圆锥曲线一条共点线性质的发现之旅

1 一道赛题的演变 2005年全国初中数学联赛第二试第二题是锐角△ABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,DE与BC的延长线交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明:F、G、T三点共线(如图1).     

面积法巧证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:1OI-O1J=O1B-O1D.图1这是《中等数学》2006年第1期奥林匹克数学问题高中169.这里利用面积证法给出一个连初中生都能知晓的证法.证明连结D     

面积法所证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:     

两个“三点共线”问题的妙证

<正>问题一^([1])如图1,已知两直线l_1与l_2不平行,A、B、C是l_1上的三点,D、E、F是l_2上的三点,且直线AE与CF交于点G,AD与BF交于点H,BE与CD交于点K.证明:G、H、K三点共线.证明如图1所示,设直线KH分别交直线AE、CF于点G_1、G_2.则欲证G、H、K三点共线,     

2004年高中数学联赛平面几何题(加试)另解

题目在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.     

数学问题解答

2012年6月号问题解答(解答由问题提供人给出)2066点E、F分别是△ABC的边AC、AB上的点,BE和CF交于点D,AD和EF交于点G,过点D作BC的平行线分别交AB、BG、CG和AC于点H、K、N和M.试证:KN=1/2HM.(四川成都金牛区西林巷18号华鑫园A601宿晓阳610031)     

一道关于切线与直径的试题的多证和拓展

<正>2016年江西省中考数学第18题.如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC︵于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;(2)略.本文拟对该题进行多种证明,并且把切线变为割线和分裂直径AB为平行且相等的弦拓展该题.一、原中考题的多种证明证明1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

2004年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案

试题一、(本题满分50分)在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与     

一道中考题的多种证明和拓展

<正>题目(2016·江西)如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC于点F,交过点C的切线于点D.求证:DC=DP;一、本题的多种证明证法1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

一道数学奥林匹克问题的简证

《中等数学》08年第3期《数学奥林匹克问题》初220题为:图1如图1,D是△ABC边BC上的点,DBCD=mn,P是AD上的任意一点,过A、P两点作⊙O1、⊙O2,⊙O1与AB、AC分别交于点M、N,⊙O2与AB、AC分别交于点E、F,M与E、N与F均不重合.求证:MNFE..AACB=mn.笔者认为,此题的参考答案,证明较繁.经     

两个征解问题的面积解法

<正>问题1^[1]P是△ABC内的一点,射线BP、CP分别交AC、AB于点E、D,AP交DE于点G,过D、G、E分别作BC的垂线且垂足分别为K、M、N.证明:1/DK+1/EN=2/GM.证明如图1,作AT⊥BC于点T,连结DN,设DN与EK交于点Q,连结GQ,则由面积关系及平行线性质可得     

两个数学问题的面积法妙证

<正>问题1^([1])如图1,PAB、PCD分别是⊙O的两条割线,交⊙O于点A、B、C、D,AD与BC相交于点Q,若点M、N分别满足四边形MAQC、四边形NBQD都是平行四边形.证明:P、M、N三点共线.证明如图1所示,设直线MN分别交直线AB和CD于点P_1和P_2,则欲证P、M、N三点共线,须证点P_1与P_2重合,     

帕斯卡定理的面积法证明及应用

<正>帕斯卡定理^([1])圆的内接六边形的三双对边如果分别相交,那么三个交点共线.这是法国数学帕斯卡16岁时发现的一个惊人的定理,发表于1639年.这条共点直线为帕斯卡线.帕斯卡定理可改写成:设六边形ABCDEF内接于圆(与顶点次序无关,即ABCDEF无需为凸六边形),直线AB与DE交于点x,直线CD与AF交于点z,直线EF与BC交于点y,则x、y、z三点共线.     

一道竞赛试题的研究性学习

2007年第4届中国东南地区数学奥林匹克竞赛的第2题如下:如图1所示,设C、D是以O为圆心,AB为直径的半圆上的任意两点,过点B作⊙O的切线交直线CD于P,直线OP与直线AC、AD分别交于E、F.证明:OE=OF.     

1666数学问题在圆锥曲线中的推广

数学通报2007年第5期在数学问题的解答栏目中,刊登的第1666题为:如图1, ⊙O是△ABC的内切圆,分别与BC、AB、AC相切于点D、E、F,DO的延长线交EF于点G,AG的延长线交BC于点H.     

“任意等分线段”的新方法

数学课上,赵老师给我们布置了这样一道题:如图1,已知在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,AD=mAF,AB=nAE,FE与AC交于点G,试探索AG与AC的关系.题目中有平行线,但没有相似三角形.为了利用相似三角形的性质,我想到了延长FE交CB延长线于点H.     

关于a/1+1/b=1/c的一些数学题

型如“1/a 1/b=1/c”的证明,通常是先变形为“ac bc=1”.再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示ac和bc,然后再证这比的和为1初,中这几是何证课明本此习类题问题的基本途径.“已知:AC⊥AB,BD⊥AB,AD和BC相交于点E,EF⊥AB,垂足为F,又AC=p,BD=q,EF=r,如图证明:1p 1q=1r.这是一道很有用途的习题.现将该题作一简单推广.例1:直线AB之同侧有平行线AC,BD,连AD,BC相交于点E,又EF∥AC交AB于F,求证:A1C B1D=E1F.由证平明:行∵截A线C定∥…     

一个三角形重心向量性质的空间拓广

利用平面向量的知识,三角形有以下性质:图1[1]如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=xAB,AN=y AC,则1x 1y=3.证∵点G是△ABC的重心,∴GA GB GC=0,∴-AG (AB-AG) (AC-AG)=0,∴AG=13(AB AC).又∵M,N,G三点共线(A不在直线MN上),∴AG=λAM μAN(且     

数学问题解答

2006年2月号问题解答(解答由问题提供人给出)1596已知:△ABC内接于⊙O,过点A作⊙O的切线与CB的延长线交于D,点M1,M2在AB上,且AM1BM2=λ(0<λ≤1),分别延长DM1、DM2交AC于点E1,E2.求证:CE1·CE2AE·AE·λ2≤DA4DB4.证明过点B作BF1∥DE1,交AC于F1,作BF2∥DE2,交AC于F2,则有CE1E1     

一道竞赛题的简证及有关新结论

1原题及其简证原题在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90,°P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM⊥AC,BN⊥AC.求证:M、N、P三点共线.(2005年全国初中数学联赛D卷)图1证法1如图1,设DM、BN分别交AC于点E、F,联结PM、PN.易知DM∥BN,则EMBF=AEAF,DEFN=CECF.于是EMBF·DE