可导函数的极值点一定是导数的变号零点吗?

<正>1背景2020年出版的人教B版教科书《数学》(选择性必修第三册)指出——"若f′(x_0)存在,则"f′(x_0)=0"是"x_0是y=f(x)的极值点"的必要不充分条件."并进一步说明——"一般地,设函数f(x)在x_0处可导,且f′(x_0)=0.(1)如果对于x_0左侧附近的任意x,都有f′(x)>0,对于x_0右侧附近的任意x,     

两曲线的公切线

<正>我们知道,若直线l切曲线y=f(x)和y=g(x)分别于点P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),则l有两种表示法:y-f(x_1)=f′(x_1)(x-x_1)和yg(x_2)=g′(x_2)(x-x_2),即它们表示同一条直线,展开比较得到方程组{f′(x_1)=g′(x_2),f(x_1)-x_1f′(x_1)=g(x_2)-x_2g′(x_2).这就是     

例谈极值问题转化的策略

<正>函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都大(都小),f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0(f′(x)>0),右侧f′(x)>0(f′(x)<0),就把点a叫函数y=f(x)的极小值(极大值)点,f(a)叫函数y=f(x)的极小值(极大值).可见极值点a处一定有f′(a)=0,但是f′(a)=0的点a不一定为极值点.处理极值问题除了课本上常见的列表定义判断外,还有多     

三次样条插值的收敛性

设f(x)∈C_[a,b],△_n是区间[a,b]的分划 △_n:a=x_0相似文献   

当△=AC—B^2=0时,对二元函数极值的探讨

设二元函数f(x,y)有稳定点P(x_0,y_0),并设f_(xx)(x_0,y_0)=A,f″_(xy)(x_0,y_0)=B,f″_(yy)(x_0,y_0)=C,△=AC-B~。当△=AC-B~2=0时,f(x,y)在点P(x_0,y_0)处是否有极值的问题,一般教科书都未进行过具体地讨论,本文对这一问题进行了初步地探     

三次曲线切线的两个性质

文[1][2]给出了三次函数f(x)=ax~3 bx~2 cx d(a≠0)的对称中心为(-b/3a,f(-b/3a)),受此启发笔者对三次曲线的切线进行了研究,发现了如下两个性质,供读者参考.定理1已知三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),A为曲线上的除对称中心外的任一点,在A点处的切线m交曲线于B,在B点的切线为n,kn,km表示两切线的斜率,则kkmn=4的充要条件是b2=3ac.图1定理1图证设A(x0,y0),∵f′(x)=3ax2 2bx c,∴km=3ax02 2bx0 c.切线m的方程:y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),其中f′(x0)=3ax02 2bx0 c.联立方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),y=ax3 bx2 cx d,解得:x=-2x0-ab,所以B点为(-…     

特取法解有关函数方程

在允许取值范围内赋变量予特殊值,从而使问题获解的方法叫“特取法”,下面谈谈特取法解有关函数方程的几个问题。一、证明函数f(x)的周期性例1设函数f(x)定义在整数集,且满足f(0)=1,f(1)=0,f(x_1 x_2) f(x_1-x_2)=2f(x_1)f(x_2),证明f(x)为周期函数。证明特取x_2=1,可得f(x_1 1) f(x_1-1)=2f(x_1)f(1)=0 再用x_1 2代入x_1且特取x_2=1,可得f(x_1 3) f(x_1 1)=2f(x_1 2)f(1)=0 由上述两式得f(x_1 3)=f(x_1-1) 令x_1=x 1得f(x 4)=f(x) 故f(x)是以4为周期的函数。二、证明函数f(x)的奇偶性例2已知f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y)对于一切实数X、y都成立,且f(0)≠0,     

读“关于二阶导数的教学”一文后

《数学通报》1984年第1期登载叶余本同志所译小寺裕“关于二阶导数的教学”(下简称[1])一文。该文先导出曲线y=f(x)当f′(a)=0时,在x=a口处的曲率是k=|f″(a)|;然后借助坐标轴的平移旋转,来研究f′(a)≠0的点     

一类直线方程求法的探讨及应用

在圆锥曲线中,已知弦的定比分点,求弦所在直线的方程常见解法是利用直线的参数方程及参数的几何意义求解.当分点为弦的中点时,求弦所在直线的方程还有设所求直线斜率为k利用韦达定理及中点条件求出k值或者利用差换法求斜率等方法.这些解法运算量较大,不如下面两种解法简便。一、对称曲线作差法二次曲线f(x,y)=0中,以已知点M(x_0,y_0)为中点的弦如果存在,则弦所在直线的方程为f(x,y)-f(2x_0-x,2y_0-y)=0(*) 证明:设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0,M(x_0,y_0)为已知点,如果曲线f(x,y)=0和     

f(x_0,y_0)的几何意义及应用

设曲线L的方程为f(x,y)=Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0,与点P(x_0,y_0)不在曲线L上时,有f(x_0,y_0)=m≠0。本文研究m的几何意义,然后指出其在解题中的应用。 1 f(x,y)=Dx+Ey+F 定理l 设点P(x_0,y_0)到直线L:f(x,y)=0的距离为d,则|f(x_0,y_0)|=d·(D~2+E~2)~(1/2)。此定理的正确性明显,证明从略。     

浅谈曲线系方程的应用

设f(x,y)=0,g (x y)=0 是两曲线的方程,求证方程f(x y)+λg(x y)=0表示经过这两条曲线的交点的曲线。这是十年制学校高中第二册复习题六的第一题的第(4)小题它的正确性,我们已经证明,还可证明其逆命题也成立。我们把方程f(x,y)+λg(x,y)=0(λ为任何实数)叫做经过两曲线f(x,y)=0和g(x,y)=0的交点的曲线系方程。(不包括曲线g(x,y)=0) 直线系方程和圆系方程是曲线系方程的两个     

函数极值存在的一个充分条件

函数极值的必要条件是众所周知的,然而,无论是高中数学教材还是一般的工科高等数学教材,对函数极值的充分条件均没有讲解透彻,在掌握了第二充分条件f′(x0)=0且f″(x0)≠0后,自然会想到,对于f′(x0)=0且f″(x0)=0的情况又该如何,这个问题导致许多高中学生和高校学生对此类问题的疑惑与迷茫。笔者对此进行了探究,过程如下。取一组图象熟知的幂函数,考察它们在x=0处的导数、极值情况.函数f(x)-x5-x4-x3-x2x x2x3x4x5x=0时的极值无极大无极大无极小无极小无x=0时的导数f′(0)=…=f(4)(0)=0,f(5)(0)≠0f′(0)=f″(0)=f(0)=0,f(4)(0)<0f′(0)=f″…     

导数应用的一个探索

求作初等曲线的切线,方法较多,文章屡有发表。本文试图从导数的应用出发,另辟道路,作出新的尝试。可供中学教师作为辅导学生课外活动时参考。 函数y=f(x)在点x_0处的导数f′(x_0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点x_0处的切线的斜率。     

2阶泛函微分方程的周期边值问题

本文考虑如下的泛函微分方程边值问题:x″(t)=f(t,x_t,x′(t))(0≤t≤b),x_0=x_t,x′(0)=x′(b),利用基于度理论的一定不动点定理,得到了以上边值问题有非负解的某些充分条件。     

例析求曲线切线的两种提法

在人教版B版书选修2-2第11项有这样的一段话:“由导数的几何意义可知,曲线y=f(x)过点(x0,f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)”.由此段话可知,过点P(x0,f(x0))的切线只有一条,真的是这样吗?我们不妨举例分析一下:例1过点P(1,1)作曲线y=x3的切线,求此切线方程.错解:由于P(1,1)在曲线y=x3上,则P(1,1)就是切点.易求得斜率k=f′(1)=3,从而切线方程为y=3x-2.分析上述解法漏解了.尽管P(1,1)在曲线上,但是切点是否只有一个,即过点P作切线是否只有一条,答案是不一定的.我们应该设出切点Q(x0,y0),则y0=x03,由y′=3x2得斜率k=3x02,从而切线方程为y-y0=…     

关于函数在一点附近单调的条件问题

讨论函数f(x)的单调性是导数应用的重要部分,我们现有的微积分教材皆有如下定理: 定理1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导,且f′(x)>0(或f′(x)<0),则f(x)在(a,b)内为增加函数(或减少函数)。利用拉格朗日中值定理来证明定理1是显然的,人人能懂,但是若问,f′(x_0)>0(或f′(x_0)<0)时,f(x)在点x_0处是否单调函数,人们理解就不一致了。为了回答这一问题,看下边定理: 定理2.设函数f(x)在区间(a,b)内一点x_0处可导,且f′(x_0)>0(或f′(x_0)<0),则f(x)在点x_0处为增加函数(或减少函数)。证明:因f(x)在点x_0处可导,即极限     

在共振点附近的一类二阶泛函微分方程的解析解

在复域C内研究一类包含未知函数迭代的二阶微分方程x″(z)=G(z,x(z),x~2(z),…,x~m(z))解析解的存在性.通过Schr(?)der变换,即x(z)=y(αy~(-1)(z)),把这类方程转化为一种不含未知函数迭代的泛函微分方程α~2y″(αz)y″(z)-αy′(αz)y″(z)= (y′(z))~3G(y(z),y(αz),…,y(α~mz)),并给出它的局部可逆解析解.本文不仅讨论了双曲型情形0<|α|<1和共振的情形(α是一个单位根),而且还在Brjuno条件下讨论了共振点附近的情形(即单位根附近).     

反函数函数的一种几何解释

设函数 y=f ( x)的反函数存在 ,且 f′( x)≠ 0 ,则其反函数 x=f- 1( y) (或记 x=φ( y) ,此处φ=f- 1)的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线 ,如下图。关于函数 y=f ( x)在点 x处的导数 f′( x) ,其几何意义是曲线 y=f( x)在点 ( x,y)处的切线 l关于 x轴的斜率 ,从而有 dydx= f′( x) =tanα,其中α是切线 l与 x轴正向的夹角 ,同时记切线与 y轴正向夹角为 β。关于函数 x=f- 1( y) ( x=φ( y) ) ,在相应点 y处的导数为 φ′( y) ,其几何意义是曲线 x=f- 1( y) ( x=φ( y) )在点 ( x,y)处的切线 l,关于 y轴正向的…     

方程y″(x)+p(x)y(x)=y(x)解的有界性与振动性

设P(x)、f(x)∈C~1[0,+∞),在[0,+∞)上,P(x)>0,P′(x)≤0且(?)P(x)=ρ>0,intejral form 0 to +∞。|f′(t)|dt<+∞。我们给出了方程y″+P(x)y=f(x)解的有界性与振动性结果。     

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b.则a b=m.经类比探讨,笔者得到如下结论.定理若方程x·f(x)=m和x·f-1(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.该定理的证明用到类似文[2]的引理:若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为P(x0,y0),则点P′(y0,x0)一定是函