在极坐标情形下曲綫对称性的討論

在平面解析几何里,一个重要的课題是已知方程求作这方程所确定的曲线。在一般情形下,不借助于较多的数学分析知识,这个问题是难以得到完滿解决的。解析几何只研究一些较简单的方程,通过初等方法对方程进行一系列的讨论,然后再描点作图。在这一系列的讨论中,曲线对称性的讨论是极为重要的。掌握了曲线对称性之后,只需描出曲线一部分就可画出整个曲线。关于对称性的讨论,通常的解析几何教程大都只对直角坐标下的方程谈到了,而对于极坐标下的方程却很少谈到或者沒有涉及。但实际上,极坐标下方程确定的曲线的对称性的讨论,远比直角坐标下的繁难,而且凭借直观或与直角坐标类比得出的结论往往还是错誤的。本文根据在教学中的粗浅体会作出初步的探讨。     

极坐标系下曲线与方程

一、曲线的极坐标方程在平面极坐标系下,平面上一条曲线,可以用含有ρ和θ两个变数的方程F(ρ,θ)=0或ρ=f(θ)来表示。这种方程,叫做曲线的极坐标方程,而这条曲线就叫做这个极坐标方程的曲线。无论在什么坐标系下,曲线的方程或方程的曲线的意义都是一致的。也就是说,“曲线     

求曲线的极坐标方程的几种常见方法

求曲线的极坐标方程的几种常见方法邓光发（四川开江普安中学）求轨迹的极坐标方程和求直角坐标方程一样都是使用坐标法，其步骤和方法是：选择适当的极坐标系，将已知条件用动点的极坐标ρ、θ的关系式ｆ（ρ，θ）＝０表示出来，得到轨迹的极坐标方程．而寻求关系式ｆ（...     

Mathematica软件快速上手指南（7）——用图元作图

前面的内容中涉及的作图是由有关表达式(显函数或参数方程，极坐标方程形式)生成的，这哩介绍图元作图．它对于平而儿何与立体几何作罔是有帮助的．     

把直角坐标方程化为极坐标方程的等价问题

在直角坐标系中,点与坐标是一一对应的。若方程F_1(x,y)=0与方程F_2(x,y)=0同解时,这两个方程就表示同一曲线;反之,表示同一曲线的两个方程也必同解。但在极坐标系中,一个点对应无数个坐标((-1)~kρ,kπ θ),其中k∈Z。方程f_1(ρ,θ)=0与f_2(ρ,θ)=0若同解就表示同一曲线,但表示同一曲线的两个方程却不一定同解。如方程ρ=θ与p=2π θ表示同一曲线,但方程并不同解。我们在极坐标中把表示同一曲线的方程称为等价方程。显然所有的同解方程都是等价方程。     

参数方程与极坐标

1　考点简析本单元在高考中考查的内容主要有 :曲线参数方程概念 ,参数方程与普通方程的互化 ,几类常见的曲线 (如直线、圆、椭圆 )的参数方程及其应用 ,根据给出的参数 ,依条件建立曲线的参数方程 ;极坐标的概念 ,点的极坐标与直角坐标的互化 ,将极坐标方程化为直角坐标方程 ,几类常见的曲线 (如直线、圆 )的极坐标方程 .参数方程与极坐标在高考试题中涉及较多 (也是最重要 )的是参数方程与普通方程的互化 ,极坐标方程化为直角坐标方程 ,以及参数方程的应用 .尽管高考对这部分内容的考查主要以选择题、填空题的形式出现 ,但是参数方程中体…     

参数方程曲线的讨论

一、一般讨论 在解析几何里有了方程,便应当画它的曲线。作图以前,能从方程大致认识曲线的一些性质,对于作图很有帮助。这就是对于曲线的讨论。关于曲线的x、y方程,如何讨论它的     

简析用极坐标解题的几种常见错误

1坐标的多种表示法例1点是否在曲线错解将点的坐标代人方程不适合，故此点不在曲线上．分析在极坐标系下当尸时，同一点坐标有多种表达式·若把点（1一十】，毛）变为（／M一1，4）再代人方程就适合了·上述解答忽视了极坐标的特征．Zf供不＃价例2求直线L：3X一如一8与曲线C：严ino＝sin20的交点．用解化曲线C的方程为直角坐标方程polno＝Zsln＆os6，尸“2CO80，4＝Zpe。）＞／＋y‘＝Zx解方程组广3？一月得交点（善，一车）’”’”‘—一（X‘斗／一2工’”—“”””5”5”分析曲线C：psinq＝Zsin＆osg表示两条曲线，其中一条是圆x…     

关于极坐标系的几个问题

极坐标系以及在极坐标系中两点间的距离公式,直线方程、圓的方程,圆锥曲线的统一方程,由方程讨论曲线的对称性,直角坐标与极坐标的互化等问题在一般的平面解析几何的教科书中都有较详尽的叙述。本文就上述以外的某些问题作了一些讨论,这对进一步理解极坐标系是有必要的。     

是两条还是一条?

题目试判断极坐标方程ρ~2cosθ-ρ=0表示的曲线是什么? 解法一方程两边同乘以cosθ得: ρ~2cos~2θ-ρcosθ=0 化为直角坐标方程为:x~2-x=0 即 x=0或x=1 所以,原方程表示两条互相垂直的直线。     

谈曲线的极坐标方程的教学

求曲线的极坐标方程,虽然在方法和步骤上和求直角坐标方程有类似之处,然而由于极坐标系中点的坐标的多值性使曲线的极坐标方程与直角坐标系中的方程有不同的性质,情况比较复杂,因而求曲线的极坐标方程是教学中的难点,另外由于利用极坐标系来研究某些曲线比用直角坐标系方便,例如等速螺线有一个简单的极坐标     

定积分应用中一个值得注意的问题

一些通用教材在介绍由参数方程表示的封闭曲线围成的区域面积计算时，依据的公式往往是只适用于广义曲边梯形，并且y=f(x)是x的单值函数的情形，从而容易出现错误，在用极坐标方程计算旋转体体积时也有类似的情形。     

极坐标系中曲线f(ρ,θ)=0对称性的讨论

为简化极坐标方程f(ρ,θ)=0的作图,往往先要就方程对曲线的对称性加以讨论,通常给出的判断条件为f(P,0)二f(P,一0)或f(P,0)二f(一p,二'0)f(p,6)二f(一p,一0)或f(p,0)若f(p,二一0)f(p,0)二f(一p,0)·或f(p,0)二f(p,二 0)曲线的对称性对称于极轴对称于极垂轴对称于极点利用表中所列条件判断曲线f(p,0)=o是否具有某种对称性     

从一道参数方程的习题的错解中得到的启示——直线上的定点问题

原题 已知直线l的参数方程为 ｛x=-1+√2/2 y=√2/2t(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ=sinθ/1-sinθ以极点为原点,极轴为z轴,正方向建立直角坐标系,点M(1,2),直线l与曲线C交于A、B两点. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程; (2)线段MA,MB长度分别记为|MA |,|MB|,求｜MA|·|MB|的值.     

十一、参数方程与极坐标

知识要点］本章的主要考试内容：１．曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化．２．极坐标系,曲线的极坐标方程,圆锥曲线的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化．［地位和作用］参数方程是曲线方程的一种表现形式,它借助于函数、方程、不等式、三角等研究方法和研究...     

用极坐标方程研究椭圆性质

用方程讨论其曲线的性质,教材对直角坐标系方程讲得很细,但对极坐标系方程几乎未提。为深刻理解数与形的对应关系,有意识地引导学生用极坐标方程研究有关曲线的几何性质是有必要的,下面以研究椭圆为例。     

漫谈曲线x~(2/3) y~(2/3)=a~(2/3)的构成

曲线总是作为符合某种条件的动点的集合(轨迹)。方程x~(2/3) y~(2/3)=a~(2/3)所表示的是一种特殊的曲线。它是符合什么条件的动点的集合呢?一般都是采用圆的一种内摆线形成方法而得出方程。有的书上就直接就方程进行讨论,从而指出这个方程所表示的曲线通常称为星形线。     

athematica软件快速上手指南(7)——用图元作图

前面的内容中涉及的作图是由有关表达式 (显函数或参数方程 ,极坐标方程形式 )生成的 ,这里介绍图元作图 .它对于平面几何与立体几何作图是有帮助的 .Ｇｒａｐｈｉｃｓ图形的图素表由一系列“图元实体”和“图元指标”组成 .其中的图元实体是指实实在在的可以显示的对象 .对于Ｇｒａｐｈｉｃｓ ,图元实体包括点、线、多边形等 .图元指标插在图元实体的序列中 ,说明由它们所在的位置向后的有关图元实体应当如何显示 ,例如点应当多么大 ,线应当多么宽 ,用什么颜色等等 .对于所有的图形表达式 ,图元指标都是一样的 ,包括色彩指示、尺度指示和形…     

谈极坐标方程ρ=■p/(■eCOS

圆锥曲线统一的极坐标方程(1)р=cp/1-ecosθ分母中第二项的符号是正的时,方程即为(2)р=ep/1+ecosθ°显然它已不是圆锥曲线统一的极坐标方程,但它仍然表示圆锥曲线,e仍然是离心率,р仍然是焦点到准线的距离,且01时表示双曲线。e、p取确定值时,方程(2)与(1)表示的曲线形状完全相同,只是在极坐标系中位置不同。现以椭圆为例列表比较如下。     

极坐标系中旋转公式的几个应用

1问题的引入武汉市98年5月调考中有一道选择题：极坐标方程产一一百二二77一一了一二一一一一一二———、·””－‘／了十sino—COS5所确定的曲线是（）．（A）圆（B）抛物线（C）椭圆（D）双曲线学生在解答时采取了如下两种做法：其一是将极坐标方程化为直角坐标方程来判断，由原方程可得将两边平方后整理得：X’十ZXy十／一4X十4y一4一0．至此，由于这个方程超出了现行中学教材（必修本）的范围，学生无法判断方程表示什么曲线．少数学生据经验猜出了答案，理由是：含Xy项，故排除（A）；X’，／项系数相等，排除（＊）；X’，／…