对一道数学题的探究

我曾遇到这样一道题，直线l:万工 Zy一6一。(亦即，一督工 3)与抛物线:，2一:万二乙交于尸解、Q两点，则匕P〔双-设尸(xl则O尸一(xl，yl)，y，) 2一(x:，从y:)程x前的系数，若令涯一p，则直线方程变为二~_卫_未*:姗喻挂士犯亦毛_.:_。人_，D、，一tx十厂，抛物线方程变为丫~Zpx     

一九七九年高攷数学试题(理工农医类)参攷解答

1.若(z一x)“一4(x一夕)(夕一二)=o,求证x,夕,:成等差数列(6分)。 证:.(z一x)名一4(x一y)(y一z)=0, :.[(z一夕) (夕一二)]“一4(:一夕)(夕一x)=0, (z一y)2一2(z一y)(y一x) (y一劣)2=0, .,.[(z一y)一(夕一x)]2=0 .’.x 2一Zy=O, 故二,夕,z成等差数列即得证。2。化简 1 l1一—(6分)1一ese名x,.’1一eseZ%二一etgZx, 原式二 11_1 1一,l,l l一c tg:x1 tgZ戈5 ee吕戈_11_ 1一eosZx一甲,乙二容器内都盛有酒精。甲有厂:公斤,5 in恶劣c 5 CZ劣.量)的比为m;:n;,乙中纯酒情与水之比为m::n:。水之比是多少?(6分)乙有犷:公斤。甲中纯酒精与水(重问将…     

第1628号数学问题的推广与探究

最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2.     

十一、坐标变换、参数方程、极坐标

A组 一、选择题 1.抛物线3犷一6y+x=0的焦点到准线的距离为()。渗一数方程lx二’g“+c‘ga ‘y=n〔刁表示的图形是(seca十eosa(a毕等.(A)合(。音;(e)会;(o)去(A)直线;9.直线(B)椭圆;)的一部分。(C)双曲线;(D)抛物线.专t一3+t(t是参数)与圆y二 2.在xog坐标系中,曲线S:卢艺尤,妇二o上一点M的坐标为(l,0),经坐标轴平移后,在新坐标系x,o苦’中,M的坐标为(2,3)。则在坐标系x,o苦’中,曲线S的方程为()。 (A)F(x,+l,夕,+3)“o;(B)F(x‘一l,夕’+3)二o; (C)侧x乞1,,七3)二o;(D)F(x’+一,夕乞3)=(). 3.双曲线丫一犷+sx一149一133二0的两条渐近…     

一道高考题的反思及结论探究

(2007年天津卷(理)22题)设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为1/3| OF1 |.(1)证明a=√(2b);(2)设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.这里的D点轨迹是一个圆:x2+y2=2b2/3,是本题中由于a,b关系的特殊性决定了存在这样的圆,还是对于一般的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)皆有这样的结论呢?     

综合题新编选登

题 79　已知P ,Q是椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 )上两个动点 ,O为原点 ,直线OP的斜率为k ,而直线OP与OQ的斜率之积为m ,且 p =|OP| 2 + |OQ| 2 是一个与k无关的定值 .1)求m ,p的值 ;2 )若双曲线Γ的焦点在x轴上 ,渐近线方程为y =±mx ,椭圆C与双曲线Γ的离心率分别为e1,e2 ,求e2 -e1的取值范围 .解　OP的方程为 :y =kx ,与椭圆C的方程联立 ,可得 :x2 =a2 b2b2 +a2 k2 ,∴ |OP| 2 =x2 + y2 =(1+k2 )x2=a2 b2 (1+k2 )b2 +a2 k2 .同理可求得 :|OQ| 2 =a2 b2 [1+ (mk) 2 ]b2 +a2 ·(mk) 2=(k2 +m2 )a2 b2a2 m2 +b2 k2 .∴ p =|OP| …     

构造二次齐次方程解一类解析几何问题

定理若直线lx+my+n=0(n≠0)和曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0有两个交点P,Q,O为坐标原点,则直线OP,OQ上的点均满足方程Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)(-lx+nmy)+F(-lx+nmy)2=0.(*)证设点P的坐标为(x1,y1),则lx1+my1+n=0,即-lx1+nmy1=1(1)Ax12+Bx1y1+Cy12+Dx1+Ey1+F=0(2)又直线OP上的点均可表示为(tx1,ty1),其中t为任意实数.∵当x=tx1,y=ty1时,方程(*)的左端Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)(-lx+nmy)+F(-lx+nmy)2=t2[Ax12+Bx1y1+Cy12+(Dx1+Ey1)(-lx1+nmy1)+F(-lx1+nmy1)2]=t2(Ax12+Bx1y1+Cy12+Dx1+Ey1+F)=0,∴直线OP上的点都在方程(*)表示的曲线上…     

一个不等式的推广

文〔1〕证明了这样一个不等式:已知x,y任R一卜,且x十y,,,1、,1、一9乙久、x一丁’、y一丁少、万二1,求证:一(2一粤)2 乙’经过思考、探究,我证明了以下命题.命题(xZ-若1、x,yeR十,且x十y二1,则)(夕2一步,)“一奇,’,一步,)‘8一青,’· y夕因0相似文献   

二次曲线的一种作法

,椭卿对、-雾·,的作图夕一 由曲线关于坐标轴和坐标原点对称可知,只须作出二>。,百>砧勺点(x,妇。作法如下:取OA二a犷O刀二b,ON二x,作AS上OX,BR‘LOXNT上OX,以口为圆心OA为半径画弧交NT于几作尸兀_LOY,交As于Q,连OQ交BR于M,,作M’M上NT,对为垂足,则M为砰十y,_,石‘犷一上D‘上的点(劣,妇。 作法的根据如下:在直角△口尸对中,由勾┌──┐│一卫││琳 ││夕 │└──┘股定理得,pN“=O尸么一ON“=a“一护。由△OM尹B冈△O口过得,口A OA五万了石=J刀,又口月二PN,砂一rM,B二MN研;、;二到兰_,,,仍形刀艺OA旦OB么’即…     

2007年高考天津卷(理)22题的简解及拓广

1.问题的简解2007年全国高考天津卷(理)22题:设椭圆ax22 by22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.A是椭圆上的一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为31|OF1|.(Ⅰ)证明a=2b;(Ⅱ)设Q1,Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.对于第(Ⅱ)小题,参考答案提供了两种解法.但这两种解法都比较繁琐,下面提供一种简便的解法.解设直线Q1Q2的方程为mx ny=1,由(Ⅰ)知a=2b,故椭圆方程为x2 2y2=2b2.设Q1(x1y1),Q2(x2,y2),则Q1,Q2的坐标是方程组xm2x 2nyy2==21b2,的解.由xm2x 2nyy2==21b2,分别消…     

一道复数轨迹题的解法种种

雀尺一O两点对应的复数分别为乙,2z:+3一4l’若尸点阅才对,2的圆上移动,求。点的轨迹. 娜一:设2::+3一4‘=二+y‘,则2::二(二一s)十(y十幻宕 2.!z:l,=(x一s)全+(少+4).而!z:1=2 .?.(x一3)盔+(z+4):=16 故O点的轨迹是(3,一4)为圆心,4为半径的圆. 梦利用复数模的意义,代换求解. 娜二;设2二:十3一4‘二二十y红z:。。十bl’ 、则多。十Zbi+3一4了二x+yi,由复数相等的充要条件落一二禅忱父芍今{絮抓卜nJ 工J任﹃工︸心‘J.一勺‘X︷y一{吞 平方后,相加得(x+3),+(夕+4)2二:4“ 注利用复数的代数形式,转化为x:.夕的参数方程,消参后即得. 解三:设…     

关于二、三、四次方程的代数解法

(一)考虑三个行列式先根据行列式性质按以下方法镬个进行什算犷夕!,万夕宕y言夕牛x十y 二,名即!les!J ,!!JIyr宕禽yy言即r+夕 yry七盆~(x+y)夕了二(x+,)(x一夕);40设.为1的立方原根,则有旬3~1,。2+“ 1 x y 2 1 1 1 1 11zx夕】二(x+夕+二)公Xyy宕戈y万厂 +(夕4+二,+。心一2夕222一2夕2u,2一222,2)二~(x+夕+z+留)(x+夕一z一,)X x(二一夕+名一留)(x一一二+。).(3)(立)二次方程XZ+户x+叮二o户一2 一一(二+,十二)}:二令X一x代入方程,整理后化成一一+1|ee一一|+y旬+二.‘y 1,x。+,。2+一(二十,+·)(·一!_2/尸_、_。孟-一l—一兮J一U, \弓/一…     

解圆问题常见错误分析

圆是中学数学的重要内容之一.圆的概念较多,综合性较强,且解题有一定的技巧性,学生在解题时经常因审题不严、考虑不周、应用能力差而错解题目.下面就学生在解题中出现的错误,分类辨析如下.一、不理解题意例1已知直线l:x=m(x<-2)与x轴交于点A,动圆M与直线l相切,并且与圆O:x2+y2=4外切.求动圆的圆心M的轨迹C的方程.错解设M(x,y),依题意得x2+y2=2+|x-m|,当x≥m时,得:y2=2(2-m)x+(2-m)2;当x相似文献   

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.     

圆的重要定理在椭圆上的推广

1　一道高考题启示2 0 0 3年高考北京试卷有如下题目 :如图 1 ,椭圆的长轴A1 A2 与x轴平行 ,短轴B1 B2 在 y轴上 ,中心为M( 0 ,r) (b>r >0 ) .图 1　椭圆1 )写出椭圆的方程 ,求椭圆的焦点坐标及离心率 ;2 )直线y =k1 x交椭圆于两点C(x1 ,y1 ) ,D(x2 ,y2 ) ( y2 >0 ) ;直线 y =k2 x交椭圆于两点G(x3,y3) ,H(x4,y4) ( y4>0 ) .求证 :k1 x1 x2x1 +x2=k2 x3x4x3+x4;3)对于 2 )中的C ,D ,G ,H ,设CH交x轴于点P ,GD交x轴于点Q .求证 :|OP| =|OQ| .(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形 )解　 1 )椭圆方程为 x2a2 + ( y -r) 2b2 =1 ,焦…     

曲线的对称性

本文将讨论曲线的轴对称和中心对称。 一、曲线F(x,妇的对称性 定理1(关于已知点的对称点)已知点尸(x,鲜于,则它(1)关于直线x=n.的对称点为p;(Zm一丫,妇; (2)关于直线ax+占刀+‘=。(乙寺。)的对称点 为P:(a,刀),其中a,口满足方程组摆:_”}一又二义 l瓜‘改卜j{之习一口)/(x一a)·(一a/b)=1;a[(x+a),2〕+西[(夕+夕),2」+‘=0. 图3称点为尸‘(一x,夕); :.a二2口一,, 刀=2/)一刃. 于是点刃3的坐标为P抓二a一芳,2凡一对). 推论已知点尸(x,妇,则它 (1)关于之轴的对 (3)关于点(a,b)的对称点为尸:(Za一x’2乡一夕). 证(1)如图1,过点P作直线x=m的…     

对一道"圆"题的探究和拓广

题目 已知圆O:x2+y2=1,直线l1过定点Q(3,0)且与圆O相切. (Ⅰ)求直线l1的方程; (Ⅱ)设圆O与x轴相交于A,B两点,P是圆O上异于A,B的任意一点,过点Q且与x轴垂直的直线为l2,若直线AP交直线l2于点M,直线BP交直线l2于点N,求证:以MN为直径的圆C经过定点,并求出定点坐标.     

自我检查练习题

一、初中自我检查练习题①填空(用适当的数、式或符号填到横线上)z)若a(b乙B>艺C.那末匕月_60’,乙B_45。,乙C_60’. 9)口A厅CD的对角线的交点为。,在较长的对…     

圆锥曲线的一组有趣性质

文[1]、文[2]研究了圆锥曲线的弦对一些特殊定点张直角的问题,笔者最近对这一问题作了一些探究,得到了一组优美的结论,现介绍如下.定理1已知直线l:mx ny=1,及椭圆:ax22 by22=1.设l交椭圆于P,Q两点.直线OP与OQ的斜率之积为定值λ(O为坐标原点),则1m2-nλ2=a12-bλ2.证设点P(x1,y     

用特定位置解一类解几填充题

利用特殊位置巧解一类解几填充题,可一望而解: 1.已知圆(x+4)~2+(y-3)~2=4和直线y=mx交于P、Q两点,则|OP|·|OQ|=_______。 2.M是椭圆x~2/9+y~2/4=1上任一点,F_1、F_2是它的焦点,Q是△MF_1F_2的内心,MQ延长线交直线F_1F_2于N,则|MQ|:|NQ|=_______。 3.将曲线y=f(x)平移,使曲线上点P的坐标由(1,0)变为(2,2),则此时的曲线方程是_____。 4.已知抛物线y~2=4x的一条焦点弦被焦