利用中线长公式证明三角形重心的一个性质

<正>三角形的重心有许多性质,比如重心是中线的一个三等分点,重心与三角形三顶点的连线把三角形的面积三等分等等.本文将在此基础上利用三角形的中线长公式证明重心的另一个重要性质.三角形的中线长公式:如图1,AD为△ABC的中线,则AD²=1/2AB2=1/2AB²+1/2AC2+1/2AC²-1/4     

一个基本图形的应用

我们知道:三角形的中线将三角形的面积等分.即:如图1,AD是△ABC的边BC上的中线,则△ABD与△ACD的面积相等(我们将图1称为基本图形),据此,可以     

三角形的一条性质及其应用

在三角形中,有如下一条常用的性质:图1如图1,P为△ABC内任一点,射线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF交AP于点G.则AP·DG AG·DP=AP·DG AD·PG=2.证明如图1所示,由面积关系可得AG PG=S△AEF S△PEF=S△AEF S△PAF·S△PAF S△PEF=EB PB·AC EC=S△EBC S△PBC·S△ABC S△EBC=S△ABC S△PBC=AD PD.于是AG·PD=AD·PG=(AP+PD)(AP-AG)=AP2+AP·PD-AP·AG-AG·PD=AP(AP+PD-AG)-AG·PD=AP·DG-AG·PD,即AP·DG=2·AG·PD.所以AP·DG AG·PD=2.同理AP·DG AD·PG=2.故AP·DG AG·PD=AP·DG AD·PG=2.注(1)此处的证明是联想到“A、G、P、D P交点为     

双曲线的一个性质

<正>本文拟介绍一个关于双曲线的性质.首先看如下性质:如图1,若AD∥BC,则S△ABC=S△DBC;反之,若S△ABC=S△DBC,则AD∥BC.下面利用这个性质给出双曲线的一个性质:情形1如图2,点M、N是双曲线y=k/x(k>0)第一象限     

三角形中线的魅力

<正>三角形的中线性质是初中数学几何中求面积常用的知识点,中线的特殊魅力在于它可以将三角形分成面积相等的两部分,除了中线外,下面还将对三角形面积的n等分线进行介绍.(1)基本图形如图1,AD是△ABC的中线,证明:     

三角形的Brocard点的两个特征性质

设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1　设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是　 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明　 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC…     

构造全等三角形解题举例

<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE     

三角形“三心”的完美统一

三角形的重心、垂心、内心在解三角形中占有重要的位置,它们内容不同,性质各异,但它们在下面的表述中达到了完美的统一.如图1,在△ABC中,AD、BE、CF分别是边BC、AC、AB上的中线,相交于O,那么,O叫△ABC的重心.由重心的性质,得OD/AD=1/3;OE/BE=1/3;OF/CE=1/3,     

三角形等圆线的性质

如图 1 ,D为△ ABC边 BC上的点 ,若△ ABD与△ ADC内切圆相等 ,则把线段 AD叫做△ ABC的等圆线 .文 [1 ]论证了等圆线的存在性和唯一性 ,本文给出等圆线的几条性质 .下面的讨论中 ,p、p1、p2 分别是△ ABC、△ ABD、△ ADC的半周长 ,γ、γ′分别是△ ABC与△ ABD、△ ADC的内切圆半径 ,BC= a,CA =b,AB =c.定理 1　若 AD是△ ABC的等圆线 ,则AD2 =p( p - a) .　　证明　如图 1 ,由S△ ABD S△ ADC=S△ A BC,得　 r′p1 r′p2 =rp即　 r′r=pp1 p21由图 1易知p1 p2 =p AD 2　　　　 图 1若 I是△ ABC内心 ,…     

用面积性质解竞赛题

<正>一、性质图1如图1,D是△ABC的边BC上的任意一点,此时,△ABD和△ACD有公共的顶点A,它们的边BD和CD在同一直线,且这边上的高相等,我们称之为"共底等高三角形",于是可得S△ABD S△ACD=BD CD.利用"共底等高三角形"的这个面积性质来解决一些竞赛题,可以达到事半功倍的效果.二、解竞赛题1.用面积比求边长例1(19届江苏省竞赛题)如图2,△ABC的边AB=30cm,AC=25cm,点D、F在AC上,点E、G在     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

浅析面积等分线的作法

"等底等高的三角形面积相等",这个性质在作图形面积等分线时很有用,比如:三角形的中线把三角形分成等底等高的两个三角形,分得的两三角形面积相等,这条线就是三角形面积等分线.如图1,D为BC中点,AD就为△ABC的一条面积等分线.应用一、过三角形一边上任一点作三角形的面积等分线     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

教材多次渗透的好方法——面积法

学习数学掌握解题方法很重要,解题方法对头则事半功倍,面积法就是一种常用的解题方法,教材中多次渗透,下面让我们走进教材去看一看.图1例1(人教版七年级数学下册第76页第7题)如图1,△ABC中,AB=2cm,BC=4cm.△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示:利用三角形的面积公式.)分析根据提示S△ABC=12AD.BC=12CE.AB,又AB=2cm,BC=4cm.所以21AD×4=21CE×2,变形得AD∶CE=1∶2.提示的目的就是让我们使用面积法解题,也让学生初步接触面积法.例2(人教版八年级数学下册第78页第8题)在△ABC中∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB;(3)求高CD.分析(1)S△ABC=21AC.BC=21×2.1×2.8=2.94(cm2).(2)根据勾股定理易求得AB=3.5cm.(3)根据面积得S△ABC=12AB.CD=12×3.5×CD=2.94,解得CD=1.68(cm).这里虽然没有提示,然而通过问题在一步一步地引导着我们使用面积法求斜边上的高.而若不用面积法求CD,此题的难度就太大了.图2例3(人教版八年级数学下册...     

一道赛题的简解

题　△ ABC的面积是 1 cm2 ,如图 1 ,AD= DE =EC,BG=GF =FC,求阴影四边形的面积 .这是刚刚结束的第十三届“希望杯”决赛的一道试题 .今给出比标答更简洁的两种解法 .解法 1　如图 1 ,依题设易知 S△ BCE =S△ ACF =13,连 EF,则 S△ EFC =13S△ BCE =19.设 S△ PEF =t,则 S△ AFES△ AFB=S△ PFES△ PFB(共底三角形面积比等于高之比 )即　 29∶ 23=t:( 29- t) ,解得 t=11 8( cm2 ) .连 EG,设 S△ BGN =y,则 S△ AGES△ AGB=S△ NGES△ NGB,即　 ( 23- 29)∶ 13=( 19- y)∶ y,解得 y =12 1 ( cm) .∴　 S阴 =…     

一个三角形性质的应用

<正>如图1,线段AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则AD,BE,CF交于一点O,即"三角形的三条角平分线交于一点".这是三角形的一个性质,在解题时,容易被"忽略",但应用这一性质可以有效解决一些有关三角形角平分线的问题.例1如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P为其底角平分线的交点,将△BCP沿CP折叠,使B点恰好落在AC边上的点D处,若DA=DP,求∠BAC度数.     

三角形外角平分线三角形面积的性质

如图1,△ABC是一任意三角形,△DEF图1是它的外角平分线三角形,记△ABC的三边长为a、b、c,半周长为p,面积为S0,外接圆半径为R,内切圆半径为r,旁切圆半径为ra、rb、rc,△DEF的面积为S.经过探讨,笔者现已得到:定理S=2pR.证明因(p-a)(p-b)(p-c)=r2p,ab bc ca=p2 4Rr r2,得p-1a p-1b     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

对三角形的一个性质的再探究

文[1]提出了三角形的一个“性质”并给出了证明,文[2]又给出了“性质1”并且也给出了证明.受它们的启发,本文也将有关性质进一步探究推广.设P是△ABC所在平面内任意一点(不在△ABC三条边所在直线上),S△ABC表示△ABC的面积,λ1=S△PBCS△ABC,λ2=S△PCAS△ABC,λ3=S△PABS△ABC     

“同底等高的三角形面积相等”的应用

教版八年级下册100页习题8题:如图1直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?显然S△ABC=S△DBC,因为这两个三角形同底等高.再画当然可以画出很多,只需在l1任取一点与B、C相连结即可.运用这一结论可以解决一类求面积问题.