例谈max[f(x),g(x)]、min[f(x),g(x)]型函数题型的解题策略

所谓max[f(x),g(x)]或min[f(x),g(x)]型函数,即是在定义域的不同部分,函数取这两个或两个以上函数值最大的函数式(或最小的函数式)作max[f(x),g(x)](或min[f(x),g(x)])的解析式,解这类问题的最佳方法是数形结合,本文例举几例说明这类函数的求解策略.     

一个重要函数不等式x/(x+1)≤ln(1+x)≤x及其应用

在导数的应用里很容易得到这样一个重要不等式x/(x+1)≤ln(1+x)≤x,(x＞-1,当且仅当x=0时取等号),通过利用这个不等式或者它的等价变形可以用来证明一些数列不等式或者函数不等式的问题,下面搜集了在近年来的部分省份高考试题中的一些应用.例1 (2008年山东理21)已知函数f(x)=1/(1-x)n+aln(x-1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.     

不等式f(x)·(g(x))~(1/2)≥0的解法

解不等式 f(x)·g(x) ≥ 0极易出现漏解或增解 ,最常见的错误解法是 ,将 f(x)·g(x) ≥ 0转化为不等式组 f(x)≥ 0 ,g(x)≥ 0 .须知 f(x)·g(x) >0与 f(x) >0 ,g(x) >0同解 ,但是 f(x)· g(x) ≥ 0与f(x)≥ 0 ,g(x)≥ 0并不同解 .那么 ,怎么解此类不等式呢 ?下提供三种基本的解法供参考 .方法 1　将关系符号分解符号“≥”是由“ >”与“ =”复合而成 ,这样解不等式 f(x)·g(x) ≥ 0可以转化为解不等式 f(x)· g(x) >0与解方程 f(x)·g(x) =0 .例 1　解不等式 (x - 4 ) x2 - 3x - 4 ≥ 0 .解　原不等式可以转化为 (x - 4 )x2 - 3x - 4>0或 (…     

关于积分integral from a to b(f(x)g(x)dx)的一个不等式及其对低度光滑函数数值逼近的应用

本文给出了用函数f的p次幂全变差来估计满足integral from n=a to b(g(x)dx=0)的积分 integral from n=a to b(f(x)g(x)dx)的绝对值的一个准确不等式。这个不等式为对非饱和的数值逼近的误差项中无穷小因子的分离提供了有力工具,并以一个内接折线逼近的例子作为说明。     

二等分法与一个积分不等式的最佳常数

文献[1]研究了一个含有f(x),f′(x),f″(x)的积分不等式,给出了该不等式的最佳常数.本文对文献[1]中的k等分法进行改进,说明该不等式的最佳常数可以用二等分法得到.     

怎样由f[φ(x)]求f(x)

由已知的函数关系式f[φ(x)]求f(x),进而求f〔ψ(x)〕的问题,比较抽象,不少学生感到无从入手。现介绍一些常用解法。一、定义法例1 已知f(x-1)=3x~2-8x+10,求f(x)及f(x+a)。分析 f(x-1)是以(x-1)为自变量的函数,欲求其对应关系,可拆项、添项,将已知表达式配凑成关于(x-1)的多项式。     

从方程x=f~n(x)的实根到自映射f的不动点与周期点

设f(x)是实变数x的一个实值的单值连续函数,n是一个正整数,并且用f~n(x)表示f的n次复合函数f(…(f(f(x)))),文献[1]的作者们讨论了方程x=f~2(J)的根与x=f~n(x)的根之间的关系,并应用来解方程x=f~n(x),对于一些具体的函数f(x),例如(2 x)~(1/2),1/(1 x)或x~2-1.[1]是一篇很有启发性的文章。     

函数不等式e~x≥x+1及其变形在高考压轴题中的应用

1.不等式ex≥x+1(x∈R)的证明记f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1.令f′(x)=0得x=0,当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,∴f(x)在R上的最小值为f(0)=0,∴ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时等号成立.     

函数f(x)=ax b/x(a,b∈R~ )的教学设计

函数f(x)=ax bx(a,b∈R )是高中数学中重要的函数之一,在相关知识中有平均不等式的应用,函数f(x)最值的讨论,函数单调性的讨论,函数奇偶性的讨论,画出函数图象,其间渗透了极限的思想和函数在指定区间的最值等等.其变化多,应用广,是高中数学命题中倍受老师们欢迎的数学典型试题.因此我们专门在高二年级学习均值不等式之后,设计了一节课,取得了一定的效果.1教学设计时对几个问题的分析1)内容分析:函数f(x)=ax bx(a,b∈R )的图象和性质以及应用,变化多而广,所涉及的数学试题能较好地检验学生运用数学知识解决问题的能力.2)学情分析:铜仁一中为…     

可微(h-m)-凸函数的若干不等式

研究可微(h-m)-凸函数的不等式.首先给出在h可微且满足h(0)=0,h(1)=1的情况下,可微(h-m)-凸函数的一个必要条件:mh′(0)f(y)-h′(1)f(x)≥(my-x)f′(x),由此出发可获得若干不等式.另外,在不要求h和f可微的情况下,给出一个新的Hermite-Hadamard型不等式.     

方程y″(x)+p(x)y(x)=y(x)解的有界性与振动性

设P(x)、f(x)∈C~1[0,+∞),在[0,+∞)上,P(x)>0,P′(x)≤0且(?)P(x)=ρ>0,intejral form 0 to +∞。|f′(t)|dt<+∞。我们给出了方程y″+P(x)y=f(x)解的有界性与振动性结果。     

关于方程f_1(x)f_2(x)=0的解集

,l没方程f(x)=O的解集是F,如果/(、)~f,(x)·f:(x),且方程j,(x)=0与fZ(x)二orYJ解集分别是F:和F:,则F=F,UF:”① 这是《、J一苏教育》82年第7期第2。页上的一个命题.类似这个命题的还出现在其他几家刊物上.①式是正确的吗?请吞日4lJ. 方程f,(x)=(x一1)(x一2)二o的解集I了,={l,2     

关于集值系统x∈F(x,y),y∈G(x,y)解的存在性

Let (E, ‖·‖) be a uniformly convex Banach space, X a nonempty compact and convex subset of E. Let F be a closed mapping of X×X into 2^X, G a mapping of X×X into C(X). It is shown that if for any f∈C(X), x∈X, F(x,f(x)) is a closed and convex subset of X, and G(x,f(x)) is a continuous function and for any x,y₁,y₂∈X,H(x,G(x,y₁),G(x,y₂))≤‖y₁-y₂‖ then there exist X₀,y₀∈X such that X₀∈F(x₀,y₀) and y₀∈G(x₀, y₀).     

对《一类绝对值不等式(方程)的特殊解法》的一点意见

《中学数学》1 9 83年第4期上《一类绝对值不等式(方程)的特殊解法》一文中,介绍了一个定理。 定理如果厂(‘)十叫x))o,则不等式}f(‘)I丫印(、)与不等式f(x)V甲(x)同解。(符》O”〔1)改为“f(x)+印(x)>o,,(2)或改为 “脚f(万)、n甲(x)》0(m、儿>0刘.于(1),我们有,n>”)”。气“V”镇”,表示“>”,“<,,,“》,,、中、的任一种) 定理1}f(x)!夕甲( 证明如果f(x)+甲执)>0,则不等式x)与不等式厂(x))甲(二)同汗。·:}厂(x)l》印(x),即厂(x)乒印(x)来解 这里要指出的是,当这个定理中的“V”为“>”,“<”,“(”时,此定理是成立的,当“丫”为“》…     

问题223 函数g(x)=sinx(x≥0)是不是周期函数?

对于函数周期性的概念,人教A版必修4第34页是这样写的:"对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零实数T叫做这个函数的周期.周期函数的周期不止一个,例如,2π,4π,6π,…以及-2π,-4π,-6π,…都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期.     

f(m x)=f(m-x)的几何意义及其解题中的应用

有如下一道试题: 函数,定义在实数域上,并满足如下条件:对任何x,f(2 x)=f(2-x),而且f(7 x)=f(7-x)。若x=0是f(x)=0的一个根,求f(x)=0在区间-1000≤x≤1000中至少应有几     

求证f(x)>g(x)的四种情形

<正>求证f(x)>g(x)是高考中经常出现的问题,大家直接想到的是通过作差构造新函数h(x)=f(x)-g(x)找到f(x)>g(x)的充要条件,但有时由于h(x)的单调性很难确定,往往陷入困境.所以有时我们要找到f(x)>g(x)的充分条件,即通过最值之间的比较.本文意在通过四道例题将求证f(x)>g(x)的所有情况细分开来归纳成四种情形.     

例谈nmx[f（x），g（x）]、min[f（x），g（x）]型函数题型的解题策略

所谓max[f(x),g(x)]或min[f(x),g(x)]型函数,即是在定义域的不同部分,函数取这两个或两个以上函数值最大的函数式(或最小的函数式)作max[f(x),g(x)](或min[f(x),g(x)])的解析式,解这类问题的最佳方法是数形结合,本文例举几例说明这类函数的求解策略.     

函数|f(x)|和f(|x|)的周期性

本文讨论连续的周期函数f(x)分别与函数|f(x)|、f(|x|)之间的周期性和最小正周期的关系,其中f(x)(?)c(常数)。 定理1.若f(x)为非常数的连续周期函数,则|f(x)|也是连续的周期函数。 证明:显然f(x)与|f(x)|有相同的定义域X.f(x)(?)c,则连续的周期函数f(x)必有最小正周期T(证明可见参考资料[1])。     

表达式x(f)/(x)+y(f)/(y)和x(f)/(y)-y(f)/(x)的若干性质

讨论了偏导数表达式x(f)/(x)+y(f)/(y)和x(f)/(y)-y(f)/(x)的若干性质,尤其是它们的积分性质