原子的解析波函数——Ⅱ.第二周期元素的正常态原子与离子的解析波函数与能量积分的计算

我们在文献[1]中设计了一套五个参数的变分波函数用来计算了周期表中前面十个原子的能量,所得结果比过去一些作者用四参数波函数所算得的结果为好。我们在过去计算经验的基础上,另外找到了一套特别简单的解析波函数,其形式为1s电子:ψ₁(r)=N₁e^-μar,2s电子:ψ₂(r)=N₂[(μr)e^-μr-Ne^-μar],2p电子:ψ₃(r)=N₃(μr)cosθe^-μr,ψ₄(r)=N₄(μr)sinθe^iφ-μr,ψ₅(r)=N₅(μr)sinθe^-iφ-μr,式中的α与μ为变分参数;N₁,N₂,N₃,N₄,N₅为归一化因子;N为正交化系数。μ可用解析法来决定,因而只有一个参数α要由数值法来决定。我们用这样的波函数算出了第二周期元素的正常态原子和离子(共有八十几个原子态)的各电子的各种能量积分值及总能量值,并确定了波函数的最佳参数值。其结果与五参数波函数的计算结果相比,一般相差在万分之一至千分之一的范围内,并比最近有些作者用一种三参数波函数所算的结果还好。根据这些结果,我们还讨论了Slater近似计算法的可靠程度和适用范围。     

四态叠加多模叠加态光场|Ψe(4),Ⅲ〉q的等阶N次方Y压缩

根据量子力学的线性叠加原理,构造了由多模偶相干态与多模虚偶相干态组成的第Ⅲ种四态叠加多模叠加态光场态|Ψ_e⁽⁴⁾,Ⅲ〉_q的等阶N次方Y压缩特性.结果发现:1) 当压缩阶数N=4m,(m=1,2,3,…)时,态|Ψ_e⁽⁴⁾,Ⅲ〉_q恒处于等阶数N-Y最小测不准态;2) 当压缩阶数N=4m′+2,(m′=0,1,2,…)时,在(θ₁-θ₂),q,R_j,r₁,r₂等取不同的组合定值下,态|Ψ_e⁽⁴⁾,Ⅲ〉_q可分别呈现出等阶N次方Y压缩效应与"半相干态"效应;3) 当压缩阶数N为奇数时,在(θ₁-θ₂),q,R_j,r₁,r₂等取不同的组合定值下,态|Ψ_e⁽⁴⁾,Ⅲ〉_q可呈现出等阶N次方Y压缩效应.     

由奇、偶相干态组成的第Ⅱ种四态叠加多模叠加态光场的等阶N次方H压缩特性

利用多模压缩态理论,详细研究了由奇、偶相干态组成的第Ⅱ种四态叠加多模叠加态光场|ψ_o,e⁽⁴⁾Ⅱ>_q的等阶N次方H压缩特性.结果发现:1)当腔模(纵模)总数_q与压缩阶数N之积_qN为偶数时,态|ψ_o,e⁽⁴⁾Ⅱ>_q恒处于等阶N-H最小测不准态;2)当_qN为奇数时,在其它参量的不同组合取定值的条件下,态|ψ_o,e⁽⁴⁾Ⅱ>_q可分别呈现以下几种效应:①某一正交分量呈现等阶N次方H压缩效应,另一正交分量则既不呈现出等阶N次方H压缩效应也不处于等阶N-H最小测不准态;②呈现出"半相干态”效应;③处于等阶N-H最小测不准态;3)经与文献17比较发现本文论及的态|ψ_o,e⁽⁴⁾Ⅱ>_q与态|ψ_o,e⁽⁴⁾Ⅰ>_q之间存在着"压缩简并”现象.     

轻原子和离子的多重态理论计算

本文的目的是探索一种参数比较少而计算结果又比较好的解析波函数来计算轻原子和离子的多重态能量,并与其他方法计算的结果和实验结果相比较。我们选用下列波函数: 1s电子:ψ_1(r):N_1e~(-μar)[1 (μbr)~1] 2s电子:ψ_2(r)=N_2[μr)e~(μr)-Ne~(μar)], 2p电子:ψ_3(r)=N_3(μr)cosθe~(-μr) ψ_4(r)=N_4(μr)sinθe~(1φ-μr) ψ_5(r)=N_5(μr)sinθe~(-1φ-μr) 计算了第二周期元素正常态原子和相应的离子的波函数的最佳参数值和能量值。这套波函数只有三个参数μ,a和b。结果表明理论计算的能量值与实验值符合得很好,误差在百分之一到千分之一的范固内。而且与Morse和Tubis等人过去用四参数波函数算出的结果很接近,有些还要好一些。说明我们选用的这套波函数是比较简单而又比较准确的。     

高能正负电子对的湮没与超窄共振ψ粒子的作用

本文给出了R=(σ(e⁺e^-→强子))/(σ(e⁺e^-→μ⁺μ^-))随能量上涨的一个解释。研究了新发现ψ粒子所具有作用的性质,指出其强度f²/(4π)～10^-5—10^-6。求得峰值截面σ₀=(12π)/m_ψ²(Γ(ψ→e⁺e     

非定域位势e-μr/r·e-μr′/r′·e-αR/R及e-μr/r·e-μr′/r′·e(-(β(r+r′))1/2·R))/R的Regge渐近行为

本文证明了两个物理上有兴趣的非定域位势e^-μr/r·e^-μr′/r′·e^-αR/R及e^-μr/r·e^-μr′/r′·e^{(-(β(r+r′))1/2·R)})/R的分波S矩阵元对动量变数k在除沿虚轴的割线(-∞i,0),(μi,∞i)的全平面,对角动量变数λ在右半平面Reλ>-1/2的半纯性和当k,λ分别趋于无穷大时的渐近性质。最后得到了Regge渐近行为。     

第V类两态叠加多模叠加态光场的广义非线性等阶N次方Y压缩

本文构造了由多模真空态|{0_j}>_q和多模虚相干态的相反态|{-iZ_j}>_q这两者的线性叠加所组成的第V类两态叠加多模叠加态光场|ψ₅⁽²⁾>_q.利用多模压缩态理论,研究了态|ψ₅⁽²⁾>_q的广义非线性等阶N次方Y压缩特性.结果发现:1)态|ψ₅⁽²⁾>_q是一种典型的多模非经典光场;无论压缩阶数N取奇还是取偶,只要各模的初始相位φ_j(j=1,2,3,…,…,q)和态间的初始相位差(θ_nq^(I)-θ_oq^(o))等满足一定的取值条件,态|ψ₅⁽²⁾>_q总可呈现出周期性变化的、任意奇数阶和任意偶数阶的广义非线性等阶N次方Y压缩效应.2)态|ψ₅⁽²⁾>_q所分别呈现的任意奇数阶和任意偶数阶的等阶N次方Y压缩效应,其压缩条件、压缩特征以及压缩程度和压缩深度等各不相同.3)无论压缩阶数N取奇还是取偶,态|ψ₅⁽²⁾>_q的第一和第二这两个正交分量的等阶N次方Y压缩效应总是呈现出周期性的互补关系.     

第Ⅲ及第Ⅳ类两态叠加多模叠加态光场的等阶N次方Y压缩与等阶N次方H压缩——兼论“相似压缩”与“压缩简并”现象

本文根据量子力学中的线性叠加原理,分别构造了由多模(即q模)相干态|{Z_j}>_q与多模真空态|{0_j}>_q以及由多模相干态的相反态|{-Z_j}>_q与多模真空态|{0_j}>_q等的线性叠加所组成的第及第类两态叠加多模叠加态光场|ψ_+,3⁽²⁾>_q和|ψ_-,4⁽²⁾>_q.利用新近建立的多模压缩态理论,首次对态|ψ_+,3⁽²⁾>_q及态|ψ_-,4⁽²⁾>_q的广义非线性等阶N次方Y压缩和等阶N次方H压缩特性进行了详细研究.结果发现:1)态|ψ_+,3⁽²⁾>_q及态|ψ_-,4⁽²⁾>_q是两种典型的多模非经典光场,当各模的初始相位φ_j(j=1,2,3,…,q)或者各模的初始相位和 =φ_j以及态间的初始相位差(θ_±^(R)-θ^(0)_±)等分别满足一些特定的量子化条件时,态|ψ_+,3⁽²⁾>_q及态|ψ_-,4⁽²⁾>_q均可呈现出周期性变化的、任意阶的等阶N次方Y压缩效应和等阶N次方H压缩效应;2)当组成态|ψ_+,3⁽²⁾>_q及态|ψ_-,4⁽²⁾>_q的各对应复几率幅不相等亦即C₊^(R)≠C_-^(R)和C₊⁽⁰⁾≠C_-⁽⁰⁾时,态|ψ_+,3⁽²⁾>_q及态|ψ_-,4⁽²⁾>_q这两者的压缩条件和压缩特征虽然相同,但其压缩幅度(即压缩程度和压缩深度)却不相等,这种现象称为“相似压缩”;3)当组成态|ψ_+,3⁽²⁾>_q及态|ψ_-,4⁽²⁾>_q的各对应复几率幅相等亦即C₊^(R)=C_-^(R)和C₊⁽⁰⁾=C_-⁽⁰⁾时,态|ψ_+,3⁽²⁾>_q及态|ψ_-,4⁽²⁾>_q这两种截然不同的多模叠加态光场不仅具有完全相同的压缩条件和压缩特征,而且还具有完全相等的压缩幅度,这种现象就称为“压缩简并”.     

一种新型的多模虚偶相干态光场的等阶N次方Y压缩与等阶N次方H压缩

本文利用新近建立的多模压缩态理论,详细研究了一种新型的多模虚偶相干态光场|Ψ_i,e⁽²⁾>_q的广义非线性等阶N次方Y压缩与等阶N次方H压缩特性.结果发现:1)态|Ψ_i,e⁽²⁾>_q是一种典型的多模非经典光场,当压缩阶数N为奇数时,态|Ψ_i,e⁽²⁾>_q在一定条件下总可呈现出周期性变化的、任意阶的等阶N次方Y压缩效应;当腔模总数q与压缩阶数N这两者的乘积q·N为奇数时,则在一定条件下态|Ψ_i,e⁽²⁾>_q又可呈现出周期性变化的、任意阶的等阶N次方H压缩效应.2)态|Ψ_i,e⁽²⁾>_q的等阶N次方Y压缩与等阶N次方H压缩效应这两者的压缩程度和压缩深度分别与几率幅γ_q^(e)、压缩参数R_j、各模的初始相位φ_j(或者各模的初始相位和 φ_j)、压缩阶数N以及腔模(指纵模)总数q等呈较强的非线性关联,等阶N次方H压缩效应与上述诸参量之间的非线性关联程度要比等阶N次方Y压缩效应的更强.3)多模虚偶相干态光场|Ψ_i,e⁽²⁾>_q与多模偶相干态光场|Ψ_,e>_q及多模复共轭偶相干态光场|Ψ*_,e⁽²⁾>_q这后两者的等阶N次方Y压缩效应和等阶N次方H压缩效应的压缩条件和压缩特性正好相反,这种现象就称为相反压缩.     

高能电子对原子核C12的弹性散射

In this paper, we have calculated the elastic scattering of high energy electrons with nuclei C¹² by phase shift calculation.We take the charge distribution of the nucleus C¹² as following:(1) exponential distribution:ρ(x)=ρ₀θ^-x/a, (2) gaussian distribution:ρ(x)=ρ₀e^(-x2/a2),(3) uniform distribution: ρ(x) ={ρ₀ when 0kR, where a and b are the parameters, and the constant R is the radius of the nucleus C¹². The energy of the electrons is 187 Mev.The result of the calculation shows that the gaussian distribution confirms the experimental result better than the other two kinds of distributions, and gives R=(12)^1/3r₀, where r₀=1.35×10^-13 cm.     

Determination of J/ψ Leptonic Branching Fraction Via ψ(2S)→π+π－J/ψ

Two processes ψ(2S)→π⁺π^－J/ψ,J/ψ→1⁺1^－ and J/ψ→anything are carefully studied to get the J/ψ leptonic branching fractions with the ψ(2S)data at BES/BEPC.The results are B(J/ψ→e⁺e^－)=(5.90±0.07±0.16)% and B(J/ψ→μ⁺μ^－)=(5.96 ±0.08±0.16)%,and B_e/B_μ is estimated to be 0.990±0.018±0.024.Assuming B_e=B_μ,the leptonic branching fraction of the J/ψ is B(J/ψ→1⁺1^－)=(5.93±0.05 ± 0. 16 )%.This result is used to estimate the QCD scale factor ∧(nf/MS) and the strong coupling constant α_s.     

求近似波函数的一种方法

设H为量子体系的哈密顿算符,以算符(λ-H)和(H-λ)^-1作用于近似波函数ψ_k⁽⁰⁾。我们证明了,如果作用得到的函数中φ_k在H的变量的整个区间是连续、有限和平方可积的,则它们是比ψ_k⁽⁰⁾更接近于本征态ψ_k的近似波函数。由φ_k计算H的平均值接近于以{ψ_k⁽⁰⁾}为无微扰态的二级微扰的计算值。用此法计算类氢离子的极化率,得到很好的结果。     

A remark on transition probability

Uhlmann's transition probability P(ψ, φ) of two normal states of a von Neumann algebra M, which is the supremum of |(Ψ, Φ)|² for all possible choices of representative vectors Ψ and Φ of ψ and φ, is shown to be the infimum of (∫d(μ_{ψ, e})^1/2)² for the induced measures μ_{ω, e}(B)=ω(e(B)) (B: Borel set in ℝ, ω=ψ, φ) for all possible projection-valued measures e belonging to M.     

四态叠加多模光场的等幂次N次方H压缩

根据量子力学中的线性叠加原理,构造了由奇、偶相干态光场所组成的一种新型的四态叠加多模叠加态光场|Ψ_o,e⁽⁴⁾Ⅲ〉_q.它是由多模虚奇相干态和多模虚偶相干态这两者的线性叠加所组成的.利用多模压缩态理论详细研究了态|Ψ_o,e⁽⁴⁾Ⅲ〉_q的等幂次N次方H压缩特性.结果发现:当腔模总数q与压缩次数N的乘积为奇数时,若各模初始相位和qj＝1φ_j、态间叠加几率幅γ_o、γ_e以及态间相位差θ_e-θ_o等相关参量满足一定的不同条件时,态|Ψ_o,e⁽⁴⁾Ⅲ〉_q可分别呈现以下非经典效应:i)等幂次N次方H压缩;ii)"半相干态"效应.     

On the Entropy of Schwarzschild Space-Time

In a previous paper by Pollock and Singh, it was proven that the total entropy of de Sitter space-time is equal to zero in the spatially flat case K=0. This result derives from the fundamental property of classical thermodynamics that temperature and volume are not necessarily independent variables in curved space-time, and can be shown to hold for all three spatial curvatures K=0,±1. Here, we extend this approach to Schwarzschild space-time, by constructing a non-vacuum interior space with line element ds ²=e^2λ(r) dt ²?e^?2λ(r) dr ²?r ²(dθ ²+sin² θd? ²), where $\mathrm{e}^{2{\lambda }(r)}=-\frac{1}{2}(1-\frac{r^{2}}{R_{0}^{2}})$ , which matches onto the vacuum exterior Schwarzschild metric in such a way that e^2λ and d(e^2λ )/dr are both continuous at the Schwarzschild radius R ₀=2M. Then we show that the volume entropy is equal to A/4, where $A\equiv 4\pi R_{0}^{2}$ is the area of the apparent horizon, as found by Hawking.     

Probabilistically perfect quantum cloning and unambiguous state discrimination

We consider the N → M probabilistically perfect quantum cloning machine that perfectly produces M faithful copies from N identical input states, where the input states are selected, with prior probabilities η₁and η₂ = 1 − η₁, from a given set of the two linearly independent states |ψ₁〉^⊗ N = (cosθ|0〉 + sinθ|1〉)^⊗ N and |ψ₂〉^⊗ N = (sinθ|0〉 + cosθ|1〉)^⊗ N (θ∈(0,π/2)). We derive the optimal distribution of the success probabilities. When M approaches infinite, the probabilistically perfect quantum cloning can be regarded as a kind of the unambiguous state discrimination, and theoretically provides the upper bound of the unambiguous state discrimination. By using the optimal distribution of the success probabilities of the optimal asymmetric 1 → M probabilistically perfect quantum cloning, we can derive the maximum average success probability of the unambiguous discrimination of two nonorthogonal quantum states |ψ₁〉and|ψ₂〉. As an example, we give the explicit transformation of the optimal symmetric 1 → M probabilistically perfect quantum cloning to copy the two input states |ψ₁〉 and |ψ₂〉.