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命题设有面积为S的△ABC及面积为S'的矩形DBFG,且矩形两顶点D、E在BC边上,矩形两顶点G、F分别在△ABC的边AB、AC上(如图1),则有不等式:S'/s≤1/2此式当且仅当AF=FC,AG=GB时等号成立。证明设△ABC中,BC边上的对应高为h,底达BC=a,矩形的两边GD、GF分别为x、y,则有: y/a=AG/AB=h-x/h,∴y=a/h(h-x),故S'=xy=a(hx-x~2)/h=-a/h(x-h/2)~2+a/4h≤1/2s。上式当且仅当x=h/2,即G,F为AB、 AC中点时,等号成立。 相似文献
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1842号原题 △ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点,若△DEF是等腰三角形,且∠EDF=90°.求△DEF面积的最大值.贵刊在2010年第4期上登载了该问题的解答.现对该问题及一个相关内容再作如下探讨,用另一种方法求出△DEF面积的最大值和最小值.如图1,△DEF就是符合题设的三角形.过点D分别作DM⊥CA、DN⊥CB,垂足分别为M、N.因为∠DME=∠DNF=90°,DE=DF,又易证∠1=∠2,所以Rt△DME≌Rt△DNF.所以DM=DN.所以点D在∠ACB的平分线上.当DE⊥CA时,必有DF⊥CB,反之亦然.这时直接可得点D在∠ACB的平分线上.又点D在AB上,因此,点D是唯一的.由此可知:所有符合题设的△DEF均以唯一的点D为公共顶点.连结CD,CD即为Rt△ABC的角平分线. 相似文献
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平面向量基本定理的面积表示及其应用 总被引:1,自引:0,他引:1
在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE … 相似文献
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约定:点D,E,F分别是△ABC三边BC,CA,AB上的点,且AF/FB=λ1,BD/DC=λ2,CE/EA=λ3. 相似文献
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本文的起源是《数学通报》问题栏问题1526.问题1526△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,D、E、F分别是AB、AC、BC上的点,若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期刊出了问题提供者利用三角法给出的解答,但该解答未给出△DEF面积最小时 相似文献
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<正>探究一如图1,在△ABC中,D是BC的中点,M在CD上,AD、AM为∠BAC的等角线,P是直线AM上一点(P不与A、M重合),BP、CP分别交直线AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点N,则AN是△ABC的外接圆切线.先证明一个引理.引理1如图2,在△ABC中,P是BC延长线上一点,若满足AB2/AC2=BP/CP,则AP是△ABC的外接圆切线. 相似文献
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图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则 相似文献
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问题1关于Rt△ABC(图1),你知道哪些知识?生1:AC2 CB2=AB2,∠A ∠B=90°;若∠A=30°,则BC=12AB,反之也成立.师:还有吗?生2:AC CB>AB,AB>AC;若M为AB中点,则CM=21AB.师:还有吗?生3:若CD⊥AB于D,则CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.师:噢,我正想出示问题2呢?图2问题2因为Rt△ABC,C 相似文献
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《中学生数学》2018,(4)
<正>试题(2017年"大梦杯"福建省初中数学竞赛)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为线段BC的中点,E在线段AB上,CE与AD交于点F.若AE=EF,且AC=7,FC=3,则cos∠ACB的值为().(A)3/7(B)(2(10)(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)2-(AB)2-(AB)2)2)(1/2)/AC.因为AC=7,所以只需求BC或AB的长即可确定cos∠ACB的值.本题的难点是根据已知条件"D为线段BC的中点,AE=EF"寻找AB与FC之间的数量关系,即根据FC的长求出AB的长. 相似文献
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在平几中,证明两个角相等的方法较多.本文介绍一例“构造全等三角形”的证明方法.例已知:如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AC的中点,CE⊥BM于E,延长CE交AB于D.求证:∠CMB=∠AMD.分析:此题有两个基本图形,一个是Rt△ABC,其中AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°;另一个是Rt△M 相似文献
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<正>1试题呈现及构成特点在学习解三角形时,同学们遇到了两道几乎相同但又普遍反映比较难的题目:试题1在△ABC中,AB=2,AC=1,△BCD是以D为顶点的等腰直角三角形,则△ACD面积的最大值为_____.试题2在△ABC中,AB=1,AC=2,△BCD是正三角形,则△ACD面积的最大值为_____. 相似文献