漫画趣题

~~漫画趣题答案第一题甲需要 2 2天 ,乙需要 2 1天 ,丙需要 18天 .设丙完成一项工程需要ｘ天 ,则甲需要ｘ +4天 ,乙需要ｘ +3天 .乙比丙早开工 6天 ,乙不是最后完工的 .甲比丙早开工 3天 ,但甲比丙多用 4天 ,所以甲是最后完工的 .这样 ,甲需要的天数加上乙比甲早开工的 3天 ,共计 2 5天 ,即 (ｘ +4 ) +3=2 5,ｘ =18. 第二题一样多 .第三题最大的数为 9876 52 4 130 ,最小的数为10 2 4 37586 9.令ａ =奇数位数字之和 ,ｂ =偶数位数字之和 ,所以ａ+ｂ =4 5,且 11可以整除ａ -ｂ(或ｂ -ａ) .ａ-ｂ(或ｂ-ａ) =0 ,11,2 2 ,33,因为ａ +ｂ=4 5且ａ…     

不定方程x^2＋y^2＋z^2＋w^2正整数解的结构与表示

对于四元不定方程ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =ｗ2 ,显然 ,若 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =(ｋｘ0 ,ｋｙ0 ,ｋｚ0 ,ｋｗ0 )(ｋ≠ 0 )是它的一个解 ,则 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ ) =(ｘ0 ,ｙ0 ,ｚ0 ,ｗ0 )也必是它的一个解 .故只须考虑 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =1 ,即ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ四数互质的情况 .定理 1　 (解的结构 )若正整数ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =ｗ2 ,且 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =1 ,则ｘ ,ｙ ,ｚ三个数中 ,必定是一个奇数、二个偶数 .证　ｘ ,ｙ ,ｚ三个数的奇偶性 ,共有四种情况 :①全为偶数 ;②全为奇数 ;③二奇一偶 ;④一奇二偶 .①若ｘ ,ｙ ,ｚ全是偶数 ,则ｗ也…     

数学题中的2020

<正>1.是否存在正整数x、y,使x²+y2+y²=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)2=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)²+(2m+1)2+(2m+1)²=2020,展开得4k2=2020,展开得4k²+4k+4m2+4k+4m²+4m=2018,于是有2k2+4m=2018,于是有2k²+2k+2m2+2k+2m²+2m=1009,     

整数环上矩阵平方和的两个新结论

本文利用 F2 上方阵为平方矩阵的充要条件 ,证明了 :1任一阶数为偶数的整数矩阵可表示成 5个平方次幂整数矩阵之和 ;2任一整数矩阵可表示成 6个平方次幂整数矩阵之和 ,从而改进了文 [2 ,3 ]的主要结论 .     

发散性教学与收敛性教学

<正> 一、发散性思维与收敛性思维在数论中,有一个著名的猜想:Goldbach猜想,它是由俄国数学家Goldbach在1742年提出来的。Goldbach通过观察、类比和归纳等方法发现:每个大于4de偶数可以表示成两个奇素数之和。例如:6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7等等。他获得这个发现     

智慧窗

1恭贺新年将下列算式中的汉字换成“0 ,1,2 ,… ,9”这十个数字 ,使算式成立编 +辑 =部向 -作 =者恭×贺 =新年江西赣县田村中学 ( 34 110 2 )　刘延炳2万事如意下图是含年号 2 0 0 3的结构图 ,请你将图中的汉字分别换成 1到 10这十个数字 ,使图中的每个棱形的四个角上的四个数字之和都等于 18.安徽淮南三中 ( 2 32 0 0 7)　王秉春3刊名趣题请找出使下列等式成立的数字算式 .中学 =3 生数学北大附中河南分校 ( 451171)张丕臣4巧换数字将下列两个算式中的汉字换成小于 5 0的不同的自然数 ,使等式成立 .中2 +学2 +生2 +数2 +学2 +真2 +诚2 =2 …     

“反个劲儿”思维解题

在一些数学题中 ,若按常规思路去解答 ,非常复杂 ,有时甚至难以奏效 .采用“反个劲儿”的思维方法求解 ,既省时 ,又简捷 ,常有别开生面之效 .　　 1.不先开方先平方例　计算 3 + 5 + 3 -5的值 .分析　此题常规解法是将原式中两个根式的被开方式先配方后再开方 ,但配方较难 ,采用先求原式平方 ,再求开方值 ,显然简便 .解　设x =3 + 5 + 3 -5 (x >0 ) ,∵　x2 =(3 + 5 + 3 -5 ) 2=6+ 2 (3 + 5 ) (3 -5 )=6+ 2 4=10 ,∴　x =10 .　　 2 .不用正向用逆向例　若a是关于x的方程x2 +bx +a =0的根 ,且a≠ 0 ,求a +b的值 .分析　此题常规解法是将关于…     

交叉分类列表速记幂函数图象

设幂函数为 ｙ =ｘｐｑ ,其中 ｐｑ 为既约分数 ,且 ｐ≠ｑ ,当 ｐｑ为整数时 ,则视 ｑ =1 .若按ｐｑ的大小分类 ,可分为三类 :(1 ) ｐｑ >1 ,(2 )0 <ｐｑ<1 ,(3) ｐｑ<0 .若按 ｐ ,ｑ的奇偶性分类 ,也可分为三类 :(1 ) ｐ奇 ｑ奇 ,(2 ) ｐ偶 ｑ奇 ,(3) ｐ奇ｑ偶 .于是幂函数 ｙ =ｘｐｑ的各类图象的简图可列表如下 :按奇偶分类按大小分类ｐ为奇数ｑ为奇数ｐ为偶数ｑ为奇数ｐ为奇数ｑ为偶数ｐｑ >10 <ｐｑ <1ｐｑ <0奇函数偶函数非奇非偶函数　　从表中第一象限的图象可知 ｐｑ>1的图角为凹型 ,0 <ｐｑ<1时图象为凸型 ,ｐｑ<0时图象为双曲线…     

归纳法阅读材料

有一道数学题，小学生都能明白其义，却难了世人两百多年，到现在还没有证明出来，那就是著名的“哥德巴赫猜想”：“任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（素数又叫质数）之和．”如6=3＋3，8=5＋3，10=5＋5，12=7＋5等等，这个命题简称为“1＋1”．     

勾股三角形的内(傍)切圆的性质(续完)

事实上,2r=a+b-c只需证明a+b-c是偶数即可.当a,b,c,全为偶数时,a+b-c仍为偶数;当a,b,c中有两为奇数时,则由奇数与偶数之和是奇数,两奇数与奇数之差为偶数,得出     

某些二位数平方的简捷计算

一、十位数字是9的二位数的平方,可以用公式(9。乙)2一(。。乙场).万’来计算.b=其中1,2,3,一9。 ·表示添写符号.如9,8一98;9‘37一937. b表示b关于10的补数:即b一10一b如2一8. ·bZ表示乙的补数的平方所得的二位数字的数,如奈82-.42- 例1 .98=9604·(xo一8)“一·2“=04,扩62=36=(9·8一8·82=(95一2)·22 932=(9·3一3).3多一(93一7),7“=5649 ,二、十位数字是5的二位数的平方,可用公式 (5·b)“=(25+b)·bZ来计算. 例2 .5a2=(5.8)2一(25一卜8)·8“=3364, 53“=(5,3)“=(25+3)·3“=2809. 三、十位数字为4的二位数的平方,可用公式(4,乙…     

既约真分数的一个性质

文 [1 ]证明了奇分母既约真分数可表成互不相同的奇数分母的单位分数之和 .即 :设 0 <ｍ<ｎ ,(ｍ ,ｎ) =1 ,ｎ为奇数 ,则存在ｋ个互不相同的奇数ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｋ,使下列等式成立 :ｍｎ =1ｘ1 +1ｘ2 +… +1ｘｋ本文发现既约真分数的又一个性质 ,即 :任何既约真分数都可表成互不相同的偶数分母的单位分数之和 .它与文 [1 ]结果相映成趣 ,但比文 [1 ]的结论更完备 .我们先证如下命题为真 .命题　设ａ≥ 2是自然数 ,则任何小于 2 ａ·3的正整数都可以写成 2 ａ· 3的不同约数之和 ,且每个约数的质因数分解式中含 2的幂最多 (ａ- 1 )次 .证明…     

初三代数第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题3分,共36分)1.方程7x2-(x+3)2=(x+1)2的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.2.如果x2=0.81,那么x1=,x2=.3.分解因式x2+3x-4=.4.三个连续偶数的平方和是200;那么这三个偶数是.5.方程mx2+2x-m=0的根的判别式等于8,则m=.6.已知方程3x2+7x-6=0的根是x1=23,x2=-3,则二次三项式3y2+7y-6可分解为.7.方程x2+px+q=0的两根是-1和3,则p=,q=.8.关于x的方程(a-2)xa2-2-x+3=0是一元二次方程,则a=.9.制造某种产品,原来每件的成本是100元,由于连续两次降低成本,现在的成本是49元.如果每次降低成本的百分数相同,则每次降低成本的百分数…     

初二代数第二学期期中自测题

A组一、填空题 ( 1— 5题 ,每小题 3分 ,6— 1 0题每小题 4分 ,共 3 5分 ) .1 .数的平方得 812 5 6,4962 5 的开平方得 .2 . 1 72 -82 的算术平方根是 .3 . -12 是数a的一个平方根 ,则a=.4.若 3 -2x有意义 ,则x=.5 .当a =3时 ,( 2 -a) 2a -2 =.6.(± 13 ) 2 的平方根是 ;9的算术平方根是;-82 7的立方根是 .7.如果a2 =2 5 ,则a3 =;如果 (a -5 ) 2 =5-a ,则a 5 ;如果 -a =3 ,则a =.8.当x =时 ,代数式 2x +3 -x有意义 ;若x<0时 ,则3 x3|x|=;若x+12 +|y -3 |=0 ,则x2 +y2 =.9.若 1 .0 0 7=1 0 0 3 ,1 0 0 7=3 1 73 ,则0 .0 0 1 0 0 7=;若 3 …     

估值求解法举隅

先看下例的解法: 例1 若3~1000的各位数字之和为m,m的各位数字之和为n,n的各位数字之和为p。求p。解∵∴ 3~1000是不超过500位的数。∴ m<500×9=4500,m不超4位, ∴ n<4×9=36,n不超2位,     

关于能被两位数整除的整数的特征研究

判断一个整数能否被另一个整数整除一直是初等数论中一个饶有兴趣的问题.我们知道,能被2整除的数必是偶数,能被3或9整除的整数的特征是它的各个数字之和也必能被3或9整除,能被5整除的数的个位数一定是0或5,能被10整除的数的个位数一定是0,判断一个数能否被任意两位数整除并非易事,笔者研究发现如下规律.……     

10n+1,10n+9型因子的一种判别法

定理1.若一数之末位数砺之n+]倍所粗成之数,与其余数砺所粗成之数之和,Rll孩数为10n+9之倍数.即:例3 .9 6 2 8.01:61为ion+。的倍数,1 4 5 74 24一318一小引.一2若a二iob+e,‘=b+(。+i)‘·, 己:10”+9,员Ua:10二+9. 涎明:ioJ一a=10[b+(。+i)el wea一1 01导+(·+‘,·」一(‘”一+”,二...己:10二+9,(10。+,)。:1 on+9,一n口一丹bs一一8︸臼勺R﹂ a:10。+9. 定理2.若一数之末位数礴之n倍所姐成之数与其余数砺所祖成之数之差,为1。二+1的倍数,Rlj敲数为10n十1的倍数.即若a=10石+e,d二吞一。。,RlJ敲明:61例4.1 12 8 5 7 03:79肠。一。8一…     

引无数英雄竟折腰的3x+1猜想

当代 ,有一个风靡世界有趣的“3ｘ +1问题” ,人人都会演算 ,但要证明它却像对付坚硬的磐石 ,它似乎能轻而易举地挫去你智慧的锋芒 .1　 3ｘ+1问题由来大约在 2 0世纪 3 0年代 ,世界许多国家流传着这样一道题目 :“任取一个自然数ｘ ,如果它是偶数 ,则除以 2 ;如果是奇数 ,则将它乘以 3加 1 ,这样反复运算 ,最后结果必然是 1 .例如　取ｘ为 6,6→ 6÷ 2 =3 → 3× 3 +1= 1 0 → 1 0÷ 2 =5→ 5 × 3 +1 =1 6→ 1 6÷ 2 =8→ 8÷ 2 =4→ 4÷ 2 =2 → 2÷ 2 =1 .有趣的是 ,不管你取什么自然数 ,依照上面规则 ,最后总是“百川归大海” ,都会得…     

上期课外练习参考解答

初一年级1.∵　a +b =1a+ 1b=a +bab ≠ 0 ,∴　ab =1,　∴　 (ab) 2 0 0 3=1.2 .(1) 1△ 9=1× 9+ 1+ 9=19,(1△ 9)△ 9=19△ 9=199,[(1△ 9)△ 9]△ 9=199△ 9=1999.(2 )猜想 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9n个 9)=199… 9n个 9.3 .观察可知 ,图①中有 5个三角形 ;图②将图①出现了三次 ,又多出 2个三角形 ,故而②中有三角形个数为 5× 3 + 2 =17(个 ) ;图③包含三个图②又多 2个三角形 ,故而图③中三角形个数为 17× 3 + 2 =5 3 (个 ) ;依此类推图④中三角形个数为5 3× 3 + 2 =161(个 ) .初二年级1.由　a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b)　 =-3…     

Cauchy多边形数定理的一个简短证明

本文对下述事实给出一个简单的证明:每个自然数是m+2个m+2边形数之和. 设m≥1,一个m+2边形数是形如 Pm(k)=m/2(k2-k)+k,(k=0,1,2,…)的数.Fermat[3]断言:每一个自然数是m+2个m+2边形数之和.对于m=2,Lagrange[5]证明了每一个自然数是4个平方数P2(k)=k2之和.对于m=1,Gauss [4]证明了每一个自然数是3个三角数P1(k)=1/2(k2+k)之和,或等价的,每一个满足n≡3(mod 8)的正整数n都是3个奇数平方之和,Cauchy[1]对所有的m≥3证明了Fermat的断言,Legendre[6]进一步细化和推广了这一结果.对于m≥3且n≤120m,Pepin [8]给出了将n写成m+2个m+2边形数之和的显示表达的表,其中至少有m-2个取值于0或1.