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定义点P为△ABC内一点,过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为点D,E,F,连接DE,EF,FD,则称△DEF为△ABC的垂足三角形.在本文中,我们约定△ABc的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆,内切圆的半径分别为R,r,面积为S,R△表示三角形外接圆的半径. 相似文献
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九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥… 相似文献
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人教版初中几何第二册P68的例3:已知:点D、E在△ABC 的边BC上,AB= AC,AD=AE.求证: BD=CE. 教材中给出的证明是: 证明作AF⊥BC,垂足为F,则AF ⊥DE. ∵AB=AC, AD=AE,AF⊥BC, AF⊥DE, 相似文献
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87年高考试卷理工类第四题是: 如图,三棱锥P-ABC中,已知PA(?)BC,PA=BC=l,PA、BC的公垂线ED=h,求证三棱锥P-ABC的体积V=1/6b~2h这是一道由已知三棱锥的一组对棱的长以及它们的相对位置(所成的角和距离)计算其体积的问题。如果使问题一般化,即令对棱PA、BC所成角为α,则有下列关于三棱锥体积的一个定理。定理三棱锥的一组对棱长分别为a、b,它们的距离和所成的角分别为h、a,则三棱锥体积V=1/6abhsinα。 相似文献
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在三角形中,有如下一条常用的性质:图1如图1,P为△ABC内任一点,射线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF交AP于点G.则AP·DG AG·DP=AP·DG AD·PG=2.证明如图1所示,由面积关系可得AG PG=S△AEF S△PEF=S△AEF S△PAF·S△PAF S△PEF=EB PB·AC EC=S△EBC S△PBC·S△ABC S△EBC=S△ABC S△PBC=AD PD.于是AG·PD=AD·PG=(AP+PD)(AP-AG)=AP2+AP·PD-AP·AG-AG·PD=AP(AP+PD-AG)-AG·PD=AP·DG-AG·PD,即AP·DG=2·AG·PD.所以AP·DG AG·PD=2.同理AP·DG AD·PG=2.故AP·DG AG·PD=AP·DG AD·PG=2.注(1)此处的证明是联想到“A、G、P、D P交点为 相似文献
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人教版初三几何第三册教材第 1 74页例 4是关于求新月形面积的问题 .它的解题方法具有普遍意义 ,在教学中可以利用它去解决相关的问题 ,也可以用它的结论去解决有关求新月形面积的问题 .解法比较直观、简捷 .现举例说明 ,仅供参考 .原题 :(几何第三册P1 74例 4)已知 :如图 1 .⊙O的半径为R ,直径AB⊥CD ,以B为圆心 ,以BC为半径作CED .求CED与CAD围成的新月形ACED的面积S .解 :∵S =12 πR2 -S弓形CED,又∵S弓形CED=S扇形BCED-S△BCD,而S扇形BCED=90π(BC) 23 60 =π4( 2 R) 2 =πR22 , S△BCD=12 × 2R·R =R2 ,∴… 相似文献
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已知△ ABC,P为平面上的点 ,则( 1 ) P为外心 | PA| =| PB| =| PC| 1( 2 ) P为重心 PA PB PC =0→ 2( 3) P为垂心 PA . PB =PB . PC =PC . PA 3图 1 图 2证明 ( 1 )如 P为△ ABC的外心 (图 1 ) ,则 PA =PB =PC,即 | PA| =| PB| =| PC| ,反之亦然 .( 2 )如 P为△ ABC的重心 ,如图 2 ,延长AP至 D,使 PD =PA,设 AD与 BC相交于E点 .由 PA =PD PA PD =0→ ,由重心性质 PA =2 PE,PA =PD E为 PD之中点 ,又 P为△ ABC之重心 E为 BC之中点 ,∴ 四边形 PBDC为平行… 相似文献
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所谓立几开放题,一般是指那些条件不完备或结论不确定的立几问题,近几年高考中陆续出现了一些具有综合性、应用性、探索性的立几开放题,下面介绍四种常见类型与解法,供师生复习参考.类型1“探寻条件”型例1如图1,M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点,当空间四边形ABCD满足条件时,四边形MNPQ是矩形?思路:从中位线定理出发,展开联想.解,由于平行四边形MNPQ中,MN∥AC,NP∥BD,因此只要AC⊥BD,就可得MN⊥NP,即MNPQ是矩形.当A—BCD为正四面体或A—BCD是正三棱锥时,有AC⊥BD成立.故本题可以填:AC⊥B… 相似文献
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问题 如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1 问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1 图 2 图 3 图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ … 相似文献
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掌握几何中"∠B=2∠A"型问题的处理 方法,是快速解答相关问题的关键. 一、作大角的角平分线 例1 如图1, 在△ABC中,AB= 2BC,又∠B=2∠A, 求∠C. 解 作∠B的平 分线交AC于E,过E 作DE⊥AB于D. ∵∠B=2∠A,∴ ∠1=∠2=∠A. ∵ DE⊥AB, ∴ BD=1/2AB. ∵AB=2BC, ∴ BD=1/2×2BC=BC. 相似文献
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引例(2010年江苏卷16)如图1,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°(1)求证:PC⊥BC;(2) 相似文献
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A 题组新编1 .反比例函数 y =kx( k >0 )的图象是双曲线 ,则其渐近线方程是 ;对称轴方程是 ,顶点坐标是 ;离心率是;焦点坐标是 ;准线方程是.2 .( 1 )在三棱锥 V -ABC中 ,VA⊥底面 ABC,∠ ABC =90°若 VA =1 ,AB =2 ,BC =3,则三棱锥外接球的半径为.( 2 )棱长为 2的正四面体外接球的体积为 ;( 3)在正三棱锥 S- ABC中 ,M,N分别为棱 SC,BC的中点 ,并且 AM⊥ MN ,若 SA= 2 3,则正三棱锥 S - ABC的外接球的表面积为 .B 藏题新掘3.在平面直角坐标系中 ,x轴负半轴上有5个点 ,y轴正半轴上有 3个点 ,将 x轴上的 5个点与 y轴上的 3个… 相似文献
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20 0 3年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 461 如图 :四面体D -ABC中 ,△ABC是边长为 1的正三角形 ,面DAB ⊥面ABC ,面ADC⊥面BDC ,求四面体体积的最大值 .解 过点A作AE ⊥CD交CD于点E ,则AE ⊥面DBC .过点D作DF⊥AB交AB于点F ,则DF ⊥面ACB ,设|DF→|=x ,根据题意 ,只需求x的最大值 .设AF→ =λAB→ ,则FB→ =( 1 -λ) AB→DE→ =μDC→ ,则EC→ =( 1 - μ) DC→AE→ =AD→ +DE→ =AF→ +FD→ + μDC→=λAB→+FD→ + μ( DB→ +BC→)=λAB→+ FD→ + μ( DF→ + FB→ + BC→)=(λ+ … 相似文献
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切割线定理的证明是大家所熟悉的 .其过程如下 :如图 1,P为圆O外一点 ,PA切圆O于A ,PBC交圆O于B、C ,求证 :PA2 =PB·PC .证明 ∵ PA切⊙O于A ,∴ ∠PAB =∠C .∵ ∠P =∠P ,∴ △PAB∽△PCA .∴ PAPC=PBPA.∴ PA2 =PB·PC .在这一过程中 ,由△PAB∽△PCA ,我们还可以得到另一个结论 :PBPA=ABAC.利用这个结论 ,可以快速地解决圆中有关图形的计算、证明问题 .图 2例 1(黑龙江省 ,1999)如图 2 ,P为圆O外一点 ,PA切圆于A ,PA =8,直线PCB交圆于C、B ,PC= 4,AD⊥BC于D ,∠ABC =α ,∠ACB =β ,连结A… 相似文献
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人教版八年级《数学》上P27页有一道拓广探索题:如图1,△ABC中,AD是它的角平分线,求证:S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.分析这是角平分线性质的运用.按照书上的提示:作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则由角平分线性质有DE=DF. 相似文献