Über die Mannigfaltigkeit der reduziblen quadratischen Formen

Zusammenfassung Die Koeffizientensysteme von reduziblen quadratischen Formen inn+1 Veränderlichen bilden, wenn man sie als homogene Koordinaten eines projektiven Raumes deutet, eine algebraische Mannigfaltigkeit. Sie hat die Dimension 2n, die Ordnung 1/2( _n ²ⁿ ) und das virtuelle arithmetische Geschlecht 0. Die Hilbertfunktion des definierenden Primideals ist . Die Mannigfaltigkeit der singulären Punkte besteht aus den Bildern der Formen vom Rang 1, sie ist eine Veronesesche Mannigfaltigkeit vom Grade 2.     

The number oft-wise balanced designs

We prove that the number oft-wise balanced designs of ordern is asymptotically , provided that blocks of sizet are permitted. In the process, we prove that the number oft-profiles (multisets of block sizes) is bounded below by and above by for constants c₂>c₁>0.     

On an integral method for backward boundary layers

Zusammenfassung Eine Integralmethode für die Lösung von zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen wird entwickelt für Fälle, in denen die Lösungen sich anfänglich wie diejenigen von End-Grenzschichten benehmen. Diese Lösungen sind von Goldstein behandelt worden. Die bedeutendste Anwendung betrifft den Fall, wo ein zweidimensionaler Strom gegen eine Öffnung fliesst, durch welche die Flüssigkeit entleert wird. In erster Annäherung wird die Grenzschichtströmung für grosse Entfernungen von der Öffnung durch die Ähnlichkeitsgesetze der konvergenten Strömung in einem keilförmigen Kanal beschrieben. Um Strömungen dieser Art zu studieren, die über lange Entfernungen laufen, wird die Geschwindigkeit am Rande der Grenzschicht an Stelle der Entfernung längs der Grenzschicht als unabhängige Veränderliche eingeführt. Die beschriebene Methode wird auf den Fall der Strömung in Richtung eines Schlitzes angewendet, ausgehend von einem unendlichen Halbraum, ferner auf den Fall einer Strömung um eine endliche Platte, die senkrecht zur Strömungsrichtung steht. In beiden Beispielen ist die Potentialströmung in der Form des Kirchhoff-Rayleighschen Gesetzes angenommen, wobei die freien Stromlinien an die scharfen Kanten gebunden sind. Die Methode wird verallgemeinert, so dass sie für allgemeinere End-Grenzschichten benutzt werden kann. Die Resultate stimmen ausgezeichnet mit denen der Methode von Thwaites sowie mit den Ähnlichkeitslösungen von Falkner-Skan überein.     

Far field velocity potential induced by a rapidly decaying vorticity distribution

We study the velocity field induced by a vorticity distribution decaying rapidly in the distancer from the origin. In the far field, the vector potential for the velocity field can be represented by a series A ⁽ⁿ⁾, withA ⁽ⁿ⁾ proportional tor ^–n–1, forn=1, 2, .... We show thatA ⁽ⁿ⁾ can be expressed as a linear combination ofM _n linearly independent vector functions. The numberM _n is equal to 3 forn=1 and 4n forn2 and the coefficient of a vector function is defined by a linear combination of nth moments of vorticity. We then show that only 2n+1 linear combinations of thoseM _n vector functions contribute to the far field velocity which is irrotational. The corresponding scalar potential ⁽ⁿ⁾ is then represented by a linear combination of 2n+1 spherical harmonics ofnth order whose coefficients are again linear combinations ofnth moments of vorticity.

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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit beschreibt das Geschwindigkeitsfeld fernab einer Wirbelverteilung, welche mit dem Abstandr vom Ursprung eines geeigneten Bezugssystems hinreichend schnell abklingt. Die Geschwindigkeit besitzt ein Vektorpotential, dessen Fernfeldverhalten einer Reihenentwicklung A ⁽ⁿ⁾, genügt. Dabei istA ⁽ⁿ⁾ proportional zur ^–n–1 fürn=1, 2, .... Wir entwickeln eine explizite Darstellung vonA ⁽ⁿ⁾ als Linearkombination vonM _n linear unabhängigen Vektorfunktionen. Die auftretenden Koeffizienten sind ihrerseits Kombinationenn-ter Momente der Wirbelverteilung. Die ZahlM ₁ ist gleich 3 und es istM _n=4n fürn2, während die Gesamtzahl dernten Momente beträgt. Weiterhin zeigen wir, da\ nur 2n+1 dieser Vektorfunktionen auch zum drehungsfreien Fernfeld der Geschwindigkeitn-ter Ordnung beitragen können und identifizieren die zugehörigen Kombinationen von Wirbelmomenten. Dieselben Kombinationen liefern dann auch die Koeffizienten in einer Entwicklung desskalaren Fernfeldpotentials nach Kugelfunktionen.

     

über straffe Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum der Schwartzschen Distributionen

Zusammenfassung In den letzten Jahren erschien eine Reihe von Arbeiten, die sich systematisch mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf topologischen Gruppen, Halbgruppen, topologischen RÄumen und topologischen linearen RÄumen beschÄftigten. Als besonders geeignet für eine topologische Wahrscheinlichkeitstheorie erwiesen sich hierbei die sogenannten straffen (tight) Wahrscheinlichkeitsverteilungen (vgl. Le Cam [3], Hildenbrand [11], Prochoeov [20], Varadarajan [25]).Die vorliegende Arbeit befa\t sich mit straffen Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum D, dem topologischen Dualraum des Raumes D der auf der reellen Zahlengeraden definierten beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem TrÄger Tr .Der Ausgangspunkt für die Untersuchung von Zufallselementen mit Werten in linearen RÄumen, die nicht notwendig BanachrÄume sind, war wohl der von GELFAND [8] eingeführte Begriff des verallgemeinerten stochastischen Prozesses (VSP). Solange man bei einem solchen Proze\ Eigenschaften untersucht, die sich mit Hilfe seiner endlichdimensionalen Randverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, beschreiben lassen, wird man sich wie im Fall eines gewöhnlichen stochastischen Prozesses natürlich die Frage stellen, ob ein geeigneter Standard-stichprobenraum existiert, etwa der Raum D, so da\ sich jeder VSP auffassen lÄ\t als Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem geeigneten hinreichend umfangreichen -Ring von Teilmengen des Raumes D. Die fundamentale Arbeit von MINLOS [18] gab hierzu die Lösung: Durch ein vertrÄgliches System endlichdimensionaler Wahrscheinlichkeitsverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, mit gewissen Eigenschaften, die denen der Randverteilungen eines VSP entsprechen, lÄ\t sich auf dem SystemB der Zylindermengen des Raumes D eine sogenannte schwache Verteilung definieren, von der gezeigt wird, da\ sie -additiv ist. Durch EinschrÄnkung des Raumes der sogenannten Testfunktionen auf den metrisierbaren Teilraum D _K{ D:Tr K, K kompakt in } von D lÄ\t sich dieses Ergebnis wie folgt verschÄrfen: Die durch ein vertrÄgliches System endlichdimensionaler Randverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, mit entsprechenden Eigenschaften, auf dem System B _K der Zylindermengen des Raumes D_K definierte schwache Verteilung K ist straff bezüglich der schwachen Topologie (D_K, D_K) in D_K.Die Frage nach der Gültigkeit einer entsprechenden VerschÄrfung für das Dualsystem >DD<, bzw. allgemeiner für ein Dualsystem E, F mit nicht notwendig metrisierbarem F, bildete den Gegenstand neuerer Untersuchungen, über deren Ergebnisse auf dem letzten Berkeley Symposium E. Mourier berichtete (vgl. [19]).Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit des Verfassers wird demgegenüber eine Methode aufgezeigt, mit deren Hilfe, unter Verwendung des Minlosschen Satzes in seiner ursprünglichen Form, auf direktem Wege für das Dualsystem >D, D< der Nachweis gelingt, da\ eine schwache Verteilung auf B nicht nur -additiv, sondern automatisch straff ist (bzgl. der schwachen Topologie (D, D) in D) und sich somit eindeutig fortsetzen lÄ\t zu einer straffen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem System 83 der Boreischen Mengen in D, welches den von den Zylindermengen erzeugten -Ring (B) umfa\t. Mit anderen Worten wird damit gezeigt, da\ man jeden VSP auffassen kann als straffe Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Boreischen Mengen in D. Wir sprechen dann auch von einer zufÄlligen Distribution.Im zweiten Kapitel betrachten wir spezielle zufÄllige Distributionen, nÄmlich Normal-verteilungen v, die aus Randverteilungen hervorgehen, welche n-dimensionale Normal-verteilungen sind, und beschÄftigen uns mit dem Problem der Äquivalenz und SingularitÄtzweier Normalverteilungen v₁ und v₂ in D. Für den Fall v₁ = v, v₂= v_{f 0}, wo v_{f 0}(Z) =v(Z – f₀), ZB fD, zeigte DUDLEY [6], da\ entweder Äquivalenz oder SingularitÄt vorliegt, wobei er ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für den Fall der Äquivalenz angibt. Aus der Theorie der gewöhnlichen stochastischen Prozesse ist nun bekannt, da\ die beiden Wahrschein-lichkeitsma\e, die zwei beliebigen Gau\schen Prozessen auf dem Raum ihrer Realisierungen entsprechen, entweder Äquivalent oder singular sind. Es lag deshalb nahe, nach einem Kriterium zu suchen, welches es einerseits gestattet, im Fall zweier beliebiger Normalverteilungen v₁ und v₂ in D zu entscheiden, wann Äquivalenz vorliegt, und welches andererseits die naheliegende Vermutung bestÄtigt, da\ für zwei Normalverteilungen in D dieselbe Alternative wie im eben zitierten klassischen Fall vorliegt. Dieses Problem wird gelöst, indem wir zeigen, da\ sich ein von Kallianfur-Oodaira [13] aufgestelltes Kriterium für die Äquivalenz zweier Normalverteilungen auf den Boreischen Mengen eines separablen Hilbertraumes auf den Distributionsraum D übertragen lÄ\t.Im dritten Kapitel beschÄftigen wir uns mit der Frage der Äquivalenz zweier beliebiger (nicht notwendig normaler) Wahrscheinlichkeitsverteilungen in D.Abschlie\end möchte der Autor Herrn Professor Dr. K. Krickeberg (Heidelberg) für die Anregung zu dieser Arbeit sowie für die Unterstützung wÄhrend ihrer Durchführung herzlich danken.     

Nonideal magnetogasdynamic flows in boundary layer approximation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden schwach konvergierende und schwach divergierende MGD-Strömungen in der Grenzschichtnäherung untersucht. Das Verhalten dieser magnetischen Grenzschicht, charakterisiert durch alleinige Berücksichtigung der magnetischen Viskosität und Vernachlässigung der dynamischen Viskosität, wird durch die starke Kopplung zwischen Magnetfeld und Strömungsfeld bestimmt. Es werden im allgemeinen durch diese Kopplung die MGD-Grenzschichtgleichungen komplizierter, so dass deren analytische Lösung nur mit Hilfe von Ähnlichkeitstransformationen möglich ist. Nur im GrenzfallR _M (magnetische Reynoldszahl sehr gross) erhält man eine analytische Lösung. Mit Hilfe bestimmter Symmetriebedingungen werden die Lösungen auf symmetrische Strömungen eingeschränkt (freier Strahl oder Kanalströmungen). Schliesslich wird noch gezeigt, dass die endliche elektrische Leitfähigkeit die Ursache der freien Turbulenz gewisser Jet-Konfigurationen ist.

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This research has been sponsored in part by the United States Government under Contract No. F61052-67-C-0014.     

Die asymptotische Verteilung von mehrfachen Koinzidenzen

Zusammenfassung Ist U eine symmetrische Menge des R _m (i. e. -U=U R _m ), so heien zwei Punkte x ₁, x ₂ R _m U-koinzident falls x ₁–x₂U gilt. Dieser Koinzidenzbegriff wurde in [1] eingeführt. In dieser Arbeit wurde folgendes allgemeine Resultat bewiesen:Sind x ₁,...,x _n ER _m gegebene Punkte, ist AR _m beliebig und U=–UR _m , so bezeichne K(x₁,h.,x_n; U, A) die Anzahl der U-koinzidenten Paare unter denjenigen der Punkte x ₁,...,x _n, die in A fallen. Ist eine Folge von unabhÄngigen, m-dimensionalen Zufallsvariablen, mit der allen gemeinsamen, quadratisch integrierbaren Dichte f, so ordne man jeder Folge von symmetrischen Borelmengen des R _m die Folge der stochastischen Prozesse zu. Weiters bezeichne den durch das Ma induzierten Poissonproze.Dann wurde in [1] gezeigt, da unter geeigneten Voraussetzungen über die Folge und für beliebige die Folge der gemeinsamen Verteilungen von (K(x ₁,h.,x_n; U _n , A _j ): j=1(1)r) gegen die gemeinsame Verteilung von (K(A _j ): j=1(1) r) strebt.In der vorliegenden Arbeit wird der Begriff der k-fachen U-Koinzidenz eingeführt und ein analoges Resultat für die asymptotische Verteilung der Anzahlen von k-fachen Koinzidenzen hergeleitet.     

The Ingham Divisor Problem on the Set of Numbers without kth Powers

Suppose that k and l are integers such that and , M _k is a set of numbers without kth powers, and . In this paper, we obtain asymptotic estimates of the sums over      

Electron density distribution in a cylinder

Zusammenfassung Die radiale Elektronendichteverteilung in einem unendlich langen Zylinder wird für den Gleichgewichtsfall berechnet. Dabei ergibt sich die Existenz einer maximalen Dichten _max*, welchem Wert die Dichte in der Achse des Zylinders zustrebt, wenn die mittlere Dichte im Querschnitt gegen unendlich geht. Figur 1 zeigt, dass für <n _max* die Dichte über den Querschnitt praktisch konstant ist. Fürn>n _max* steigt die Dichte an der Wand mit an.

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This research was supported in part by the United States Air Force through the Air Force Office of Scientific Research of the Air Research and Development Command under Contract No. AF 49(638)-401     

Zur Minimalität trigonometrischer Polynomoperatoren

Cheney and others [2] have shown that, with respect to the norm of uniform convergence, the Fourier operator F_n:C₂p_n is the only minimal projection. For a more detailed study of operators A:C₂P_n we investigate the evaluation functionals respectively the mean of their norms . We give a complete characterization of polynomial operators which minimize this quantity. As an application we can simplify the proof in [2]. Moreover, we show that the trigonometric interpolation operators, having the above minimal-property,are exactly those with equidistant nodes.

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Diese Arbeit enthält die wesentlichen Resultate einer Diplomarbeit, die der Verfasser an der Eberhard-Karls-Universität Tübingen unter der Anleitung von A.Schönhage angefertigt hat.     

The stability of dissipative Couette flow between rotating cylinders in the presence of an axial magnetic field

Zusammenfassung Die Stabilität der magnetohydrodynamischen Strömung zwischen zwei koaxialen Kreiszylindern, die sich in einem axialen Magnetfeld befinden wird untersucht für beliebige Werte des Rotationsparametersm= ₂/ ₁, wobei ₂ die Winkelgeschwindigkeit des äusseren Zylinders und ₁ die Winkelgeschwindigkeit des inneren Zylinders bedeutet. Es wird angenommen, dass die Spaltbreite klein gegenüber den Krümmungsradien der Zylinder ist, dass es sich um eine schwach elektrisch-leitende Flüssigkeit handelt und dass die Zylinder nicht-leitend sind. Werte der kritischen Taylor- und Wirbelzahl für neutrale Störungen vom Taylor-Görtler-Typ werden als Funktion der Hartmann-Zahl für alle |m|1 numerische bestimmt.     

A characterization ofL n (q) by the normalizers' orders of their sylow subgroups

LetG be a finite group. If for every primer, whereR ₁ Syl _r G andR ₂ Syl _r (L _n (q)), thenG L _n (q).     

Renewal theorem for a class of stationary sequences

Summary A renewal theorem is obtained for stationary sequences of the form _n=(...,X _n-1,X _n,X _n+1...), whereX _n, , are i.i.d. r.v.s. valued in a Polish space. This class of processes is sufficiently broad to encompass functionals of recurrent Markov chains, functionals of stationary Gaussian processes, and functionals of one-dimensional Gibbs states. The theorem is proved by a new coupling construction.Research supported by the National Science Foundation     

Ein Kriterium für die periodischen Diagonalkettenbrüche

Zusammenfassung Periodische DIagonalkettenbrüche weisen — über die bekannte, in ihrer Definition begründete, Grundeigenschaft hinaus — bemerkenswerte Regelmäßigkeiten auf. IN dieser Arbeit ist aufgezeigt, daß der NäherungsbruchA _v–1 /B _v–1 der quadratischen Irrationalzahl :Q ₀ (normiert,Q ₀>0 angenommen),dann und nur dann auch Näherungsbruch der Diagonal-kettenbruchentwicklung von ₀ ist, wenn der NennerQ _v in dem vollständigen Quotienten :Q _v von ₀ kleiner ist als (Satz 4), ausgenommen höchstens den Fall, daß der Vorperiode oder der 1. Periode der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung von ₀ angehört.Ist speziell die Quadratwurzel aus einer natürlichen nichtquadratischen Zahl, so gilt die Regelmäßigkeit für alle 1 (Satz 1). In Satz 4 ist näher erläutert, von welchem an die Formel im allgemeinen Fall notwendig gilt.Das gegebene Kriterium erleichtert sowohl die Bestimmung der Diagonalkettenbruchentwicklung quadratischer Irrationalzahlen als auch die Lösung diophantischer Ungleichungen, wie es auch weitere, über den Rahmen dieser Arbeit hinausgehende, theoretische Schlußfolgerungen ermöglicht, auf die wir in anderem Zusammenhang eingehen werden.Herrn Prof.Nils Pipping, Helsingfors, zum 75. Geburtstag am 14. Mai 1965 gewidmet     

Convergence of series of translations

For a mean zero norm one sequence (f _n )L ₂[0, 1], the sequence (f _n {nx+y}) is an orthonormal sequence inL ₂([0, 1]²); so if , then converges for a.e. (x, y)[0, 1]² and has a maximal function inL ₂([0, 1]²). But for a mean zerofL ₂[0, 1], it is harder to give necessary and sufficient conditions for theL ₂-norm convergence or a.e. convergence of . Ifc _n 0 and , then this series will not converge inL ₂-norm on a denseG subset of the mean zero functions inL ₂[0, 1]. Also, there are mean zerofL[0, 1] such that never converges and there is a mean zero continuous functionf with a.e. However, iff is mean zero and of bounded variation or in some Lip() with 1/2<1, and if |c _n | = 0(n ^–) for >1/2, then converges a.e. and unconditionally inL ₂[0, 1]. In addition, for any mean zerof of bounded variation, the series has its maximal function in allL _p[0, 1] with 1p<. Finally, if (f _n )L [0, 1] is a uniformly bounded mean zero sequence, then is a necessary and sufficient condition for to converge for a.e.y and a.e. (x _n )[0, 1]. Moreover, iffL [0, 1] is mean zero and , then for a.e. (x _n )[0, 1], converges for a.e.y and in allL _p [0, 1] with 1p<. Some of these theorems can be generalized simply to other compact groups besides [0, 1] under addition modulo one.     

Quadratic Property of the Rational Semicharacteristic

Let . Assume that V is a manifold, is the set of germs of n-dimensional oriented submanifolds of V, and is the ₂-module of all ₂-valued functions on E _n (V). If is an oriented submanifold, let be the indicator function of the set of germs of X. It is proved that there exists a quadratic map such that for any compact oriented submanifold one has the relation , where is the (rational) semicharacteristic of , i.e., the residue class defined by the formula

Combined forced and free convection heat transfer from a horizontal flat plate

The problem of combined forced and free convection heat transfer in boundary-layer flow past a heated or cooled, horizontal flat plate is studied in the limits of large and small Prandtl number using the technique of matched asymptotic expansions. It is found that the effects of natural convection are confined to small changes in the basic forced convection velocity and temperature fields providedGr/Re ^5/2 Pr ^2/3 1 forPr1, orGr/Re ^5/2 Pr ^1/2 1 forPr1. The governing similarity equations at the first two orders in these small parameters are solved and the results compared with the numerical solutions of Sparrow and Minkowycz (1962).

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Zusammenfassung Das Problem der kombinierten erzwungenen und freien Konvektion in der Grenzschichtströmung entlang einer geheizten oder gekühlten horizontalen ebenen Platte wurde untersucht im Grenzfall von kleinen und grossen Prandtl-Zahlen, mit Hilfe der angepassten asymptotischen Entwicklungen. Der Effekt der natürlichen Konvektion ergab sich als kleine Korrektur der Geschwindigkeits-und Temperatur-Felder, fallsGr/Re ^5/2 Pr ^2/3 1 fürPr1 oderGr/Re ^5/2 Pr ^1/2 1 fürPr1. Die Ähnlichkeitslösungen der beiden ersten Ordnungen in diesen Parametern wurden bestimmt, und die Resultate wurden mit der numerischen Lösung von Sparrow und Minkowycz (1962) verglichen.

     

The compressible gas-solid particle flow over a semi-infinite flat plate

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass die Grenzschicht-Approximation auf die Zwei-Phasen-Strömung über eine Halbebene anwendbar ist, wenn die Teilchendichte in der Grenzschicht von der Ordnung ist. Die Bedeutung eines neuen Parameters _m /x wird herausgestellt, wo _m die Länge ist, auf der die Teilchen ihre Geschwindigkeit ume ^–1 verringern, und der Abstand von der Vorderkante. Reihenentwicklungen in diesem Parameter werden benutzt, derart, dass eine Ähnlichkeitsgrösse für die Halbebene gefunden werden kann. Dies reduziert ein System partieller Differentialgleichungen auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Letztere werden numerisch und wenn möglich analytisch gelöst, so dass Schubspannungskoeffizienten und Wärmeübergangskoeffizienten für begrenzte Teile der Wand berechnet werden können. Hierbei wird die Gasdichte nicht als konstant angenommen.     

Momentum-flux condition for Landau-Squire jet flow

For a class of similarity solutions of the Navier-Stokes equations called general Slezkin flow, explicit expressions are derived for the components of the momentum-flux tensor. Remarkably enough some of the components depend only on the coefficients of the governing differential equation. Closely related is the introduction of a jet condition, that has to be satisfied a priori by a Landau-Squire jet flow. The new criterion is applied to some jet flows proposed in the literature.

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Zusammenfassung Für eine Klasse von Ähnlichkeitslösungen der Navier-Stokesschen Gleichungen, allgemeine Slezkinsche Strömung genannt, werden explizite Ausdrücke für die Komponenten des Impulsflux-Tensors hergeleitet. Überraschenderweise treten in einigen dieser Komponenten nur die Koeffizienten der die Strömung beherrschenden Differentialgleichung auf. In engem Zusammenhang damit steht die Einführung einer Strahlbedingung, welche von einer Landau-Squireschen Strahlströmung erfüllt werden soll. Das neue Kriterium wird auf einige in der Literatur vorgeschlagene Strahlströmungen angewendet.

     

On exponents in arithmetical semigroups

Let be the factoring of a natural numbern into primes. In 1969Niven found the average order of the functionsh(n)= min {₁,... _r } andH(n)= max {₁,... _r }. In this note a generalization ofNiven's results is discussed, namely the average order of the corresponding functions in certain arithmetical semigroups.