“正确证明”有瑕疵

第32届IMO试题如图1,P为△ABC内任意一点,求证:∠1,∠2,∠3中至少有一个不大于30°本刊2009年第10期高群安老师给出错误证明后,笔者在本刊2010年第6期予以纠正如下:证明假设∠1,∠2,∠3都大于30°,设P点到三角形三边AB、BC、CA的距离分别为p,q,r,则PA<2p,PB     

用三面角公式求二面角大小

先介绍三面角公式：如图1,设O-ABC为一个三面角,∠AOB＝α,∠AOC＝β,∠BOC＝γ,二面角B-OA—C的大小为θ,则有cosθ=（cosγ-cos αcosβ）/sin αsinβ。     

自拟一道几何题和出题思路解析

<正>命题如图1,AO =OB=BH;HM是⊙O的切线,过MH向外作正三角△MHK.取(?)上一点T,连AT,TM,TK,∠HTM =α,∠TKA=β,∠MHT=θ.求证:     

一个周长最短问题的简解

问题：如图1,∠MAN内有一点D,过D点的直线l与角两边交于两点B、C,∠BAD=α,∠DAC=β（0〈α＋β〈π）,AD=m,求△ABC周长的最小值,并说明取最小值的条件．     

勾股定理的一个简洁证明

文[1]、[2]和[3]分别给出了勾股定理的三个简短证明,本文再给出一个更为简短而且整洁的证明.如图,Rt△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对应的边,∠C=90°.     

直角三角形斜边的n等分线的性质及推广

本文中,以a,b,c表示△ABC的∠A,∠B,∠C的对边之长.△ABC是直角三角形,∠C=90°.在Rt△ABC中,A,M_1,M_2,…,M_(n-1),B将斜边ABn等分,则称CM_1,CM_2,…,CM_(n-1)为Rt△ABC斜边AB的n等分线.显然此概念是直角三角形斜边上中线定义的推广.     

用函数转移法证角的相等或互补

八五年全国初中数学竞赛有这样一道题: 已知:如图所示,O为凸五边形ABC D E内一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8。求证:∠9与∠10相等或互补。初看本题,似乎无从下手。但考虑到转移的方法,就是要证     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

文 [1 ]给出如下有趣恒等式 :设 P、Q是△ ABC的等角共轭点(∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA) ,则有AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC=1 ( 1 )今给出 ( 1 )式的如下不等式推广 :命题　设 P、Q是△ ABC内任意两点 ,则AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC≥ 1 ( 2 )等号当且仅当∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA时成立 .证明　如图 1 ,顺次以 BC,CA,AB为对称轴 ,作△ PBC,△ PCA,△ PAB的对称三角形△ A′BC,△ B′CA,△ C′AB.连结A…     

四面体的正余弦公式及体积公式

在△ABC中,用a,b,c表示∠A,∠B,∠C的对边,则有以下边角关系成立: 1.正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC.     

三角形全等(上)

<正>定义△ABC与△A_1B_1C_1中,若AB=A_1B_1,BC=B_1C_1,CA=C_1A_1,∠ABC=∠A_1B_1C_1,∠BCA=∠B_1C_1A_1,∠CAB=∠C_1A_1B_1.则称△ABC与△A_1B_1C_1合同(全等),△ABC与△A_1B_1C_1全等,记为△ABC≌△A_1B_1C_1.两个三角形全等的判定:三角形全等的判定定理1如果一个三角形的两边和夹角,与另一个三角形的两边和夹角对应相等,则这两个三角形全等.简记为     

一道中考题的命制过程与启示

一、试题呈现(南通卷第26题)在菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.(1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证BE=DF;(2)如图2,若∠EAF=60°,求证△AEF是等边三角形     

运用圆锥曲线的光学性质解题续谈

笔者在研读并欣赏文[1]之余,总觉得意犹未尽,经探究证明,得如下几个结论,遂成下文,仅供大家参考.命题1已知抛物线的焦点为F,直线PM′与PN′分别切该抛物线于点M,N,则1)如图1,若点P,F在直线MN同侧(或点F在直线MN上)时,∠MPN=12∠MFN;2)如图2,若点P,F在直线MN异侧时,∠MPN=180°-21∠MFN.图1命题1图图2命题1图证明1)分别过点M,N,P作抛物线对称轨的平行线MR,NS,PX,则∠M′MR=∠MPX,∠N′NS=∠NPX.由抛物线的光学性质知∠PMF=∠M′MR,∠PNF=∠N′NS,∴∠MPX ∠NPX=∠PMF ∠PNF,即∠MPN=∠PMF ∠PNF(1)又∵∠M…     

一道全国联赛题的多种思考

94全国高中数学竞赛第二试三题:如图,设△ABC的外接圆O的半径为R,内心为I,∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E,证明:(1)IO=AE;(2)2R相似文献   

中考开放探究型试题例析

纵观近三年全国各地的中考数学试题 ,尤其是2 0 0 3年海南省中考试题 ,都设计了一定数量的开放、探究性问题 ,这符合教育部关于初中毕业、升学考试改革的要求 .这类试题让人目不暇接 ,它对激发学生学习数学的兴趣 ,培养发散思维和探索创新能力 ,促进生动、活泼、主动学习十分有利 ,同时也在一定程度上促进了初中数学教学的改革 .本文采用部分填空题、选择题、作图操作题等题型 ,从以下三个方面分类简析 ,以期对初三数学教学与复习有所帮助和启迪 .一、条件探究开放型这类题是在明确命题结论的前提下 ,条件不唯一的试题 .例 1　 ( 2 0 0 3年海南省中考题 )如图1 ,Rt△ABC中 ,a ,b分别是∠A ,∠B的对边 ,c为斜边 .如果已知两个元素a,∠B ,就可以求出其余三个未知元素b,c,∠A .( 1 )求解的方法有多种 ,请你按照下列步骤 ,完成一种求解过程 :第一步 :由条件 :a,∠B 用关系式求出第二步 :由条件 :用关系式求出第三步 :由条件 :用关系式求出( 2 )请你分别给出a ,∠B的一个具体数值 ,然后按照 ( 1 )中的思路 ,求出b,c,∠A的值 .分析 :( 1 )本题主要利用直角...     

两个锐角三角形外心性质的别证与拓展

<正>1性质呈现^([1])(1)如图1,O是锐角△ABC的外心,∠BAC是锐角,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF、FD、DE分别交AO、BO、CO于点D′、E′、F′,则1/OD-1/OD′=1/OE-1/OE′=1/OF-1/OF′.(2)如图2,O是锐角△ABC的外心,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,记∠ADC=α,∠BEA=β,∠CFB=γ,则BCcosα+ACcosβ+ABcosγ=0.     

一个常见图形的反例功能

如图1,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB.以此常见图形为基础构造反例,可以形象直观地解决立体几何中学生常感到困惑的几个假命题.图1命题1空间中,有三个角为直角的四边形为矩形.分析此命题为假命题.结合图1,取四边形PBCD,易知∠PBC,∠BCD,∠CDP均为直角,     

一道不等式的几何证法

题 1　在锐角三角形ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ .这是一道三角不等式 ,证明的方法比较多 ,下面给出二种几何证法 .图 1　证法 1图证 [方法 1]　设△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ(由于△ＡＢＣ为锐角三角形 ,Ｏ在△ＡＢＣ内部 ) ,设其直径为 1,连结ＡＯ ,ＢＯ ,ＣＯ并延长交⊙Ｏ分别于Ｄ ,Ｅ ,Ｆ .顺次连结Ａ ,Ｆ ,Ｂ ,Ｄ ,Ｃ ,Ｅ ,Ａ .设△ＡＢＣ三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ.∠ＢＡＣ ,∠ＡＢＣ ,∠ＡＣＢ简记为∠Ａ ,∠Ｂ ,∠Ｃ .∵∠Ａ =∠ＢＥＣ ,在Ｒｔ△ＢＥＣ中 ,ｓｉｎ∠ＢＥＣ =ａ ,ｃｏｓ…     

数学问题解答

20 0 4年 1 2号月问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 2 6　△ABC中 ,∠C=90° ,BC =a ,AC=b ,AB =c .D ,E ,F分别是AB ,AC ,BC上的点 .若△DEF为等腰直角三角形 ,且∠EDF =90° ,求△DEF面积的最小值 .(江西省宜丰中学　龚浩生　 336 30 0 )解　如图 ,设DE=DF=x ,∠CFE =α ,则∠CEF=90° -α ,∠AED =1 35° -(90°-α) =4 5° α ,∠BFD=1 35°-α .在△ADE中 ,由正弦定理得 :ADsin(45° α) =xsinA,AD =cxasin(45° α) .同理 :BDsin(1 35°-α) =xsinB,BD =cxbsin(45° α)因为AD BD =c所以xsin(45° α…     

一道IMO备选题的推广

IMO - 1979备选题 (由荷兰提供 ) :在等边△ ABC内取点 K、L、M,使得 :∠ KAB =∠ L BA =15°,∠ MBC =∠ KCB =2 0°,∠ L CA =∠ MAC =2 5°,求△ KL M的三内角 .图 1笔者最近研究发现可将此题作如下推广 :定理　如图 1,在等边△ ABC内取点 K,L ,M,使得∠ KAB =∠ LBA=α,∠ MBC=∠ KCB =β,∠ L CA =∠ MAC=γ,且α +β +γ =60°,则∠ L MK =3α,∠ ML K =3β,∠ MKL =3γ.证明　如图 1,延长 AK、AM分别交 BC于点 P、Q,又连结 PM、QK,则∠ PBM =∠ PAM =β　 　点 P、M、A、B共圆　 ∠ MPA =∠ M…     

三分角与双曲线

多少年来 ,三分角问题一直吸引着人们 .近来 ,我发现它有一条重要性质 .在引出性质定理之前 ,让我们先来规定两个概念 .我们把以两定点连线中垂线上的点称为顶点 ,两边过这两个定点且方向一致的一族角 ,叫做这两点的角族 .如图 1所示 ,A、B的角族中有角 :∠ AE1 B,∠ AE2 B,∠