向量及其运算

向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介．在引入向量的坐标表示后，可以实现向量运算代数化，将数与形有机地结合起来，许多几何证明问题就可以通过代数（向量）运算得以解决，这也是我们学习向量的目的之一．利用平面向量基本定理，可以将直线型的平面图形表示为某些向量的线性组合．利用向量证明几何问题时，     

从一道高考题看空间角的向量解法

<正>向量作为一种工具在立体几何中有着举足轻重的作用,用其处理立体几何问题,体现了把几何问题转化为代数问题的重要思想,往往既直观又新颖,有事半功倍的效果.运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时,首先要恰当建立空间直角坐标系,再把空间向量与有序数对一一对应起来,产生空间向量的坐标表示,进而把向量运算转化为坐标运算,将一些立体几何问题转化为代数问题.     

用平面几何知识探究两道高考向量题的共同背景

向量既有大小也有方向,是联系几何与代数的桥梁纽带．对于向量问题如果能够充分利用相关的几何与代数知识,通常可以简单解决．现在的敦与学,过多关注向量的代数运算,很少关注向量的几何特征．然而有些向量问题用其代数运算是很难解决的,2011全国卷Ⅱ理科12题不论用坐标向量的代数运算,还是用非坐标向量的代数运算都很难解决,若利用平面几何知识则很容易解决．     

空间向量、夹角与距离

1．重、难点分析 引入向量研究几何是几何代数化的需要．它一方面能使我们了解一些近代数学知识．开拓视野；另一方面，为解决立体几何中某些用传统的纯几何方法解决时技巧性大、随机性强的问题提供一些通法，降低了解题难度．     

利用空间向量解立体几何中的探索性问题

立体几何引入空间向量后,可以借助向量工具,使几何问题代数化,降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何探索性问题时,更可以发挥这一优势,以下举例说明.     

向量与几何

向量是现代数学的基本概念之一，也是解几何题的有力工具．向量法就是把几何问题代数化．然后用代数的运算来解几何题．用向量工具处理几何题，兼有几何的直观性、运算表述的简洁性和代数方法的一般性．本讲主要探讨这一方法．     

空间几何融入向量后的教学再设计

传统的立体几何主要是培养空间想象能力,当然,也培养了演绎推理能力．而课改后的立体几何借助于空间向量,把立体几何的线线、线面、面面关系表述为向量之间的位置关系,这样,可以回避添作辅助线等冗长的演绎推理过程．由思辨数学转化为算法数学,使解题有规可循,为处理立体几何问题提供了新的视角．同时,也为进一步深入学习大学的后继课程打下基础,那么,怎样才能使演绎推理与代数计算融合在一起呢？     

领会类比把握防偏--新教材立体几何(B)的教学体会

由新大纲9(B)编写的教科书内容,对传统的立体几何内容进行了重大改革.特别体现在引进向量工具改造传统立体几何的教学.它既对传统立体几何进行了改革,汲取了其精华,又使用了向量代数方法解决立体几何问题,顺应了几何改革代数化的方向.对大多数中学数学老师来说,这是一段既熟悉又陌生、既传统又新颖的内容.下面谈一谈自己对这一部分内容的教学体会.     

自由向量助你一臂之力

以往的立体几何问题常常是给出一定的几何条件,通过逻辑推理、演绎论证得出需要证明的几何结论.现在应用向量处理立体几何问题,常把一定的几何条件通过基向量,转化为向量关系式,再运用向量的基本运算即加法、数乘、内积、外积等,转化为新的向量关系式,从而使得要求的几何结论得以解决.这已成为现在解决立体几何问题的“通性通法”,也容易被学生接受和掌握.通常建立空间直角坐标系,通过位置向量的运算来解决立体几何中的度量问题,实质是上是将已知的几何条件翻译为数组,通过代数运算,完成几何度量,突出几何问题代数化.在运用自由向量解决几何…     

向量方法探索空间点的位置

立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具。使几何问题代数化，降低思维难度，尤其是在探索空间点的位置时，更可以发挥这一优势，以下举例说明。     

以结构思想为切入点把握向量的教学

向量是研究几何的一种基本工具 ,这种工具把几何结构转化为代数结构 ,实现几何代数化 .因此 ,在向量教学中 ,要让学生知道向量工具如何把几何结构转化为代数结构 ,利用结构思想分析问题、解决问题成为我们教学的关键问题 .为此 ,对这两方面作如下探讨 .1　几何结构转为代数结构 ,实现几何代数化几何历史的发展 ,大概经历了实验几何、综合推理几何、三角学和解析几何等四个阶段 .要使几何学实现根本转变 ,出路在于代数化 .综合几何发展到解析几何的过程 ,找到了几何问题解决通法 ,真正实现几何代数化 .用代数方法去研究几何问题是数学史上一…     

向量在三角中的应用举例

由于向量具有几何形式和代数方法的双重身份,因此向量在不等式、平面几何、立体几何和解析几何等方面有很多应用,本文对向量在三角函数求值和证明中的应用举例说明如下:     

三角形面积比问题的解法探究

平面向量既有大小又有方向,是代数和几何完美的结合体．所以一般而言平面向量问题的处理方法有两条路线,即代数路线和几何路线．下面就一道经典向量题的几种解法进行探究．     

抓住向量的核心知识，灵活解决问题

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它可以沟通代数、几何与三角函数,也是考查学生思维能力很好的载体,因此向量是高考的重点内容之一．向量的核心内容可以概括成“两个定理、三种形式、四类运算”．两个定理是指共线向量性质定理和平面向量基本定理;三种形式为几何形式（作图）、代数形式、坐标形式;     

空间向量在立体几何中的应用

高中数学二期课改新教材,引入了直线的方向向量及平面的法向量. 这一引进,对解决空间问题提供了一个很方便、很实用的工具. 向量学习的目的之一是“重点培养学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力”,将几何题中的逻辑推理转化为向量的代数运算. 沟通代数与几何之间的联系,使问题解决显得模式化、程序化,减少辅助线的添加,降低解题难度.一、证明线面平行或垂直证明线面平行,可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明线面垂直,可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量平行,从而得出结论,达到解决问题的目的.例 1　已知…     

利用平行四边形巧解向量问题

向量既是代数的对象．又是几何的对象，它是沟通代数与几何的桥梁，体现了数形结合思想．利用平行四边形使向量的加减运算直观化，从而化解向量的抽象性，可快捷地把问题解决．笔者通过如下几个向量问题来展示如何利用平行四边形巧妙、灵活地解决向量问题．     

空间解析几何中“向量代数”内容的处理方法

讨论了空间解析几何中"向量代数"内容的处理方法,给出了从向量的代数形式到几何形式的具体处理方法,这种方法较传统方法更为简洁易懂,便于将二维与三维几何向量推广到n维向量,有利于大学数学与中学数学的衔接.对大学数学教学与教材改革都具有积极的意义.     

巧证线面垂直的判定定理

线面垂直的判定定理，是立体几何中的重点与难点．教材利用镜面对称的方法，给出了该定理的一个几何证明．本文将从代数角度给出该定理的一个巧证．     

数学课程改革中的向量背景和前景分析

1　向量进入中学数学的背景分析1 1　向量的双重性向量是一个具有几何和代数双重身份的概念 ,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系 ,具有良好的分析方法和完整结构 ,通过向量的运用对传统问题的分析 ,可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系 ,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础 .这方面的案例包括平面几何、立体几何和向量解析几何 .1 2　认识向量的另外角度把平面和空间看作是一个向量场 ,可以培养学生对结构数学的认识 ,而结构数学是现代数学发展的主要方向 .利用参数方程的概念 ,可以把曲线看作向…     

关于"平面向量基本定理"的说课

1 教材结构与内容简析 本节课主要内容是平面向量基本定理及其应用。学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加、减运算法、实数与向量的积、向量共线的充要条件，这些都是学习本节内容的知识基础。本节课教材是平面向量这一章中最重要的内容之一．向量具有数和形的两种特性，是数学中解决几何问题的工具，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化，解决起来更加简捷；而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础。