关于拉格朗日中值定理与中间值的唯一性

拉格朗日中值定理是: 如果(i)函数f(x)在闭区间[a,b]连续,(ii)f(x)在开区间(a,b)可微,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得     

正确理解和运用第一积分中值定理

第一积分中值定理是微积分中基本定理之一。在逻辑证明方面,有着广泛的应用。 该定理应叙述为: 定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使 integral from n=a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a) a<ξ相似文献   

关于积分中值定理的一点改进

<正> 在一般的理工科教材中,关于积分中值定理叙述如下: 定理1 若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在闭区间[a,b]上至少有一点ξ,使得∫_a~b f(x)dx=f(ξ)·(b—a) 定理2 若f(x,y)在闭区域D上连续,则在区域D上至少有一点(ξ,η),使得∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)·σ其中σ表示闭区域D的面积。关于定理1,黄炳生同志在f(x)的条件削弱了的情况下,证明了其中的ξ可以取到开区间(a,b)内。本文一方面推广了黄炳生的证明方法,证明了定理2中的(ξ,η)也可以取     

关于积分中值定理的一点说明与推广

<正> 引言众所周知积分中值定理(理、工科院校教材)为,若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在闭区间[a,b]上至少有一点ξ,使成立。下面我们将证明这个定理中的ξ一定可以取在开区间(α,b)上。并把这个定理推广到f(x)     

再谈柯西中值定理

将柯西中值定理改叙并证明之：如果f(x)和F(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F（a)≠F(b),则在（a,b)内至少存在一点ξ,使f′（ξ）=f(b)-f(a)/F(b)-F(a) F′（ξ），进一步地，若F′（ξ）≠0,则有f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f′（ξ)/F′（ξ）。     

关于柯西中值定理的矢量法证明

柯西(Cauchy)中值定理又称一般中值定理.本文给出关于这个定理的一个有别于一般证法的矢量法证明,并给出它在三维空间矢量分析中的一个推广。柯西中值定理设函数f(t)、F(t)在闭区间[a,b]上连续,f′(f)、F′(t)在开区间(a,b)内存在,且F′(t)在(a,b)内每一点均不为零,则存在一点§∈(a,b),使得     

关于介值性、连续性与原函数的存在性的几点注记

众所周知，闭区间上的连续函数具有介值性。本文要讨论具有介值性的函数的连续性问题，同时还要讨论介值性与原函数的存在性之间的关系。首先指出，在区间［a，b］上具有介值性的函数不必在［a，hi上连续。例如，函数在区间上具有介值性，但却在x=0点不连续。在区间[a，b]上具有介值性的函数在[a，b]上虽然不一定连续，但我们有如下定理：定理1若函数在区间[a，b]上有定义，且在[a，b]上具有介值性，则函数f（x）在区间[a，b]上必不存在跳跃间断点。证用反证法。假设f（x）在区间[a，b]上存在一个跳跃间断点x0，即f（x0－0）、f（x0＋0）都…     

b→a时拉格朗日中值定理中ξ的变化趋势

<正> 微分学中拉格朗日中值定理为: 定理1 若函数f(x)满足:i)f(x)在[a,b]上连续,(ii)f(x)在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ使f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。     

拉格朗日中值定理的推广

《高等数学》教材中的微分学基础定理，即著名的拉格朗日中值定理抄录如下：定理若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内可导，则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｆ’（ξ），ａ＜ξ＜ｂ．本文先把这个定理推广到有限...     

微分方程在中值命题证明中的应用

在证明中值命题时,往往要构造辅助函数.特别要证明结论:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(n)(ξ)=k及其代数式时,文[1]介绍了一种“原函数”法.但当要证明的结论中的代数式比较复杂时,就不能很容易地求得原函数,这时,可以通过微分方程来解决.下面通过例子来说明如何利用微分方程构造所需要的辅助函数.例1　设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导(ab>0),证明:至少存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)-ξf′(ξ)=af(b)-bf(a)a-b　　证明思路:证明的关键是如何构造辅助函数,我们采用下面的方法.令上式中的中值ξ为x,得微分方程f(x)-xf′(x)=af(b)-bf(a…     

康托定理的另一证明

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上一致连续,(即对任意的ε>0,必存在只与ε有关而与[a,b]上的点x无关的δ>0,使得对[a,b]上的任意两点x′和x″,当|x′-x″|<δ时,总有|f(x′)-f(x″)|<ε.)这一定理称为康托定理。康托定理的证明一直是教学中的难点,在现行教科书中一般给出两种证法。证法一是采用反证法,应用维尔斯特拉斯定理(有界数列中     

关于拉格朗日中值定理的几点注记

由拉格朗日中值定理很容易得到定理1定理1若函数f（x）在（a，b）内可徽，则对（a，b）内的任意两点x1〈x2，在（x1，x2）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式成立。那么，若函数x（x）在（a，b）内可微，对于区间（a，b）的内任一点ξ，可否从（a，b）内找到两点X1及x2，满足等式一般不可以。考察函数f（x）=X3，（－1＜X＜1）．对于ξ=0就找不到所需的x1、X2，使（1）成立。事实上，时，但是，当的条件加强时，有定理2定理2若函数f（x）在（a，的内二次可微且产（＄）一0，a＜誊＜b，则在区间内可找到两个值由、X。满足f（。）一人X；…     

哥西中值定理的推广

设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上有有限微商f′(x)与g′(x),并且g′(x)≠0,那么必有一点c,     

关于积分中值定理的注记

在学习积分中值定理这一节时 ,常有学生把它与微分中值定理进行比较 ,提出为什么微分中值定理中的“中值”ξ∈ ( a,b) (开区间 ) ,而积分中值定理中的“中值”ξ∈ [a,b](闭区间 ) ?能不能把积分中值定理中的闭区间改为开区间 ?以及ξ是否唯一等。本文就以上问题 ,以及微分中值定理与积分(第一 )中值定理的关系 ,积分中值定理的应用等进行讨论。为简单起见 ,我们就积分第一中值定理的特殊情形进行讨论。[积分第一中值定理 ] 若函数 f ( x)为 [a,b]上的连续函数 ,则存在ξ∈ [a,b],使∫baf ( x) dx =f (ξ) ( b -a)　　现行通用的教科书 (…     

中值定理的两个新证法

本文的证法都利用了下列定理 :达布中值定理　若函数 f (x)在区间 [a,b]内可导 ,并且设 f′(a)≠ f′(b) ,不妨设 f′(a)f (b) -f (a)b-a 或 f′(x) …     

多视角求解一道高考模拟函数综合题

题目（2011年山东省高考数学模拟第12题）：设函数f（x）的定义域为D,若f（x）满足下面两个条件,则称f（x）为闭函数：①f（x）在D内为单调函数;②存在区间[a,b]∈D,使得f（x）在[a,b]上的值域为[a,b]．如果f（x）=√2x＋1＋k为闭函数,则实数k的取值范围是     

关于泰勒定理的一点注记

现今的一些教科书中对泰勒定理都有详尽的证明。本文准备对泰勒展开的唯一性进行一些注解。并且介绍一个与泰勒公式有所不同的展开公式。 假设f(x)在闭区间[a,b]上有连续的n阶导函数,且在开区间(a,b)内有n 1阶导数,则     

某些中值命题证明中之辅助函数构造的一种方法

在利用罗尔定理证明某些中值命题时，往往要构造一个辅助函数。对于构造性证明，跨度大，学生不易掌握，是教学活动中的一个难点。本文试图通过解一些简单的微分方程，构造出所需要的辅助函数，这种方法对只用一次罗尔定理的中值命题特别有效。罗尔定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f（a）=f（b），则至少有一各ξ∈（a，b），使得：f（ξ）=0。既然罗尔定理是研究某个函数导数的中值特性，很自然我们有必要了解它原来的函数是什么？而这恰好是解微分方程最原始的思想，因此，对这类中值命题，为了构造相应的辅助函数…     

微分中值定理的巧用

一定理:1°洛尔定理:若函数f(x)在[a,b]上连续;在(a,b)上可微且f(a)=f(b)=0,则存在ξ∈(a,b)使,f′(ξ)=0。 2°Cauchy定理:若函数f(x)及g(x)在     

一点订正

众所周知：在[a,b]上具有介值性的函数在[a,b]上未必连续．文[1]除举一反例外,还得到了定理：“定理1若函数f（x）在区间[a,b]上有定义,且在[a,b]上具有介值性,则函数f（x）在区间[a,b]上必不存在跳跃间断点．”但这一“定理”不一定成立．请看下例．例1在[0,1]上,分段定义因函数值充满区间[0,1],故函数g（X）具有介值性,但函数是将的线段分别移上移下而得．如图1．照此,不难作出有更多跳跃间断点仍保持介值性的函数．函数是否具有介值性,关键在于：函数值能否填满某个区间,而与函数值的如何分布无关．因此,我们可以仿照狄利克雷…