几何赛题最值探讨

<正>几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积等)的最大值或最小值;求几何最值常用的几何性质有:(1)斜边大于直角边;(2)两点之间线段最短;(3)垂线段最短;(4)三角形任两边之和大于第三边.     

关于三角形的三边关系

<正>三角形是由三条首尾相接的线段组成,但不是任意三条线段都能围成三角形.在具体的解题过程中,经常发生漏解、多解、错解等情况.本文着眼于三角形三边关系的简化,让思路明朗化,做到轻松解题.三角形的三边关系:两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.用a,b,c表示三角形的三边,由"两点之间,线段最短"得:     

盘点近几年中考中与线段相关的一类最值问题

近年来,与线段相关的一类最值问题在各地市中考试卷中大量涌现,并成为近几年中考的热点题型之一.这类问题对知识和技能要求较高,能够考查学生分析问题和解决问题的能力与创新意识.解决此类问题主要借助以下3个知识点:(1)两点之间线段最短;(2)三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之     

架构在抛物线上的最值——两道中考试题及变式研究

初中阶段,涉及到"最"值问题的定理、性质有三个:1.两点之间,线段最短,以及其派生出来的三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;2.二次函数的最大值和最小值;3.垂线段最短.纵观近年相关中考题,抛物线中的最值问题,大约涉及     

灵活应用三角形三边的关系

<正>根据"两点之间的所有连线中,线段最短"可得到三角形三边之间的关系,三角形中任何两边的和大于第三边,再根据不等式的性质,得到三角形中任何两边的差小于第三边.灵活应用三角形三边的关系,能帮我们迅捷地解答一些三角形边的有关问题.     

初中几何中线段的最小值问题

<正>几何中线段的最小值问题常作为中考的考点,解题依据主要有:"两点之间线段最短"、"垂线段最短"和"圆外一点与圆心的连线与圆相交,这一点与交点的线段就是点到圆的最短线段"等几何基本事实和推论,但运用时往往会将其转化,构造相等线段(全等三角形)和辅助圆来解答.1直接利用基本事实和推论(1)利用"两点之间线段最短"例1如图1,在菱形ABCD中,AB=10,∠A=120°,点P,Q分别是线段BC、CD的中点,点K为线段BD上任意一点,求PK+QK的最小值.分析运用"两点之间线段最短"时,往往运用轴对称,因为点K为线段BD上任意一     

最短路线问题求解

<正>在数学上,求最短线路的问题,我们称之为"最短线路问题".在几何的学习中,对这个问题的解决可尝试着从以下几方面着手解决.1.利用三角形的三边关系求解三角形两边之和大于第三边,在求解最短线路问题中也很有用.例1如图1,某部队在灯塔A的周围进行爆破,A的周围3km内的水域为危险水     

清晰理解数学模型 合理探求线段最值

<正>笔者整理了近几年中考中关于"线段最值"的试题,归纳出三种数学模型.从"形"的角度构造"三角形两边之和大于第三边"和"垂线段最短"这两种几何模型,以及从"数"的角度建立函数模型.现举例加以分析.模型一、运用"三角形两边之和大于第三边"模型     

运用直线与圆位置关系研究一类几何最值问题

<正>最值问题是几何综合题中的常见问题,近年来在中考数学中难度有一定程度的降低,可是很多同学仍不得要领,其实几何最值往往可以归结到两个基本原理上,一是两点之间线段最短,比如求两条线段长度和的最小值时的"将军饮马"模型;二是垂线段最短,本文将借助于直线与圆位置关系使用此原理.     

圆中线段不等关系证法

证明圆中线段不等关系的常用方法有: (1)将相关线段“聚”到同一个三角形中,利用“在一个三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”或利用“在一个直角三角形中,斜边大于直角边”证. (2)计算相关线段的长,再比较大小. 下向举例说明. 例1 求证:直径是圆中最长的弦.     

例析“辅助圆”的作用

<正>部分初中几何综合题,如果能根据题目的本质特征恰当构造辅助圆,既能巧妙地利用"同弧所对圆周角是圆心角的一半,同弧所对的圆周角相等"求角,也能利用"圆外一点与圆上各点之间的最长距离是这点到圆心的距离与半径的和,圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差",从而突破线段最值问题.     

由余弦定理所想起的

余弦定理除了能“由三角形的两边长及其夹角求第三边长”及“由三角形的三边长求三内角”以外,还能解“已知三角形的两条边长及其中一边的对角求第三边”. [例1]如图1,作△ABC,使BC=4,CA=3,∠B=π/6,并求AB边的长. 作法(1)作线段BC=4; (2)以C为圆心,作半径为3的圆;     

巧添辅助圆,求解相关最值问题

<正>在动态问题中求解最值是近几年中考的一大热点.本文结合部分与圆相关的最值问题具体谈谈如何巧添辅助圆,顺利求解最值问题.例1如图1(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF长的最小值是     

“形”中的最值

说到初中数学中的“最值”(最大值或最小值),往往会让人联想到从“数”的角度去建立函数关系式,求函数的最大值或最小值.而有时从“形”的角度去研究最值则显得更加直观、简洁在几何中与“最短”、“最长”相关联的知识点有:“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”等.     

过圆内点最短的弦

<正>在学习圆的基本知识时,其中一个基本概念就是"弦"——连结圆上任意两点的线段.在圆中最长的弦是直径,没有最短的弦,如果经过圆内固定的一点(不是圆心),必然可以将这个点与圆心相连找到一条直径(最长的弦),那过这个固定的点有没有最短的弦呢?通过实际作图可以发现经过这个点且与直径垂直的弦是最短的弦,下面就来解释一下     

“阿式圆”助解最值问题

<正>两点之间线段最短,利用这个性质求解最小值问题在我们解题时候常常出现.我们最熟悉不过的模型有将军饮马模型,但是运动的点都在直线上.本文改变点的运动轨迹,让点在圆上运动,寻求此类题解题的策略——"阿式圆".1原理呈现已知在平面上两点A,B,则所有符合PA/PB=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,简称"阿式圆".     

关于几何图形中求最小值问题

<正>几何图形中求最小值的依据分别为:⑴两点之间线段最短.⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,以下简称"垂线段最短".一、应用"两点之间线段最短"求最小值问题.1.利用轴对称例1如图1,在矩形ABCD中,AB=     

直线与圆

直线与圆是解析几何中最简单而变化丰富、应用广泛的内容之一 ,同时也是应用解析法解决平面几何问题的基础 .本讲主要突出如下三个问题 :1)直线和圆的方程 .2 )直线与直线、直线与圆的位置关系 .3)直线系与圆系的方程 .例 1　 (第 10届希望杯邀请赛试题 )过点Ｐ(6 ,8)作两条互相垂直的直线ＰＡ、ＰＢ ,分别交ｘ轴正半轴于Ａ ,ｙ轴正半轴于Ｂ .1)求线段ＡＢ中点的轨迹 ;2 )若Ｓ△ＡＯＢ=Ｓ△ＡＰＢ,求ＰＡ与ＰＢ所在直线的方程 .讲解　对于第 1)小题 ,常见的思路有两种 :一是利用ｋＰＡ·ｋＰＢ=- 1建立线段ＡＢ中点的轨迹方程 ;二是引入斜率…     

利用最简几何不等式求最值

几个基本几何不等式如下 :(1)两点间距离最短 ;(2 )三角形两边之和大于第三边 ,两边之差小于第三边 ;(3)点到直线的距离最短 .把这几个基本几何不等式运用到数学中的一些最值问题中 ,将使整个解题过程令人耳目一新 .例 1　如图 1,若 A(3,2 ) ,F为抛物线y2 =2 x的焦点 ,P为抛物线上任意一点 ,求 :| PF| | PA|的最小值 ,以及取得最小值时 P的坐标 .解　由条件可知 ,抛物线的准线 l的方程为 x=- 1.设动点 P(x,y)在准线上的垂足为M(- 1,y) .∵　　 | PF| =| PM| ,∴　要求 | PF| | PA|的最小值 ,即是求 | PM| | PA|的最小值 .如…     

构造“圆和圆外一定点”模型求线段最值

<正>如图1,点P为⊙O外一点,连接PO并延长,交⊙O于点A,B,则连接点P和⊙O上任意一点所得的线段中,PA最短,PB最长.结论略证如下:如图2,点C为⊙O上任意一点(不和点A,B重合),连接CO,由三角形三边关系知道:PC+CO>PO,又PO=PA+AO,CO=AO,所以PC+CO>PA+AO,即PC>PA.由三角形三边关系知道:PO+CO>PC,又PO+CO=PB,所以PB>PC.当C为⊙O上任意一点(可以和点A,B重合)时,便有结论 PA≤PC≤PB,利用这一