中学课本中的一个方程等价性问题

高中课本《平面解析几何》第１３１页例４是“化圆锥曲线的极坐标方程ρ＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ为直角坐标方程”，解题时涉及到方程ｘ２＋ｙ２＝ｅ（ｘ＋ｐ）（１）与两边平方后所得方程（１－ｅ２）ｘ２＋ｙ２－２ｅ２ｐｘ－ｅ２ｐ２＝０（２）的等价性问题．课本中有这样...     

圆锥曲线的两个性质

本文给出了圆锥曲线的两个共性，它使曾在许多书刊中出现的若干结论都为其特例．引理关于ｘ，ｙ的二元二次方程（１－ｅ２）ｘ２＋ｙ２－２ｐｘ＋ｐ２＝０（ｐ＞０，ｅ＞０）①当ｅ＝１时表示抛物线；当０＜ｅ＜１和ｅ＞１时分别表示以（ｐ１－ｅ２，０）为对称中心、以ｘ...     

浅谈公式e~（iπ）十1＝0中的特殊数

浅谈公式ｅ~（ｉπ）十１＝０中的特殊数＊马恩泓（盐城师范专科学校）数ｅ和π是高等数学中两个最重要的特殊数。它们来自不同的领域，但与数ｉ、１、０有着一＊个绝妙的关系式，即ｅ’”＋１＝０（１）不少教本和专著为我们提供了有关ｅ和；ｒ的丰富史实，其中不少与高?..     

e的无理性的初等证明

１６１４年纳皮尔发明了对数,１６２４年英国的卜瑞格斯真正认识到对数可以大大简化计算并制作对数表,同时出现了以ｅ为底的自然对数,１７３７年欧拉证明了ｅ是一个无理数,１８７３年厄米特证明ｅ是超越数,本文仅用一条与微积分有关的：常识（Ａ）　ｅｘ＝１＋ｘ１！＋ｘ２２！＋ｘ３３！＋…＝∑∞ｋ＝０ｘｋｋ！给出ｅ的无理性的一个极其简单的初等证法;证明　设ｅ＝ｑ／ｐ是一个有理数,则　Ａ＝ｑ！∑ｑｋ＝０（－１）ｋｋ！－１ｅ＝∑ｑｋ＝０（－１）ｋｑ！ｋ！－ｐ（ｑ－１）！是一个非负整数;另一方面,据（Ａ）,１ｅ＝ｅ－…     

施密特(Schmidt)正交化的几何意义

本文给出施密特（Ｓｃｈｍｉｄｔ）正交化方法的几何解释,以帮助学生弄懂施密特正交化方法的指导思想,以便于牢固掌握之．定理　从ｎ维欧氏空间Ｖ的任意一组基ａ１,ａ２,…,ａｎ出发,都可（经施密特正交化方法）得到Ｖ的一组标准正交基ｅ１,ｅ２,…,ｅｎ;施密特正交化方法为：首先由ｅ１＝ａ１｜ａ１｜来决定ｅ１,令ｂｉ＝ａｉ－（ａｉ,ｅ１）ｅ１－（ａｉ,ｅ２）ｅ２－…－（ａｉ,ｅｉ－１）ｅｉ－１,并令ｅｉ＝ｂｉ｜ｂｉ｜（ｉ＝２,３,…,ｎ）,于是便可得到Ｖ的一组标准正交基ｅ１,ｅ２,…,ｅｎ．当ｎ＝３时,上述…     

EXISTENCE OF THE UNIFORMLY ULTIMATE BOUNDED SOLUTIONS AND PERIODIC SOLUTIONS

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＣｏｎｓｉｄｅｒａｔｈｉｒｄｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍｉｎｔｈｅｆｏｒｍｘ…＋Ｆ（ｒ）ｘ¨＋Ｇ（ｒ）ｘ·＋Ｈ（ｒ）ｘ＝ｅ（ｔ），（１）ｗｈｅｒｅＦ（ｒ）＝１－ε［１＋ｋｎ（ε）ｒ２］，Ｇ（ｒ）＝１...     

OSCILLATIONS OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH IMPULSES

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎｔｈｅｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｉｍｐｕｌｓｅｓａｓ（ｒ（ｔ）ｘ′）′＋ｆ（ｔ，ｘ）＝０，ｔ≥ｔ０，ｔ≠０，ｋ＝１，２，…，ｘ（ｔ＋ｋ）...     

部分线性模型中估计的收敛速度

考虑回归模型（Ⅰ）：其中（ｘ＿ｉ，ｔ＿ｉ）是固定非随机设计点列，ｘ＿ｉ＝（ｘ＿（ｉｌ），…，ｘ＿（ｉｐ））＇β＝（β＿１，…，β＿ｐ）＇（ｐ＞１），ｇ是定义在［０，１］上的未知函数，β是未知待估参数，０＜ｔ＿ｉ＜１，ｅ＿ｉ是ｉ．ｉ．ｄ．随机误差，且Ｅｅ＿ｉ＝０，Ｅｅ＝σ￣２＜∞。基于ｇ的估计取一类非参数权估计（包括常见的核估计和近邻估计），我们讨论了β的最小二乘估计及ｇ的估计的最优强弱收敛速度。     

POSITIVE SOLUTIONS OF SINGULAR SUPERLINEAR SECOND ORDER BOUNDARY VALUE PROBLEMS

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＣｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｘ″＋ｐ（ｔ）ｆ（ｘ）＝０，ｔ∈（０，１），（１）ａｘ（０）－ｂｘ′（０）＝０...     

一个加强的Carleman不等式

建立如下权系数的不等式：１＋１ｍｍ≤ｅ１－１－２／ｅｍ（ｍ＝１，２，…），这里，１－２／ｅ＝０．２６４２４１１＋为最佳值．从而得到一个加强的Ｃａｒｌｅｍａｎ不等式．