组合数公式的特殊运用

组合数公式Cnm=n(n-1)…(n-m+1)/m!不仅在解决组合问题中可以运用,在解其他题时,如果使用它有时也可以使解题化繁为简. 例题 求数列{n(n+1)(n+2)(n+3)}(n∈N*)的前n项和Sn. 分析 用常规方法虽然也可以解出,但过程比较冗长,如果用组合数公式解答就比较简单.     

从两道习题所想到的

中师课本《简易微积分》全一册习题一中的第9题(P_(17))包含了这样的两个小题: (1)求lim n→∞1+2+…+n/n~2; (2)求lim n→∞1~2+2~2+…+n~2/n~3。运用公式不难求出它们的极限值:     

倒数变换的应用

<正>倒数代换是数学解题中重要的技巧之一,它在求函数最值与值域、解不等式、证明不等式等问题中都有重要的应用.1.求函数最值与值域.例1设S_n=1+2+…+n(n∈N*),求f(n)=S_n/(n+32)·S_(n+1)的最大值.解∵S_n=n(n+1)/2,     

一题多解两例

一题多解是培养发散思维的重要手段。在教学过程中 ,教师应利用学生“好想”、“好奇”、“好动”的心理 ,注重一题多解与一题多变 ,来激发学生学习高等数学的兴趣 ,培养学生的发散思维。下面结合例题来说明之。例 1　将函数 f( x) =x2( 1 +x2 ) 2 展开为 x的幂级数。解 1　利用 ( 1 +x) n的展开式1( 1 +x2 ) 2 =( 1 +x2 ) - 2 =1 +∑∞n=1( -2 ) ( -2 -1 )… ( -2 -n +1 )n!( x2 ) n =1 +∑∞n=1( -1 ) n( n +1 ) x2 n　 |x|<1 ,故 x2( 1 +x2 ) 2 =x2 +∑∞n=1( -1 ) n( n +1 ) x2 n+ 2 =∑∞n=1( -1 ) n+ 1nx2 n|x|<1解 2　采用微分法转化…     

“代点法”一文的一点补充

一九八三年第六期《数学通报》刊载了胡世荣同志的篇名为“解平面解析几何题的简捷方法——代点法”的文章。文章的绝大部分内容是正确的,也是简捷的一种解题法。但文中第三部分“二次曲线的弦被一定点平分求这弦所在的直线方程”,作者却忽视了定点M(m,n)在坐标系中的位置。应当指出:绝非任一点M(m,n)都有弦P_1P_2存在,使得P_1、P_2在二次曲线上,且M为P_1P_2线段的中点。     

挖掘教材潜能，拓展学生思维

在教学实践和探索中 ,我们发现 ,挖掘教材的潜能 ,用好课本例题 ,对拓展学生的思维有很大的帮助 ,因为教材中的例 (习 )题 ,是经过反复比较 ,精心筛选出来的 ,在解题思路和方法上具有典范性和代表性 ,在知识转化的能力上具有示范性和启发性。本文就如何用好教材 ,挖掘教材潜能谈一些体会。一、以例带类 ,异中求同 ,启发学生的思维活动许多例 (习 )题表面上存在差异但本质结构是相同的 ,通过例题的解答 ,总结出对应的数学思想和数学方法。例 1　解方程组x + y =5(《九年级义务教育课本》数学xy=6九年级第一学期P40例 2 )该方程组的特点是“…     

关于阶乘的Erds-Stewart猜想

摘要:设n是正整数;P_0=1,P_i(i=1,2,…)是第i个素数.本文证明了:方程 n!+1=P_k~aP_(k+1)~b,P_(k-1)0,b>0,仅有解(n,P_k,P_(k+1),a,b)=(1,1,2,1,0),(2,3,5,1,0),(3,5,7,0,1),(4,5,7,2,0),(5,7,11,0,2).上述结果证实了Erds和Stewart提出的一个猜想.     

在习题教学中渗透研究性学习

进入高三复习阶段 ,学生手中的资料越来越多 ,习题浩如烟海 .怎样把学生从题海中解脱出来 ?这是一个值得研究的重要课题 .我们不主张学生用过多的复习资料 ,而应该力求资料来源于课本 ,来源于教材 ,来源于研究性学习的活动之中 .同时要求学生在解题过程中 ,做到规范、多解、多变 .下面我们从解一道高考试题谈起 .研究一　在解题过程中 ,课本习题中的结论能否直接当定理用 ?图 1　题 1图题 1　 (2 0 0 1年高考理科试题 ,第 19题 )设抛物线ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ >0 )的焦点为Ｆ ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ ,Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ…     

直观方阵法求组合数列的和

在高中数学课本中,给出了下列组合数列的和: (1)C_n~0+c_n~1+c_n~2+…+c_n~n=2~n; (2)(C_n~0)+(c_n~1)~2+…+(c_n~n)~2=(2n)!/n!n! 如何利用这些组合数列的和,解它们的引伸题,我们采用了直观方阵法。例1 求和: (3)C_n~1+2C_n~2+3C_n~3+…+nc_n~n (4)C_n~0+2c1/n+3c_n~2+…+(n+1)c_n~n 解:排列方阵如下: C_n~0C_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~n C_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~nC_n~0 C_n~0c_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~n ………………… …     

诱人的"怎么想到的"

题 已知正整数n≥2,求证:2n/3n+1<1/n+1+1/n+2+...+1/2n<3/4. 上题是笔者期中复习课上选用的一道例题,旨在帮助学生复习数列不等式证明的常用方法.     

解对数不等式常见错误浅析

1986年高考数学试题(理工农医类)第四题是一个解条件对数不等式问题。尽管这题难度不大,但不少考生解题却十分费力。可见,加强关于解对数不等式的教学十分必要。 六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册,仅仅安排一个解对数不等式的例题(见该书     

数列架桥 差分铺路 妙解赛题

在解一些与正整数有关的数学竞赛问题过程中,常常需要根据题给条件,构造适当的数列{f(n)},然后利用它的一阶差分f(n+1)-f(n)来解决问题.构造一个怎样的数列有助于解题呢?当然因题而异.本文将通过一些例     

课后练习题的巧解与思索

<正>在学习人教版选修2-2第二章《推理与证明》时,在课本P₉₆页B组题的第二题是这样一道题,"用数学归纳法证明:1·n+2（n-1）+3 （n-2）+……+n·1=1/6n（n+1）（n+2）."华岁庚在讲数学归纳法时曾说过"难处不在于有了公式证明.而在于没有公式之前怎样     

均值不等式的两个(对称的)简证——《不等式选讲》教学札记

1问题的缘起新教材《不等式选讲》(人教A版选修4—5)介绍均值不等式是分两步进行的,先用数学归纳法证明引理:如果n(n为正整数)个正数a_1,a_2,…,a_n的积a_1a_2…a_n=1,那么它们的和a_1+a_2+…+a_n≥n.(P_(52)例4)再作一个代换(P_(53)探究2)得到.     

本体论视域下篮球技战术释义

例题是课本的有机板块之一,肩负着巩固知识、渗透方法的重要功能,是学生掌握数学知识、学会解题的重要途径．教学实践中,教师通常对例题都十分重视,除了精辟分析、讲解思路外,还常常关注一题多解、拓展延伸,努力实现例题功能的最大化．在一题多解中寻求创新解法,应是例题教学的更高追求,也是发展学生求异思维、培养创新能力的有效途径．     

网络知识在课本习题中大有文章可作

在进入高三后,学生手中的习题浩如烟海,他们偏重资料,忽视课本,沉溺于题海,但收效甚微。针对这种倾向,在复习不等式证明的时候,我充分利用课本习题之间的相互联系、相互作用、相互影响这一规律,引导学生在解题之后作必要的解题思想的概括,方法技巧的总结,多解简解的探索,把问题不断演变     

课本例题的联想

课本中的许多例题、习题,都为我们解决一些疑难问题提供了方法．所以我们在平时的学习中不能就题论题,而要深入地研究和探索,掌握解决一类问题的方法,以提高我们的解题能力．下面就以人教版《数学》第二册(下A)第134页例1为例加以说明,以激发我们研究课本习题、例题的兴趣．     

关于一类插值样条

在S_(n△)。中有唯一解.令P_△f=s(x),s(x)是对f(x)关于上述插值问题(1)的解,J.Tzi-mbalario证明投影算子P_△:C~(-1)[a,b]→S_(n△)是有界的,这里C~(-1)[a,b]是[a,b]上有界函数全体所成的空间. J.Tzimbalario的证明是错误的,因为从[1]中(3.6)式通过计算得到的不是(3.7)式,     

素变量具有特殊形式的哥德巴赫问题

设P_k表示素因子个数不超过k的殆素数．本文证明了对几乎所有充分大的偶数n≠2(mod6),方程n=p_1+p_2有素数解p_1,p_2,且p_1+2=P_3;对任何充分大的奇数N≠1(mod6),方程N=p_1+p_2+p_3有素数解p_1,p_2,p_3,且p_2+2=P_3, p_3+2=P_2．     

题海拾贝

全日制十年制学校高中课本《数学》第一册复习题三第19题(1)是:“在△ABC中,求证:tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC”。利用这个结论来解一些有关题目很简便。举四例加以说明例1