代数曲线渐近线的一种求法

一、渐近线的极限定义在拓广平面内的解释在数学分析中,渐近线的定义为: 如果曲线上一点沿曲线趋于无穷远时,该点与某直线的距离趋于0,则此直线称为曲线的渐近线。在这个定义中, (1) 曲线上的点趋于无穷远可以分为x→     

二次曲线的切线两种定义的等价性

众所周知,若直线与椭圆仅有一个交点,则称此直线为椭圆的切线,但这一定义对一般曲线来说可能不成立,即若直线与曲线仅有一个交点,此直线与曲线未必相切,因而平面曲线与直线相切的定义应为:设有曲线C及C上一点M,在C上任取一个异于M的点N,作割线MN,当点N沿曲线C趋向点M时,如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.然而当曲线C为平面二次曲线时我们可以断言这种定义在去掉某些特殊情况时(即直线的方向为二次曲线的非渐近方向且M(x0,y0)不是C的奇点)是等价的.本文将对此结论作出证明.首先考虑直线与二次…     

一类直线方程求法的探讨及应用

在圆锥曲线中,已知弦的定比分点,求弦所在直线的方程常见解法是利用直线的参数方程及参数的几何意义求解.当分点为弦的中点时,求弦所在直线的方程还有设所求直线斜率为k利用韦达定理及中点条件求出k值或者利用差换法求斜率等方法.这些解法运算量较大,不如下面两种解法简便。一、对称曲线作差法二次曲线f(x,y)=0中,以已知点M(x_0,y_0)为中点的弦如果存在,则弦所在直线的方程为f(x,y)-f(2x_0-x,2y_0-y)=0(*) 证明:设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0,M(x_0,y_0)为已知点,如果曲线f(x,y)=0和     

曲线的渐近性与渐近线

曲线的渐近性与渐近线郑业龙（合肥经济技术学院）１引言设ｆ（ｘ）为定义在某一区间了上的函数，如果当点ｆ（ｘ，ｆ（ｘ））沿曲线ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）无限远离坐标原点时，点Ｐ与某直线Ｌ无限靠近，则称曲线Ｃ具有渐近性，且称直线Ｌ为曲线Ｃ的一条渐近线［１］。对于给定...     

有心圆锥曲线切线的一类性质

文[1]讨论了二次曲线切点弦具有的一个统一性质:给定二次曲线c:Ax2 Cy2 Dx Ey F=0及定点G(m,n),过定直线l:Amx Cny D·m x2 E·n y2 F=0上任一点M(点M在曲线c的外部,当c为双曲线时,点M不在其渐近线上)引曲线c的两条切线MA,MB,则切点弦AB所在直线恒过定点G,当n=0,E=0时,kAB·kMG     

浅谈利用复数求一类伴随曲线的方程

解析几何中有一些较为复杂的求轨迹方程问题,往往可以归结为求已知曲线的伴随曲线方程。所谓伴随曲线,可以这样定义: “对于已知平面曲线C上的各点M,取同一平面上的点P和它对应,即M→P,当点M在曲线C上移动时,点P一般也要伴随着M而变动,设P点的轨迹为C°,则称C°为C的伴随曲线,并称M和P互为相伴点。”(引自《中学数学中的伴随曲线及其方程的求法》,见《中学数学》     

有心二次曲线的统一定义

众所周知,椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线,它们有统一定义,且也有统一的极坐标方程,作为有心二次曲线的椭圆(包括圆)和双曲线,是否也有统一的定义、统一的方程呢? 设P_1、P_2是平面内的两定点,M为平面内的动点,有向直线P_1P_2到直线P_1M及直线P_2M的角分别为α_1,α_2,且tgα_1·tgα_2=k(k是非零常数)。动点M的轨迹是什么呢?     

用平面上点表示的二次曲线的方程

本文得到了如下结论:只要给出平面直角坐标系5个互异且不在同一条直线上的点,就可以确定过这五个点的二次曲线的方程.当这些点满足条件的不同,就形成不同的曲线.当已知曲线的对称轴平行坐标轴时,确定曲线互异的点可以减少到4个,当曲线的类型已知时,确定曲线方程所需要互异的点的数目还可以减少到3个.     

求双曲线和它的渐近线

给定双曲线,它的渐近线就唯一确定。求出双曲线渐近线方程的方法虽然较多,但在一般情况下是比较繁琐的。因此,很有必要探讨双曲线渐近线的简捷求法。下面将以定理的形式给出求双曲线渐近线方程的一个公式,利用它可以简捷地求出双曲线渐近线的方程。本文假设一般二次曲线方程为     

在直线与二次曲线围成的可行域上求目标函数最值

在线性规划中,可行域都是直线围成的平面区域,我们能求出目标函数的最值,当可行域由直线与二次曲线围成时,如何求目标函数的最值呢?现在就让我们一起来学习探讨.例1已知x,y满足(x-2)2 y2-1≤0,x-3y≤0,求x y3的最大值和最小值.分析x y3可看作动点M(x,y)与定点B(-3,0)所在直线的     

你知道点差法产生增根问题的原因吗

同学们都熟悉,用点差法求二次曲线的中点弦问题,有时所求得的直线方程,却不是问题的解,是增根,你知道产生增根问题的原因吗？例1已知直线l与双曲线x22-y24=1交于A,B两点,P（1,1）是弦AB的中点,问直线l是否存在？如果存在,求出l的方程;如果不存在,说明理由.解当直线l的斜率不存在时,由双曲线的轴对称性知不满足要求.当直线l的斜率存在时,设A（x1,y1）,B（x2,     

二次曲线离心率e与曲线形状的关系

我们知道,在平面上引入直角坐标系以后,取定一个点F,再取一定直线l(点F不在直线l上),如果动点P到定点F的距离与到定直线l的距离的比等于常数e(e叫离心率),则动点P的轨迹是二次曲线;当e<1、e=1或e>1时,曲线分别是椭圆、抛物线或双曲线,可见由于离心率e值的不同,三种曲线在形状上有较大的差异,现在我们很自然地提出     

双曲线的另一定义

定义平面内的动点到两相交直线的距离之积为常数k(k>0)的点的轨迹叫做双曲线.其中两条相交直线为双曲线的渐近线. 证明以两条相交直线的角平分线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,则可设两相交直线的方程为6x±ay=0(a,b>0),设动点     

在直线与二次曲线围成的可行域上求目标函数最值

在线性规划中，可行域都是直线围成的平面区域，我们能求出目标函数的最值，当可行域由直线与二次曲线围成时，如何求目标函数的最值呢？现在就让我们一起来学习探讨。     

“代点法”一文的一点补充

一九八三年第六期《数学通报》刊载了胡世荣同志的篇名为“解平面解析几何题的简捷方法——代点法”的文章。文章的绝大部分内容是正确的,也是简捷的一种解题法。但文中第三部分“二次曲线的弦被一定点平分求这弦所在的直线方程”,作者却忽视了定点M(m,n)在坐标系中的位置。应当指出:绝非任一点M(m,n)都有弦P_1P_2存在,使得P_1、P_2在二次曲线上,且M为P_1P_2线段的中点。     

中学数学中的几个渐近线问题及处理对策

中学教材中出现“渐近线”这个概念是在“双曲线的简单性质”这节中,概括为:曲线上的动点沿着曲线从某个方向向外延伸时,动点与某条直线无限地接近,但永远不相交,那么称此直线为曲线的渐近线(渗透极限思想).     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

正射影曲线

在学习平面解析几何时 ,经常遇到求一条曲线关于一条直线的对称曲线方程的问题 .如果了解一下有关正射影曲线的一些知识 ,这类问题的解决是十分方便的 .定义 1　自直线ｌ外一点Ｐ向ｌ作垂线 ,垂足为Ｈ ,Ｑ是直线ＰＨ上异于Ｈ的任意一点 ,若 ＰＨＨＱ =λ .则称Ｑ是Ｐ关于直线ｌ成定比λ的正射影点 .定义 2　曲线Ｃ上各点关于直线ｌ成定比λ的正射影点的集合叫曲线Ｃ关于直线ｌ成定比λ的正射影曲线 .定理　在平面直角坐标系下 ,曲线Ｃ :ｆ(ｘ ,ｙ)= 0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0成定比λ的正射影曲线的方程是 ｆ(Ｘ ,Ｙ) =0 .其中Ｘ =ｘ -…     

直线方程f(2x0-x,2y0-y)=f(x,y)的几何意义

文 ( 1 )给出了直线方程 x0 x y0 y =r2的几何意义 ,文 ( 2 )又给出了直线方程 x0 xa2 y0 yb2 =1的几何意义 ,两文的讨论仅涉及到圆和椭圆这两种最简单的标准方程 ,本文将把这种讨论推广到一般的常态二次曲线 .设常态二次曲线 L的方程为 f( x,y) =0 ,M( x0 ,y0 )为坐标平面内任一点 ,本文讨论下列方程 ( * )的几何意义 .f ( 2 x0 - x,2 y0 - y) - f( x,y) =0　 ( * )定理 1　设 M( x0 ,y0 )为常态二次曲线L :f ( x,y) =0内部一点 ,那么方程 ( * )的几何意义表示以点 M为中点的中点弦所在的直线 .证明　在曲线 L :f ( x,y) =0上任取一…     

二次曲线的极线

“极点”和“极线”原是射影几何学中的概念 ,本文旨在概略地介绍它们的一些初步性质及在平面解析几何中的应用 .我们知道 ,在射影几何里 ,常把直线 p: 1- 3i,j aijpixj=0称为点 P( p1,p2 ,p3)关于二阶曲线S: 1- 3i,j aijxixj=0的极线 ,点 P被称为直线 p关于二阶曲线 S的极点 .在这样的定义下 ,每个不在二阶曲线上的点总有极线 .回到解析几何 ,设 S:Ax2 2 Bxy Cy2 2 Dx 2 Ey F=0为常态二次曲线 ,P( x0 ,y0 )为不在S上的点 (有心二次曲线的中心也除外 ,下同 ) .点P关于 S的极线就可定义为直线 p:Ax0 x B( x0 y y0 x) Cy0 y…