关于weierstrass逼近定理的几点注记

Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,定理阐述了闭区间上的连续函数可以用一多项式去逼近.将该定理进行推广:即使一个函数是几乎处处连续的,也不一定具有与连续函数相类似的逼近性质,但是一个处处不连续的函数却有可能具有这样的性质.证明了定义在闭区间上且与连续函数几乎处处相等的函数具有类似的逼近性质,并给出了weierstrass逼近定理的一个推广应用.     

富里埃级数的典型平均(Ⅰ)

<正> 设 f(x)是一以2π为周期的周期连续函数.关于用 f(x)的富里埃级数的典型平均来逼近 f(x)的问题,有不少工作散见在国外杂志.另一方面,对于局部逼近问题还不曾见到什么论文.本文的目的是在详细地讨论典型平均逼近问题和局部逼近问题.     

函数|x|在L空间中用插值样条的逼近

对|x|用有理函数的逼近亦有一些工作. 函数|x|是连续函数,但其导数在x=0处间断.讨论对|x|的样条逼近,对于一般导数有间断的函数用样条的逼近问题亦是有兴趣的.Golomb讨论了L~2中用等距周期     

切比雪夫定理的初等证明

记 Tn( x) =cos( narccosx) ,这是一个首项系数为 2 n- 1的关于 x的 n次多项式 ,称为切比雪夫多项式 .在函数逼近论中 ,切比雪夫用连续函数的方法证明了一个基本结果 :定理 1 (切比雪夫 )　记Ωn={f( x) | f( x) =xn+ an- 1xn- 1+… + a1x+ a0 ,a0 ,a1,… ,an- 1∈R},则对任意 f( x)∈ Ωn,都有 max- 1≤ x≤ 1| f( x) |≥ 12 n- 1,且等号成立当且仅当 f( x) =12 n- 1Tn( x) .容易证明定理 1等价于下面的 :定理 2　记Mn={f ( x) | f ( x) =anxn+… + a1x+ a0 ,a0 ,a1,… ,an∈ R ,且当 - 1≤ x≤ 1时 ,| f ( x) |≤ 1 },则对任意 f( x)∈ …     

MИРAКBЯН奇异积分算子与无界连续函数逼近

1 引言 无界连续函数,特别是大范围无界连续函数的逼近理论的重要意义如所知是无容置疑的@一个行之有效的方法称作扩展乘数法,它由徐利治和王仁宏教授首先提出[1-3],之后得到很大发展[4,5]@本文在扩展乘数法中引入经典"试探函数”1,x,x2,构造了一个线性正算子能否改造为逼近任意无界连续函数的判别定理,并利用该定理建立了变形的MИPAКBЯН奇异积分算子的收敛性定理,由此可以很容易地得到许多有价值的结论.实例分析表明,这种结合既有理论价值又有实际意义     

磨光函数的一些精确估计式

黄文谦在[1]中对磨光逼近作了研究,得到了磨光函数误差的几个结果.由[1]中定理1和定理2可知:不管函数f(x)的可微次数多高,f(x)对于f(x)的逼近度饱和在O(h~2).本文对函数类f(x)∈C~2的磨光f_k(x)作进一步推讨,得到渐近展开式及一些精确估计式.     

论广义的Канторович,Л.В.多项式及其渐近行为

§1.引言 1962年匈牙利著名数学家Freud,G.来中国讲学,作者提了一个关于非周期连续函数用线性正算子来逼近的问题,Freud,G.说:“这是他长期研究的方向。”作者解决了这个问题,研究了涉及到点x在给定闭区间上的位置的逼近,得到了Freud,G.所期待的结果。本文发展了文中的方法,研究非周期连续函数用线性正算子或线性算子来逼近,通过精巧的计算,证明了一个有趣的等式(定理2),定理2给出了函数类W~(2[3])在C空间中用线性正算子来逼近的偏差的精确值。     

一类插值多项式算子与无界函数逼近

将经典“试探函数组”1,x,x^2应用于扩展乘数法,建立了一个判别线性正算子能否改造为逼近任何无界连续函数的充要条件。利用该条件给出了一类变形的插值多项式算子的收敛性定理,得到了具有一般性的结论。     

关于样条函数

关于用样条函数逼近连续函数,有不少文献和专著(如[1],[2])。 关于误差估计,也有不少工作,亦有一些学者用高阶连续模对误差进行估计,例如:Nitche在[3]中证明了: 设f(x)是(-∞,∞)以1为周期的连续函数,J_hf是以等分节点{h_t},i=0,±1,     

用非单调函数如何进行换元积分

<正> 四川大学数学系高等数学教研组所编写的高等数学(物理专业用)中,关于定积分的换元定理是如下叙述的:“定理:若f(x)是〔a,b〕上的连续函数,通过具有连续导数的单调函数x=(?)(t),使两个     

关于Timan定理的一点注记

本文研究了连续函数的最佳逼近多项式的点态逼近性质.通过一个具体函数的连续模估计,得到最佳逼近多项式的点态逼近阶估计,并且存在连续函数使得最佳逼近多项式能够满足Timan定理.     

用代数多项式逼近具有可变光滑性的函数

曾经讨论过用整函数逼近具有可变光滑性的函数,得出与Jackson定理和Bernstein定理相类似的结果. 本文讨论用代数多项式逼近具有可变光滑性的函数.设f(x)在[—1,1]上连续并且满足条件     

关于“拉特马吼级数表示的函数”一文中一个定理的简单证明和推广

王斯雷在[1]中建立了下述定理1。但是他的证明似乎太长,本文指出,这个定理只需用初等微积分的方法就可以很简单地证明出来。用新证明的类似方法我们还可以得到定理2及定理3。定理2将原定理中F(x)连续的条件减弱为近似连续,定理3又在定理2的基础上把定理1进一步推广。定理1.设F(x)是[0,1]上的连续函数,级数     

对“论广义的Канторович,Л.В.多项式及其渐近行为”一文的几点注记

在[1]中,曹家鼎讨论了用线性正算子逼近连续函数,给出一些函数类逼近上界的估计,该文中主要结果是 定理A 设A_n是一列C[a,b]C[a,b]的线性正算子,A_n(1,x)=1,则当x∈[a,b]时。 _n(w~2,x)=1/2A((t-x)~2,x), (1) 其中 如果再设A_n(t,x)=x,则     

再论函数的非周期性

关于函数的非周期性,在文[2]中证明了一大批所谓复合正弦函数如sinex,sinln(x2 4)等为非周期函数,但如果limx∞f'(x)=k(常数),文[2]的定理就无能为力了,本文将部分解决上述问题.为简单起见如无特别声明,本文所说函数仍设为定义在R上的连续函数,同时我们还引进渐近曲线概念:定义对于定义在R上的函数f(x),g(x),若limx∞|f(x)-g(x)|=0,我们称f(x)为g(x)的渐近曲线,当然g(x)也是f(x)的渐近曲线,记为f(x)～g(x).我们有以下结论定理1设f(x)～g(x),且g(x)和f(x)都是周期函数,则有f(x)≡g(x).我们先证如下引理.引理任意给定两个正实数ω1和ω2,…     

共正逼近的特征性及强唯一性

Passow和Taylor在[1]中对没有变号区间的连续函数建立了共正逼近交错定理;同时指出,对一般情形(包括有变号区间的连续函数)建立交错理论,相当困难.随后史应光在[2]中对一般情形描述了在被逼近连续函数的变号点处导数非零的最佳共正逼近的特     

局部Jarník-Besicovitch定理的一个简单证明

任意的无理数x,其无理指数δx∶=sup{δ≥0∶|x-pq-1|≤q-2δi.o.pq-1}衡量x可以被有理数逼近的程度.经典的Jarník-Besicovitch定理表明,对于任意的δ≥1,集合{x∈R∶δx≥δ}的Hausdorff维数为δ-1.Barral和Seuret[1]考虑该定理的局部化问题,证明对于任意的连续函数f∶R→[1,+∞),集合{x∈R∶δx≥f(x)}的Hausdorff维数为(inf{f(x)∶x∈R})-1.本文从经典的Jarník-Besicovitch定理出发,利用连分数的理论给出局部Jarník-Besicovitch定理一个简短的证明.     

离散性Бернштейн多项式逼近连续函数的估计

1.关于本文结果大家知道1912年由所首创的著名多项式可以一致逼近定义在闭区间[0,1]上的连续函数f(x)。 1935年,Popovicint就f(x)以B_n(x)来逼近时作出了其逼近階(Order)的一个很好的估计,他的结果是这儿表示区间长为的f(x)的连续模 1956年,徐利治-王在申提出了可用多项式的次数与插点不一致的办法来逼近连续函数f(x),有所谓“离散性”的多项式     

H(ω)类函数的CAUCHY型积分的边值定理

对于Cauchy型积分,作者在文[1]中建立了下面的边值定理。 定理1 设L为平面上的逐段光滑的封闭曲线,取定正向(如反时针方向),φ(τ)是定义在L上的连续函数,其连续模为ω(φ,L;x),满足Dini条件:     

凸函数的双参数平均不等式的新证明

利用 Tchebycheff积分不等式和积分形式的 Cauchy中值定理证明了下列结论 :设 f(x)是 [a,b]上的正连续函数 ,且在 (a,b)内可微 ,若 f′(x)单调递增 ,则对任意的 p,q,有 Mp,q(f) 相似文献