动态立体几何题初探

本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查．     

截面问题

用平面去截几何体,平面与几何体的交线所围成的平面图形,如凸多边形、圆、椭圆等,就是我们这里所说的截面.截面问题主要包括作图和计算两个方面.处理截面问题一般分为三个步骤:定位,定形,定量.其中,图形的定位是解决截面问题的关键.作截面的方法源于确定平面的公理3及其推论,一般都是先确定一个平面,然后在这个平面内完成作图.图1　例1图例1　在单位正方体ABCD A1B1C1D1中,M ,N ,P分别是棱B1C1,C1D1,D1D的中点.求过M ,N ,P三点的平面截这个正方体所得截面的面积.讲解　我们先来确定截面的位置和形状,然后再来计算截面的面积.如图1,…     

一套易错的立体几何基础题

立体几何定理多 ,概念多 ,正确理解定理的使用条件以及有关概念的内涵和外延是学好立体几何的第一步 .不少立体几何概念性问题看似很简单 ,但稍不注意就会出错 ,多做这样的习题 ,有利于巩固基础知识和发展思维能力 .下面汇集了经常发生在同学们练习中的一些容易错的概念性问题 ,并在题后给出易错点的分析及解答 ,供同学们复习立体几何时参考 .1　一组易错题选择题　 (每一个小题给出代号A ,B ,C ,D的四个结论 ,其中只有一个结论是正确的 )1.“直线a∥直线b”是“直线a∥过直线b的平面”的 (　　 )(A)充分不必要条件 .(B)必要不充分条件 .…     

“动态”立体几何问题的解题策略

“动态”立几问题是高考中的创新题型,它渗透了一些“动态”的点、线、面元素,给静态的立体几何赋予了活力.由于“动态”的存在,也使立几问题更趋灵活,更具挑战性.如何探究此类问题,本文将举例说明.一、当动态问题难于解决时,可采用暂时固定的方法,逆向思索,促使几何关系明朗化.例1已知矩形ABCD,PA⊥面AC于点A,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥AB;(2)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ,能否确定θ,使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线?分析(1)取CD中点H,可证AB⊥平面MNH,于是AB⊥MN.(2)由题设可知二面角θ的平面角…     

关于a/1+1/b=1/c的一些数学题

型如“1/a 1/b=1/c”的证明,通常是先变形为“ac bc=1”.再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示ac和bc,然后再证这比的和为1初,中这几是何证课明本此习类题问题的基本途径.“已知:AC⊥AB,BD⊥AB,AD和BC相交于点E,EF⊥AB,垂足为F,又AC=p,BD=q,EF=r,如图证明:1p 1q=1r.这是一道很有用途的习题.现将该题作一简单推广.例1:直线AB之同侧有平行线AC,BD,连AD,BC相交于点E,又EF∥AC交AB于F,求证:A1C B1D=E1F.由证平明:行∵截A线C定∥…     

谈突破难以建系的立体几何问题

高考的立体几何题的命制,由于兼顾人教版高二数学九(A)和九(B)教材,在立体几何问题中常常设置一些易建系的问题,然后在空间直角坐标系下来解决.倘若,空间直角坐标系不易建立时,能否用向量法解决呢?在教材、复习资料及杂志上都很少涉及这类问题.难道这类问题就真的用中学所学的向量知识难以解决吗?笔者通过反思,找到了用空间向量的基本原理来求解立体几何中难以建系的常见的一些问题(如空间的角和距离问题等)普遍适用的方法.下面举例说明,仅供同行们参考.例1如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱与底面边长均为1,且∠A1AB=60°,∠A1AD=4…     

台体平行截面的一个性质

武汉市部分中学 2 0 0 1届高三年级 4月调考的最后一道选择题 (即第 ( 1 2 )题 )难住了不少学生 ,这道题是 :上下底面半径分别为 1 cm和 7cm的圆台被平行于底面的平面所截 ,若截得的上、下两个圆台的侧面积相等 ,则其体积之比为(　　 ) .　 ( A) 1∶ 1 ( B) 2∶ 1 ( C) 42∶ 93( D) 6 2∶ 1 0 9答案是选 ( D) .解决这道题的关键是求出截面圆的半径 .实际上 ,关于此截面圆的半径有一般的结论 ,这就是本文的定理 1 .这里要指出的是 ,我们应告诉学生 :虽然这个定理的结论很漂亮 ,但不一定要记住它 (以免增加记忆负担 ) ,而是要掌握推导此定理…     

“动态“立体几何问题的解题策略

“动态“立几问题是高考中的创新题型,它渗透了一些“动态“的点、线、面元素,给静态的立体几何赋予了活力.由于“动态“的存在,也使立几问题更趋灵活,更具挑战性.如何探究此类问题,本文将举例说明.……     

“动态“立体几何问题的解题策略

“动态“立几问题是高考中的创新题型,它渗透了一些“动态“的点、线、面元素,给静态的立体几何赋予了活力.由于“动态“的存在,也使立几问题更趋灵活,更具挑战性.如何探究此类问题,本文将举例说明.……     

例析线面所成角的求法

<正>线面所成角首先要将角找出,一般先找出线上一点到平面的垂线,从而找到了射影与直线所成的角即为所求的角,一般难度不大,但下面这道题要动动脑筋.例题正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB,C1D1的中点,如图1所示,求A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值.     

无意中引发的一次研究性学习

在一堂立体几何复习课中,我选了如下一道题: 如图1,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.求证:A、B、C、D四点共面.     

截面的画法

一个多面体被一个平面所截 ,在多面体的表面得到的截痕形成的平面封闭图形 ,称为这个多面体的一个截面 .判断截面有三项指标 :一是这个图形是否是平面图形 ;二是这个图形是否封闭 ;三是这个封闭图形的各条边是否在多面体的表面 .例如 ,图 1中的三角形就是正方体的一个截面 .在这三项指标中 ,第一项是关键 .我们总是先满足这一指标后 ,再满足其它指标 .已知多面体的棱上的三点 ,怎样作出过这三点的截面呢 ?本文介绍如下几种常用的方法 .1　平行线法例 1　在正方体 A1B1C1D1- ABCD中 ,点 E是 A1B1的中点 ,如图 2 (a) ,求作过 D1、E、B三…     

圆锥的轴截面是过顶点的最大截面吗?

去年某出版社出版的一本谈数学选择题的解法与训练的书中,在立体几何部份选入了两道有关过圆锥顶点最大截面的选择训练题: 一、圆锥的高为1,底面半径为3~(1/2),过圆锥顶点的截面面积的最大值是: (A)3~(1/2);(B)2;(C)2(3~(1/2));(D)3, 二、己知圆锥的母线长为l,底面半径为R,如果过圆锥顶点的截面面积最大值为l~2/2,那么有: (A)R/l=(2~(1/2))/2; (B)R/l≥(2~(1/2))/2; (C)R/l>(2~(1/2))/2; (D)R/l<(2~(1/2))/2。书中对这两题给出的答案都是(A)。在这里,可能是编者认定“在过圆锥顶点的所有截面中、圆锥的轴截面的面积最大”。并以这一命题为根据作出这样答案的。那么编者们认定的这个命题正确吗?下面我们将对此作一些分析,从而得出相应的结论。     

从三角形一边中点引一条直线截三角形与原三角形相似的问题探究

在学习了相似三角形之后,学生碰到了这样一道问题. 在△ABC中,AB＞AC＞BC,D是BC的中点,过D作直线l,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线l有___________条. 在这道题目中,不论学生作得的△ABC是锐角、直角还是钝角三角形,答案都是4条.理由如下:如图1,△ABC是锐角三角形,AB＞AC＞BC,过BC中点D作DE1∥AC,DE2∥AB,则△E1BD、△E2DC与原三角形相似.此外,若要形成“错A形”相似,需使∠CDE3=∠A,由于AC＞ BC,所以∠B＞∠A,又由于∠B=∠CDE2,故∠CDE2 ＞∠CDE3,即E3在线段CE2上,故一定可在三角形内部作得△DE3C∽△ABC.另由于AB＞BC,所以∠C＞∠A,又由于∠A=∠DE1B,故若要使∠C=∠DE4B,则∠DE4 B＞∠DE1B,即E4在线段BE1上,故一定可在三角形内部作得△DBE4∽△ABC.所以,从任意非特殊锐角三角形最短边中点出发,可作4条直线截三角形与原三角形相似.     

立体几何中有关动点轨迹的求解策略

<正>高考中常考查以立体几何体为载体,求有关动点的轨迹问题.它体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计命题,不仅能考查立体几何中点、线、面之间的位置关系,又能很好地考查解析几何的基本方法.这类题目因背景新颖、思考方法独特等原因,同学们常常无从下手.下面举例说明此类问题的几种求解策略.一、利用已知平面去截动点形成的几何图形得交线求解例1平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则     

定比分点坐标公式教学一得

在解析几何里,有一个定比分点坐标公式,不难发现,它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题,以及立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题具有很明显的相似之处,在此我们不妨将它们分别定义为定比分点截线问题、定比分线截面问题和定比分面截体问题．     

求点到平面的距离

解决好点到平面的距离是学好立体几何中距离关系的关键.下面是一个简单的实例,我们通过这个实例来体会一下求点到平面距离的几个常见的方法.例题:在正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为1.求点A1到平面AB1D1的距离.一、用点到平面距离的定义由于要求点到平面的距离就是要求点与该点在平面内射影间的线段的长度.因此,只要找到该点在平面中射影,问题就可以迎刃而解.解法一:连结A1C1交B1D1于O,连结AO,过点A1作A1E⊥AO,垂足为点E.∵AA1⊥平面A1B1C1D1且B1D1平面A1B1C1D1∴AA1⊥B1D1又∵B1D1⊥A1C1且A1C1∩AA1=A1∴B1D1⊥平面AA1…     

几何背景跳跃思维

在有些试题中,常常以某一种几何知识为背景来考察另一种几何知识,它是一种跳跃性思维方式. 考查的知识并不是很难,但学生却很不适应,只要“跳跃”过去这种试题就容易得到解答. 下面就以几何知识为背景,具有跳跃性思维的几种题目与大家一起分析.一、以立体几何为背景考查解析几何例 1　 (04年北京理 (4)题 )在正方体ABCD—A1B1C1D1 中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1 的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是(　　)A. 直线　　　　　　B. 圆C. 双曲线D. 抛物线分析: C1D1⊥面BB1C1C,所以,P到直线C1D1 的距离就…     

一道立体几何题变式教学的实践与认识

数学教学中的“变式”,主要是指对例习题进行变通推广 ,让学生在不同角度、不同层次、不同情形、不同背景下重新认识 .在数学教学中 ,恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围 ,能开拓学生的视野 ,激活学生的思维 ,有助于培养学生的探索精神与创新意识 .本文通过一道立体几何题的变式教学实践 ,谈谈对数学变式教学的认识 ,仅供参考 .原题　如图 1 ,已知正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 的棱长为 1 ,求对角线 A1 B与 B1 D1两异面直线间的距离 .这是一例极其普通的异面直线距离的算法例子 ,笔者在教学中和学生一起探讨了两种基本求法 …     

由一道几何题引发的作图题

<正>一、一道几何题如图1,⊙O与⊙O′外离,半径分别为r与R,一条直线交两圆于A、C与D、B,且AC=DB,过A、B分别作两圆的切线交于P,求证:PA/PB= r/R.本文不讨论该题的证明,关注的是题设"一条直线交两圆于A、C与D、B,且AC=DB",思考一个问题——在两圆确定的前提下,如何作出一条与两圆相交且所截得的两条弦相等的直线,于是引发如下作图题.