 ,球心Ｏ是各条棱的中垂面的交点 ,此点到各顶点距离等于球半径 .4)每个四面体都有内切…     

类比猜想又一例

<正>在文[1]中沈老师将平面几何中的一个结论"△ABC的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心且重心分中线之比为2∶1(从顶点到中点)."类比猜想得到立体几何中的一个结论:空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线,且四条中轴线交于一点,这点叫此四面体的重心,则空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1(从顶点到对面三角形的重心).本文再给出由平面几何类比到立体几何     

四面体

四面体是最基本也是最重要的一种几何体,它是三角形在空间的直接推广.四面体的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来,如:连接四面体对棱中点的线段交于一点且互相平分;连接四面体任一顶点与它对面三角形重心的线段交于一点G,且这点将所在线段分成的比为3:1,这个点G称为四面体的重心;四面体都有外接球和内切球;等等.等腰四面体(对棱均相等的四面体)、直角四面体(有一组共顶点的三条棱两两互相垂直的四面体)和正四面体是三种特殊的四面体,在竞赛中经常涉及到.较复杂的多面体问题常转化为四面体问题加以解决,常用的数学思想方法有变…     

界点四面体的体积

文[1]给出了四面体的界点、界心的定义及其坐标公式,本文给出界点四面体的定义和体积的有关结果.     

类比猜想又一例

在文[1]中沈老师将平面几何中的一个结论＂△ABC的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心且重心分中线之比为2∶1（从顶点到中点）.＂类比猜想得到立体几何中的一个结论： 空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线,且四条中轴线交于一点,这点叫此四面体的重心,则空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1（从顶点到对面三角形的重心）.     

四面体问题

四面体即三棱维,它是最简单也是最基本的多面体.四面体在立体几何中的地位就象三角形在平面几何中的地位一样.由于四面体是三角形在空间的推广,因此,三角形的许多重要性质也都可以推广到四面体.比如:1°连接四面体对棱中点的线段交于一点,且互相平分.2°连接四面体任一顶点与它     

四面体内心与旁心的一个有趣性质

文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理　设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1　点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1　定理 1图证　如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC…     

四面体的重心与垂心的性质

1 四面体的重心 由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义.     

与外周界中点三角形有关的不等式

文 [1]给出了三角形的周界中点的定义 :定义 1　如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分为两条等长的折线 ,那么就称这一点为三角形的周界中点 .由于三角形任意两边之和大于第三边 ,因而三角形任一边上的周界中点必为这边的内点 .因此 ,我们不妨称定义 1中的周界中点为该三角形的内周界中点 ,以三个内周界中点为顶点的三角形称为该三角形的内周界中点三角形 .类似地 ,我们可以建立三角形的外周界中点及外周界中点三角形的概念 .定义 2　若将三角形的一条边延长 ,使其延长部分等于另两边之和 ,那么就称这条边与其延长部分构…     

关于棱锥的一个猜想的证明

文[1]、文[2]对2005年湖南省高考数学试题(理10)进行了探究推广,分别给出了多边形面积三角形化定比分点、棱锥体积棱锥化定比分点的概念及有关性质.定义1设P是n边形A_1A_2…A_n(n≥3)内任意一点,S表示该n边形的面积,     

四面体外接球内一点的性质

文 [1]证明了关于三角形外接圆内一点的一个命题 ,即命题　设△ABC内接于圆O ,其重心为G ,P为圆O内一点 ,AP ,BP ,CP分别交圆O于A1,B1,C1,则 APPA1 BPPB1 CPPC1=3成立的充要条件是 :点P在以OG为直径的圆上 .本文将推广这一命题至三维空间 ,证明关于四面体外接球内一点的性质     

四面体的对棱所成的三角形

文 [1],[2 ]讨论了四面体的对棱构成的三角形 ,文 [3]继续讨论了四面体的二面角所构成的三角形 .之所以做这些工作 ,除了能利用等价变换迅速将三角形的不等式推广到四面体[1,2 ,3] 外 ,还可用来进行四面体间的体积比较[4 ] .本文继续探讨四面体的对棱所构成的三角形 .以下 ,在四面体Ａ1Ａ2 Ａ3Ａ4 中 ,Ａｉ 的对面为Ｓｉ(1≤ｉ≤ 4 ) ,Ｓｉ,Ｓｊ 的夹角为θｉｊ(1≤ｉ<ｊ≤ 4 ) ,三组对棱Ａ1Ａ2 ,Ａ3Ａ4 ;Ａ1Ａ3,Ａ2 Ａ4 ;Ａ1Ａ4 ,Ａ2 Ａ3分别记为ａ ,ａ′ ;ｂ ,ｂ′ ;ｃ,ｃ′ .这三组对棱中点间的距离分别为ｍ1,ｍ2 ,ｍ3.外接球半径为Ｒ ,…