用三角法求 y=(ax+b)~1/2±(cx+d)~1/2型函数的值域

一、关于,*而不兀.+杯舀了万型函数的值域ax+吞二犷sin22.cx+J二犷eos4a注意到y>o,就可得到以sinZa消去x,就可得到以sec“a(或tg“a)为白变量,以y为函数的三角函数式,从而直接求出原函数的值域。 (2)当g<0时,令一y=夕‘.cx+J二夕Zsee4aax+b“夕佗tg4a设设消去x,cosZ。)为自变量,以g为函数的三角函数式,而直接求出原函数的值域。(或从求函数,二万二万+丫反二厄的值域。3x+5二犷sin4ax一2=犷eos月a(o<。‘李) 乙消去x,仿(l)就可求得夕‘的范.围,从而求出原函数的值域。 2.如果a。<0,应分g)()和夕‘0两种情况,仿照l中的(z)、(2)分别求出夕〕(…     

由“特殊”到“一般”解题例偶

特例即间题的特殊情形,由演绎法易匆,若‘个(全粉)命题真,则其特例亦真:若其特例不真,则其(全称)命题亦不真.以此为依据,可角来解某些问题.用于求待定东教倪己知(二一寸浓写‘3)-,B,C的值.通十男一l Bx一卫 C条i’户二刘限J,男一.盆 一去分母得·“+‘:‘.才(x一,)(x一’)+任(一’+C(二一)(x;二). 取,=,,得才一吝:二·:得B一3, ,-.’卜“-一2’--一’‘一‘一号·饨·)(二一s)万.令得二、用于求硒教位俐.对一切卖数二,夕,都有l(,y).l(,)l(夕)且l(0)价O,求j(1.8.). 解取少确,得l(o)一f(x)·f(o).又八。)呐o,故有f(幻一l,从而得八1“仑)一…     

数学问题解答

:札1990年9月号问题解答 丈解答由问题提供人给出)671解之得:二+梦=1990诱二或x一1990诱二或夕=1 990·无二(无任名)由(3)与(4)知,无二0.所以 x+夕二O或x=O或y=O将它们分别与(1)联立,解得.{劣=995,一995,0,0,1990,一1990夕=一995;995;1990;一1990;0;、,产、、.产,10‘了.、了‘、解方程组(劣、夕任R):{:i+}夕l=199051·蠢+S‘n蠢一‘·盎 解由}:+川成}川+}川及(l)得: Ix+y,毛1990 及!x!(1990,ly}簇1990将(2)和差化积并整理,得:672解方程(一卿,:专十渗0 11 990‘81nx十y1990.Sln X1990.Sln y1990 且口易知a 令劣=1990+a,夕=1990+b(a,b任N…     

用转化法求 a_(n+1)=pa_n+f(n)型的数列通项

本文重点介绍a.+,=p“,十。(‘为常数)型和u,、二灿十少了元少型的数列求通项的方法, 当户“0或l时,其解法是常见的,此处从略,否则,可用下法作转化: 等式两边同除以产‘’(P半(j),则有砂织产”声织P”‘一牛十渗李 尹尹令“一合 从而得举例如下: 。_、_一二一、*。左止、.二、I‘,一人.十1、羌人人月,lj 产犷且,:=八+尺”),这样就不难求其通项,口.+l2.十‘已知数列{a.},‘z。=l,‘,,,l=2“.+2·,求‘,。.由‘·,=2。+2,,两边同除以2内,得=牛十吝,今八一牛,一2’’2’丫二知一2”,例解则‘+,一二+告,…八“,1,一‘),“一“+‘一‘)·告一省…     

整数+整数=分数

如+钵、如+会。。。).故所求函数的单调递增区间为砚斌[粤,+要,粤,+要〕(k任:) 0 00‘题目求函数,=石蔽万面的单调递增区间.解法一,.’函数,=s加z的单调递增区间为 这里,解法一、解法二的结论应是一致的,故应存在整数毛1、几:.使得[2‘一号,2‘+晋〕sIn(一3二))0·(‘任z),在,=石石万二.面中,须一争,,一晋一普k,x十号由此我们可得出一个荒谬的结论:,,十h一令·怪,l组|日口。.一.’.由2“、一3:簇2‘十号(k。z)得一普,一会、:、一号‘,“任‘,故函数,=石蔽不不了的单调递增区间为附:本期“一盛而解”栏答案:〔一粤*一粤,粤,〕(*ez). d灯J 1.…     

一类无理函数值域的求法

岌清一种橄栩认识少为了说明间题,转抄八九年九月黑龙江科技出版社出版的《中学数学学习方法》一书中183页:得,、令分析,由,一:=丫气二万.··…(l),平方得:“例22求函数,二:十了牙石的最小值错解:两边平方得:护一“{矛+l),十l+,2=0丫二任人,.’.d=〔一(2犷+一)]全一月(1+,2))0 x“一(2,+I)二+1+,,二o……(2),两式不等价·因为·的取值范围扩大了·……所以,的最小值为令明显错了.” 以上过程是错上加错,事实上(l)、(肋两式的二范沃澡中学数学(湖北)1993.2乒围是一致的,都是二》1. 这是因为由(2)式 二2一(2,+l)二+l+,2二0斗夕2一2刁+xZ一:+…     

第三届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛试题

(参赛者注意:甲组答1一10题,乙组只答l一8题,每题满分10分.)设l(二)一l*m鱿黑二琢出函数j(:)的解析表达式,并画出它的图形. n,.咨一十i2设函数“=城:,妇由方程扩十犷+扩二x梦j(:,)所确定,其中了为可微分函数,试计算:冀十;霏·并化成最简形式·试求抛物线扩二4犷l:的动点尸‘x,妇与y轴土的定点口(o,b)间的最短距离.设{“二},{cn}为正实数列,试证明:“’若对所“的正整”·满足:‘一‘,1一成“,“弓沙”,则习“。也发散;奋。,’二1 ‘2,若对所有的正整数”满足:“、价几一知,‘常数“>0,,且馨文收熟则2。。也收敛.设函数,‘二)。:「“,‘〕一:…     

Ⅱ 右半平面点的横坐标可负可虚

厄目:如图,已知椭圆夕犷+矿犷=矿护(a>b)0)和抛物线犷=ZPx(P>0),求它们交点的横坐标. 解:}夕了+扩犷二扩夕犷二ZPx.日口①②消声的”十2洲x一矿扩=0. 2洲 ·’·xl+心二一六介 _一_,·、护 xl‘介二一矿。,___二。.__洲,_又知xl二勿,由①得x,二。=一共冬<0. 一‘’一~’“一皿~‘扩、”由②得x;二x2二士盯(纯虚数). 此即说明右半平面上的点的横坐标可以是负值或纯虚数,即实平面也就是复平面了!声Ⅱ 右半平面点的横坐标可负可虚@肖本臣$嘉鱼县牌洲中学~~…     

用万能公式解三角方程注意失根

先看丫例:解方程主鲜:‘“盯产1。解法一(不用万能公式)解得一2.犷.,丫,一月峙·9 In万‘CO公义 、。二‘二‘哈抽势,:11(x一 兀x一万二Zk;+牛或x- q=2论二十全 4(无〔Z)军一4x二Zk刀十2左:+刃(k任z)。 原方程+万;kCZ) 解法二 必InJ的解集为笼川x二2左汀+三2或x二2k二(用万能公式)一c。。:二:中,二t,得二」(=)艺乙,一〔i一z之)二1+‘:尸一时专二乡l二k汀+“”‘g石:」·从而“〔z)“,二2“”+签“〔z,J兀一月峪孔2 原方程的解集为行!:二2标十粤介“。Z} 到底哪禾.解法正确?可将x=2标十二(无〔z)代入原方程去检验,知其为原方程的恨。说…     

一道复数轨迹题的解法种种

雀尺一O两点对应的复数分别为乙,2z:+3一4l’若尸点阅才对,2的圆上移动,求。点的轨迹. 娜一:设2::+3一4‘=二+y‘,则2::二(二一s)十(y十幻宕 2.!z:l,=(x一s)全+(少+4).而!z:1=2 .?.(x一3)盔+(z+4):=16 故O点的轨迹是(3,一4)为圆心,4为半径的圆. 梦利用复数模的意义,代换求解. 娜二;设2二:十3一4‘二二十y红z:。。十bl’ 、则多。十Zbi+3一4了二x+yi,由复数相等的充要条件落一二禅忱父芍今{絮抓卜nJ 工J任﹃工︸心‘J.一勺‘X︷y一{吞 平方后,相加得(x+3),+(夕+4)2二:4“ 注利用复数的代数形式,转化为x:.夕的参数方程,消参后即得. 解三:设…     

数学诡辩

(一)兀兀 (二)两个最小值S’n一乞=一““s花证明,.’s‘,借+‘。:借=1,两边同乘 丈似c烤百, 目得 屁兀 S,呢“tg万+“o 兀成究‘下c tg下=‘t卫‘二_ 、产,,,口 究co‘~石 已知3刀+5犷=4,求:u=x“十夕么的最小值。 解法1:‘::=广+尹乒Zx沙(1) 当且仅当x二夕时,式(1)中等号成立。 将x=y代入3x一。sy=4得x二y二诬一。 :.“=x“十梦“的最小值为加夕=女。 解法2:由3x一卜sy二4得且ps’九万‘ CO二,二 艺一十 成5’”马 兀COS下. 兀52儿~二 艺二=冬(:一5,). O么落_“o￡下 “‘”借.两边同乘以:::妥,得…:=xZ+,一〔告(4一5;)〕:+;:一警(,一…     

名校基础知识自测

初一年级 北京师大二附中(100088)未兴国一、选择题1.下列计算正确的是(). (A)(u一b):弓一(b一“)2一b一“ (B)(。+b)污一(口+b)3=“2+bZ(C)(b一“),分(a一b)“=(a一b)之([))(,一y)’”‘l令(、万一y)”‘’一(了一y)2一个多项式除以(3.12,):;其结果为(冬二2+3x, 一、一、’,”一”一’一夕’,产、一曰’一尸‘’9一’一夕犷),则这个多项式为().(A)9护犷+27护犷+9洲犷(B)了6y+9了几犷+3了2犷(C)3、:h犷+9犷犷+3了2少(I)),“夕2+27J3夕3+9及一4夕5对于以下各算式:①矿·“3一“6,②(a,)3一。③u3+u弓一2u6,④a只+a3一a‘,一o,⑤(6二,夕)2…     

极(最)值问题的若干错解分析

一、忽视条件的相互制约导致错解例lx、夕、二任R+、x+夕+二=1。求3成‘蕊5。 .’.4成9a一‘(15。.,.4落八3)攫15。令十十+令的最小值·分析:不难找到函数广(x)=130(义2一34)错解:,.’二、,、:任R:.’.:+生》2使f(1)==一1 .1。f(2)=一1而f(3)= 5一万.,+达一)2 y 1~.刃-t-—台多乙.相加有(x+升+约+(令十令+令)》6·十十专+誉李5.由x十升十:=1。得故令+令十令的最小值是5这一反例(厂(劝三一1也行)驳斥了上面的解法.此解“病”在当同时取得f(1)、厂(幻制约条件的右端值一1和5时未必是a取得最大和c取得最小(左端也如此).即给定的条件与方程组(…     

用判别式法求一类分式函数的值域应该注意的问题

对形如,一少了牛黔绍(。。,。)的分式函数 “义.月卜口X卞‘般用判别式法求其值域.具体作法是,由~少, 。 .l a义1 b劣 e(1) 去分母得 夕(a、: b二 c)=d、2 e二 f(2)再整理为关于,的方程: (ay一d)二, (by一e)二 气ey一f)=o(3) ,.’x〔R, :.刁=(b夕一。),一4(。y一d)(。少一f)>。(4)又整理为关于夕的不等式: (乙,一4ae)少: 2(Zaf Zed一6e)少 eZ一4df 》〕·(5) 最后解此关于夕的不等式就得到y的取值范围. 然而,不等式(5)的解集是否恰为函数式(l)的值域还需考虑. 若记(z)、(2)、(s)、(4)、(5)这五个式子中的y的取值范围分别是集Yl、Y:、犷:…     

一道习题的联想与再推广

〔原命题〕已知。·b·c=l,且。b+。+1共。,则: a .be几-下一.一犷一丁十不一甲了一下二十一一:一一~甲~了=口O十口十1 OC+O十1 CO十C十1 这是一道有关初中数学竞赛资料中常有的一题,它的证明技巧胜很强.学)91年1期《一道习题的推广及应用》一文,把该题推广为如下命题: (.)浙江《中学教研》(数[推广I]若Ilx,一,,且f(k)二x*:*·,…x·x:xZ一x卜:+‘*x。·,…x·‘,xZ”’‘,一,+“’劣杯‘·‘+二‘+1(j(k)笋0)则:艺漏一,拓二l-L推广11」若兀,,=A护0,_且f(l)二x,xZ…二。一,+x lx2…z,一:+一+二,:2+,.+l,f〔k)=二.公.,,…之,劣:才:…x,…     

一类三角命题的等价性

一、引盲 文〔1〕中给出了如下一些三角恒等式sin,十:in。十sinC一4。05李08夸·05普。。s,+co、。+cosc=l+4·、渗in冬in誉中x’“去(a+1)M一ax,犷一去(a十l)M一y,z’=去(a+l)M一az,a〔R. 该原理由x’+犷+z’二(a+1)M一a(x斗,+z)=M显然可得.若令a二2和a二去,在定理的条件下,我们有如下两个常用结论: 推论1结论A(M一Zx,M一Zy,M一22)成立.sinZA十sinZB+sinZC=4sinAsin浅inC推论2结论,(携三户誓支户宁.)成立.eosZA+eosZB+eosZC=一l一4eosAeos及osC(4)_J__;T一ZA兀一ZB万一ZC一qC05一几犷一c05 2 CU52- 化简即为(3). 同样,在(3…     

对一道无理不等式的解法探讨

最近,在一次有关业务考试中,出了这样一道题: “解不等式:了百了万>x一么” 出人意料的是,对一个简单的无理不等式,很多试卷的解法都有错误。 不少人是直接将无理不等式两边平方,化为3一x>(一2)2,解得{二:士典、二<共典}· 、一一,,,,’、’一,2-一一2 有些人考虑得细致些,是这样解的: 解:要使了石‘有意义,必须3一二)0,再令二-2多0,即在2石x石3的范围内,不等式两边都是非负的,可同时平方,得3一x>(x一2)2,由它解得{二卜兰只遴<二拱班},·月~,。,···一,2-一一2又由于2‘x‘3,故原不等式的解集为{二.2、二(旦粤返}. ~.~-一、2 但是,这种解…     

一道流行很广的立几题之我见

题:一个长方体的对角线长为8,:二度之和为14,求它的面积. 此题倒不难解.只要采用二度和的平方减去对角线长的平方,便迎刀而解.但是,仔细推敲这道题实际上是无意义的,这道题可以针对方程组x+y+之二14了十犷十才=64来讨论。如果它在实数集内无解,那么这个长方体实则不存在.x+g+z=14厂十犷十丫一64g+夕=14一x犷十才二创一厂夕+z一14一x92“厂一14x+66解吟 由韦达定理知,、2是方程A一(14一x)A+二一14x+66二0(玛之二根. 其△=(x一14)‘一4(二一14x+66) 经化简配方得△一3(、一号,一普<‘, 由此,方程(哟无实数根,亦即夕、z无实数解.因此,这个几何…     

开拓思路 绕过难点

扭:~投万厂数x、y、份满足不等式:犷勺,一尹+犷斗一“’一‘仁尹低卜夕’2二夕 Zyz忿之%二是与匕个几角}形的三边长.>1求沁_:x、y、这是八一七年_}海巾刊中数于竟赛试题的最后一题,给分最淌(18分),难度也较大. 常规思路是:x、y、二是父个三角形的三边长今今少+二>,:十二>.,二十少>.为获得介·十:一二,刃十‘一y,戈+一二,对题给不等式变形: :(x“+、,“一二“)+*(,,2+二“一x“)+少(二“卜x“一夕:).一2二y友>。*然后分解因丘听俘:又y+二一x)xL:+二一.v)(汾+y“习知.、**’ 共体求解过程}‘将碰到两个难点:一兄山*式因式分解获得、**式;二是…     

上期课外练习解答

高一年级1 .4x+y-(4x+刃·1 、1 .9、(4x十v)(二+二) Xy4+业+里+9yX、13+2抨万一25故4x十y)25. 1、。1名.a一气SlnX十二二~)‘一二一 乙4一1(5 in二簇1,.当sinx一 1_,一下犷目丁,以min ‘14 nl当Sinx一 4‘1时,am。二=2,m一2.1一4 一 刀,升=l16’3 1 eosZa 1 eosZa+ lsinZa·sin,尹·eosZ月十5 inZa·sinZ召·eosZ召 1eosZa+lsinZa·eosZ月 eosZa+sin,a·eos,月+sin,a·sinZ月=CosZ。+Sin,a(eosZ月+sinZ月)=eosZa+sinZa=l,·‘·(eosZa+sinZa·eosZ夕+sin,a·sinZ月) 1.又---代犷一十COS一O夏蔽牛丽乃十赢六两户 -沙。高二年级…