Strange nonlinear behaviour governed by a set of four averaged amplitude equations

Oscillations of a string-type generator with a time-delay amplifier are studied. Nonlinear dynamics of this system is governed by a set of partial, ordinary and integral equations with a time delay. First, an analytical perturbation method (supported by symbolic computation) which yields the averaged amplitude equations (AVE) is presented and then the amplitude equations are analysed numerically, showing some surprising phenomena.

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Sommario Si studiano le oscillazioni di un modello elettromeccanico monodimensionale con amplificatore. La dinamica non lineare del sistema è retta da un sistema di equazioni misto (alle derivate parziali, ordinaria e integrale) con un ritardo temporale. Viene presentata dapprima una procedura analitica perturbativa (supportata dalla manipolazione simbolica) che fornisce le equazioni di modulazione dell' ampiezza con il metodo della media; successivamente, si analizzano numericamente tali equazioni evidenziando alcuni interessanti fenomeni dinamici.

     

Scattering kernels for the boundary conditions of the boltzmann equation on the moving boundary of two-phase systems

Summary This paper deals with the problem of the boundary conditions for the Boltzmann equation on the moving boundary between a liquid and a vapour phase with condensation and vaporization in non-equilibrium conditions. A physical theory is proposed on the basis of the mathematical theory of the scattering kernels, of the kinetic theory and of the statistical theory of phase-transition. The mathematical result of this theory consists in a set of equations correlating, by means of integral operators, the distribution function of the molecules leaving the liquid surface to the one of the molecules arriving on the surface of the liquid phase.

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Sommario Il presente lavoro studia il problema della condizione al contorno per l'equazione di Boltzmann sulla frontiera mobile fra la fase liquida e quella di vapore di un sistema bifasico in condizioni di disequilibrio termodinamico. Si propone, sulla base dei metodi matematici della teoria cinetica e della teoria degli «scattering kernels» e sulla base dei risultati precedenti di una teoria statistica di transizione di fase, una teoria fisico-matematica per lo studio del problema. In termini matematici si ottiene un operatore che correla la funzione di distribuzione delle molecole che lasciano la superficie liquida alla funzione di distribuzione delle molecole che arrivano sulla superficie. Tale operatore rappresenta la formulazione della condizione al contorno.

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This work has been realized within the activities of the Italian Council for the Research, Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica, and presented at the Euromech Colloquium 86 on the «Boltzmann Equation».     

Heat and “fictitious” forces in variable rest mass relativistic dynamics

Summary On the basis of the relativistic generalization of the classical variable mass equation, denoted as convective model, it is shown that the energy equation following from the general four-momentum conservation law can be interpreted in a natural way as an energy conservation law of both mechanical and thermal energy. The results are connected with the usual formulation of the point particle dynamics with variable rest mass.

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Sommario Sulla base della generalizzazione relativistica delle equazioni classiche del moto di una particella con massa variabile, generalizzazione che verrà denominata « modello convettivo », si mostra che l'equazione dell'energia che consegue dalla legge generale di conservazione del tetraimpulso può essere interpretata in modo naturale come la legge di conservazione dell'energia sia di natura meccanica che termica. I risultati ottenuti vengono ricollegati con la formulazione usuale della dinamica relativistica di una particella con massa di riposo variabile.

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This work was done in the sphere of activity of the C.N.R. groups for mathematical research.     

Torsional oscillations in constant — velocity drives incorporating two cardan joints: The present state of knowledge and the design of an experimental research

Summary The paper reports a survey and a comparison between theoretical predictions (as well as few experimental findings already known) on dinamic stability of torsional oscillations in two-Cardan-joint constant-velocity drives.In such a drive self excited oscillations arise due to the periodic velocity ratios through the joints, which may be brought out of phase by the intermediate shaft twist. The survey deals mainly with systems having a single-degree-of-freedom and with analysis made by means of both linear and non-linear oscillations theories; these ones predict the existence of parameters critical ranges, in which instability conditions or at least very high amplitude of oscillations will take place; more, they predict that these ranges will be found not only in the vicinity of resonance between revolving speed and sistem's natural circular frequency but also in the vicinity of unit fraction values of the natural frequency.Then the paper reports the design of a special test apparatus, later built and used as we will see in a forthcoming paper, allowing to experience a broad range of testing conditions (revolving speed, misalignment, damping, all variable or settable at will) and to measure and record the oscillatory relative motion of the drive output shaft.

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Sommario Il lavoro riferisce circa la rielaborazione e il confronto fra previsioni teoriche (nonchè alcuni risultati sperimentali già pubblicati) sulla stabilità dinamica delle oscillazioni torsionali in trasmissioni omocientiche a doppio giunto di Cardano. In tali trasmissioni, oscillazioni autoeccitate sono provocate dalla periodicità dei rapporti di trasmissione attraverso i giunti, che possono trovarsi sfasati a causa della torsione dell'albero intermedio.L'indagine riguarda sistemi a un grado di libertà analizzati sia con la teoria delle oscillazioni lineari che con quella delle non lineari; esse prevedono l'esistenza di campi critici dei parametri — nei quali si ha instabilità o almeno ampiezza di oscillazione molto grande — non solo vicino alla velocità di rotazione corrispondente alla pulsazione naturale del sistema, ma anche vicino a valori frazionari di quella.Il lavoro riferisce quindi circa la progettazione di una apposita apparecchiatura di prova, poi effettivamente costruita e utilizzata, tale da consentire di sperimentare una vasta gamma di condizioni di prova, rilevando e registrando il moto, oscillatorio, di rotazione relativa dell'albero d'uscita.

     

The nonlinear evolution of swirling jets

We investigate the mechanisms of vorticity concentration, reorientation and stretching in a swirling jet, whose dynamics is dominated by the competition of a Kelvin-Helmholtz-type vortex sheet instability and a centrifugal Rayleigh instability. To this end, we employ an inviscid Lagrangian vortex filament technique. It is found that the axial jet velocity profile breaks the symmetry of the pure swirling flow. Conversely, the swirl is seen to modify the case dominated by a Kelvin-Helmholtz instability in that it results in the formation of counterrotating vortex rings. A pinch-off mechanism is observed which leads to a dramatic decrease in the local jet diameter. Furthermore, the vortex ring circulation is seen to be time dependent.

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Sommario In questo lavoro si analizza la dinamica della vorticità in un setto rotante in cui siano presenti, ed in competizione reciproca, fenomeni di instabilità di Kelvin-Helmholtz e di Rayleigh. A tale scopo si adotta una metodologia di soluzione non viscosa, Lagrangiana a filamenti vorticosi. Viene mostrato come il profilo di velocità assiale del getto altera la simmetria del moto di pura rotazione. Viceversa, la presenza della rotazione modifica il flusso dominato dall'instabilità di Kelvin-Helmholtz attraverso la formazione di anelli vorticosi controrotanti. L'interazione di questi due campi di velocità porta sia ad una considerevole riduzione del diametro locale del getto, sia ad una variazione temporale della circolazione degli anelli vorticosi.

     

„Engineering” error evaluation in approximate structural analysis

Summary It is observed that pure mathematical estimates of errors involved by the introduction of approximate procedures in structural analysis may be insufficient to judge the effectiveness of the method and the adequacy of the results. This circumstance can be explained by the simultaneous presence of many other uncertainties that, making necessary the application of one or more safety coefficients, tend to adsorb, at least partially, the influence of wrong calculations on structure reliability.To take this effect into account, a definition of «error» is proposed, that is strictly related to the concept of «failure probability» (in the wide sense) of the structure. Next, an attempt is made to evaluate the «error on safety», in the context of the Reliability Theory. Finally, possible applications are investigated, and the results are discussed.

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Sommario Si considerano gli errori introdotti nel calcolo delle strutture dall'uso di metodi approssimati. Si osserva che stime di errore puramente matematiche possono essere insufficienti a giudicare l'efficienza del metodo adottato e l'applicabilità dei risultati. Questa circostanza può derivare dalla presenza di molti altri fattori di incertezza che, comportando l'applicazione di uno o più coefficienti di sicurezza, tendono a riassorbire, almeno parzialmente, l'influenza degli errori di calcolo sull'affidabilità delle strutture.Per tenere conto di questo effetto, si propone una definizione di errore strettamente legata alla nozione di «Probabilità di collasso» (in senso lato) della struttura. Si tenta pertanto di valutare l'«errore in sicurezza» nel contesto della teoria della affidabilità. Infine si esplorano alcune possibili applicazioni e si discutono i risultati ottenuti.

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This work was supported by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (C.N.R.), Italy.     

On the dynamics of the perturbations in an ionized gas dominated by charge exchange

Summary An ionized gas whose dynamics is dominated by charge exchange is considered. The following two problems are studied: the time behaviour of sinusoidal waves in a uniform equilibrium; the propagation in a bounded equilibrium of sinusoidal oscillations forced to the wall. It is shown, in particular, that the equilibria considered, not necessarily thermal equilibria, are stable for any form of the distribution function.

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Sommario Si considera un gas ionizzato, non necessariamente in equilibrio termico, la cui dinamica sia dominata dal processo di scambio di carica, e si studiano i seguenti due problemi: evoluzione temporale di onde sinusoidali su un equilibrio uniforme; propagazione di oscillazioni sinusoidali forzate alla parete in un equilibrio spazialmente limitato. Si mostra in particolare la stabilitá degli equilibri per qualunque forma della funzione di distribuzione.

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Research supported in part by C.N.R., G.N.F.M.     

Boundary conditions at a liquid-vapor interface

Summary The principles of conservation of mass, momentum, and energy require that certain relationships between the flow fields be satisfied at a liquid-vapor interface. These relationships are derived in a unified way from a generalization of Kotchine's theorem which includes explicitly surface sources for momentum and energy. The case of a multi-component mixture is also considered. Finally, other boundary conditions required to obtain the full solution to a liquid-vapour flow problem are outlined and discussed. Our results are applicable to other fluid-fluid interfaces as well.

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Sommario I principi di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia richiedono che esistano relazioni ben definite fra i campi di densità, velocità, pressione e temperatura alla superficie di separazione fra un liquido e il suo vapore. In questo studio tali relazioni vengono derivate a partire da una generalizzazione del teorema di Kotchine in cui si tiene conto esplicitamente delle sorgenti superficiali per la quantità di moto e l'energia. Viene anche discusso il caso in cui sia presente più di una specie chimica. Infine, si considerano e si discutono le altre condizioni al contorno necessarie per ottenere la soluzione completa di un problema coinvolgente simultaneamenta la fase liquida e quella di vapore.

     

An analytical approach to the dynamics of rotating shafts

An analytical procedure, based on the dynamic stiffness method, is proposed for the study of rotor dynamics problems. On the grounds of the governing differential equations of a continuous beam, the dynamic stiffness matrix of the rotating Timoshenko beam is derived, including the effects of translational and rotational inertia, gyroscopic moments and shear deformation of the shaft. Concentrated disks and isotropic, elastic bearings are taken into account in the element formulation. The results obtained by the proposed method are compared with both classical closed form solutions and finite element analyses taken from the literature.

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Sommario Nel presente lavoro viene esposto un procedimento analitico, basato sul metodo della rigidezza dinamica, per lo studio del comportamento dinamico dei rotori. In particolare, è ricavata la matrice di rigidezza dinamica della trave di Timoshenko rotante, che consente di tenere conto degli effetti dell'inerzia alla traslazione e alla rotazione, del momento giroscopico distribuito e della deformazione a taglio della trave. Nell'ambito della formulazione proposta, è possibile considerare, mediante inserimento diretto nella matrice di rigidezza dinamica, gli effetti dovuti alla presenza di dischi e di supporti elastici isotropi. Il metodo proposto è applicato alla determinazione delle velocità critiche di sistemi rotanti, con riferimento sia a casi semplici, per i quali è nota la soluzione analitica, sia al caso piu' complesso di un rotore già studiato in letteratura; per quest'ultimo esempio, in particolare, è presentato un confronto con i risultati delle analisi agli elementi finiti svolte da altri autori.

     

Theoretical studies on heterogeneous deflagration Waves. 2. An approximate ordinary differential equation formulation of the problem

Summary This is the second of a three — part theoretical study on heterogeneous deflagration wave propagation. The theory is of a general nature; but specific reference to a composite solid rocket propellant is made. The ultimate objective of this line of research is to define conditions for statically and dynamically stable deflagration propagation. In the first paper, a quite general model of the problem in terms of a partial differential equation was shown. In this second paper, a transformation of the mathematical problem into an ordinary differential equation is performed. A flame model is used for the gas phase. The important assumptions made are: quasi-steady gas phase, optically opaque condensed phase; collapsed burning surface layer and constant ambient temperature. Under these assumptions, it is found that the dynamics of a deflagrating substance is governed by a nonlinear first order (approximate) ordinary differential equation in the unknown surface temperature history. From this, the stability features of heterogeneous deflagration waves are immediately defined (last part of the study). The theory is verified by computer and experimental work, presently under progress.

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Sommario Questa è la seconda di una serie di tre memorie dedicate all'analisi teorica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. La teoria è di natura generale, ma per concretezza viene applicata al caso specifico di un propellente solido composito per endoreattori. Lo scopo finale della ricerca è di definire le condizioni necessarie per la stabilità statica e dinamica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. Nella prima memoria è stato rivisto un modello abbastanza generale del problema basato su di una equazione differenziale alle derivate parziali. In questa seconda memoria il problema matematico è riformulato in termini di una equazione differenziale ordinaria. La fase gassosa è trattata secondo un modello di fiamma. Le ipotesi più importanti riguardano la fase gassosa quasi-stazionaria, la fase condensata otticamente opaca, lo strato reagente superficiale di spessore nullo e la temperatura ambiente costante. Sotto queste ipotesi si trova che la dinamica di una deflagrazione è retta da una equazione (approssimata) differenziale ordinaria nonlineare del primo ordine che descrive la storia della temperatura di superficie. Tale equazione permette di definire immediatamente le proprietà di stabilità di onde eterogenee di deflagrazione (terza memoria). Sono in corso di svolgimento le verifiche numeriche e sperimentali della teoria proposta.

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Support by CNPM (Centro di Studio per Ricerche sulla Propulsione e sull'Energetica) is gratefully aknowledged.     

A highly redundant coordinate formulation for constrained rigid bodies

The paper presents a formulation for the dynamic analysis of rigid multibodies. An introductory part carries out the kinematic analysis and the definition of the highly redundant differential framework along with the choice of unknowns and equations. From the differential formulation the variational principles, either in Lagrangian or Hamiltonian form, are developed. The Hamiltonian formulation is then used to develop the numerical approximation by applying the finite element method in time. The application of the method in its multifield form is discussed and a solution algorithm is proposed. Some examples are finally presented in order to verify the effectiveness of the formulation.

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Sommario Il lavoro presenta una formulazione per lo studio della dinamica dei sistemi multicorpo rigidi. Nella parte introduttiva viene svolta l'analisi cinematica e si definisce il quadro differenziale con la scelta delle incognite e delle equazioni. Dalla formulazione differenziale vengono poi sviluppati dei principi variazionali nella forma Lagrangiana ed Hamiltoniana. La formulazione Hamiltoniana é quindi utilizzata per sviluppare l'approssimazione numerica col metodo degli elementi finiti di tempo. Viene discussa l'applicazione del metodo nella forma multi-campo e viene proposto un algoritmo di soluzione. Da ultimo, vengono discussi alcuni esempi per verificare la correttezza della formulazione.

     

Studies on van der pol coupled systems

Summary Two Van der Pol equations with linear coupling are considered. The equations correspond to the mechanical one mass system with two degrees of freedom and with two types of self excited vibration generation. One due to presence of Van der Pol damping terms and second one due to the coordinate force which causes instability of equilibrium position of abbreviated system. The stationary one and two frequency oscillations as well as regions of parameters for different types of solution are discussed. Two types of bifurcations and amplitude relations are analyzed.

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Sommario Si considerano due equazioni di Van der Pol con l'accoppiamento lineare. Le equazioni corrispondono al sistema meccanico di una massa con due gradi di libertà e con due tipi di generazione di vibrazioni autoeccitanti. Una dovuta alla presenza di termini smorzanti di tipo Van der Pol, l'altra dovuta alla coordinata forza che causa instabilità della posizione di equilibrio del sistema ridotto. Si discutono le due oscillazioni di frequenza stazionarie e le regioni dei parametri per i diversi tipi di soluzione. Si analizzano due tipi di biforcazione e di relazione di ampiezza.

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On study leave at Department of Mechanical Engineering, The University of Alberta, Edmonton, Canada. T6G 2G8.     

Theoretical studies on heterogeneous deflagration waves. 1. A partial differential equation formulation of the problem

Summary This is the first of a three — part theoretical study on heterogeneous deflagration wave propagation. The theory is of a general nature; but specific reference to a composite solid rocket propellant is made. The ultimate objective of this line of research is to define conditions for statically and dynamically stable deflagration propagation. In this first paper, a quite general model of the problem in terms of a partial differential equation is reviewed. A flame model is used for the gas phase. The important assumptions are quasi-steady gas phase and collapsed reacting layer in the condensed phase. The model developed is the starting point for a transformation into an ordinary differential equation formulation of the problem (second part of the study); from this, the stability features of heterogeneous deflagration waves are immediately defined (last part of the study). The theory is verified by computer and experimental work, presently under progress.

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Sommario Questa è la prima di una serie di tre memorie dedicate all'analisi teorica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. La teoria è di natura generale, ma per concretezza viene applicata al caso specifico di un propellente solido composito per endoreattori. Lo scopo finale della ricerca è di definire le condizioni necessarie per la stabilità statica e dinamica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. In questa prima memoria viene rivisto un modello abbastanza generale del problema basato su di una equazione differenziale alle derivate parziali. La fase gassosa è trattata secondo un modello di fiamma. Le ipotesi più importanti riguardano la quasi-stazionarietà della fase gassosa e lo spessore trascurabile dello strato reagente in fase condensata. Il modello cosi sviluppato costituisce il punto di partenza per una formulazione del problema basata su di una equazione differenziale ordinaria (seconda memoria), che permette di definire immediatamente le proprietà di stabilità di onde eterogenee di deflagrazione (terza memoria). Sono in corso di svolgimento le verifiche numeriche e sperimentali della teoria proposta.

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Support by CNPM (Centro di Studio per Ricerche sulla Propulsione e sull'Energetica) is gratefully aknowledged.     

On the Prigogine theory of traffic flow: Driver's program independent of concentration

Summary The Prigogine kinetic equation for traffic flow is considered. It is shown that the relaxation term, whose actual form was introduced by Prigogine for reasons of mathematical simplicity, can be derived from two «structural» assumptions. This procedure shows that the relaxation term is effectively able to account for the time spent in a queue by the vehicles. Since the factorization of the desired velocity distribution is uncompatible with the assumption that the program of each driver is independent of the local concentration, a modification of the Prigogine theory was recently introduced by Paveri Fontana replacing the relaxation term by a new term. We prove that the Paveri term implies a vanishing queueing time. We show also that the assumption of an invariant driver's program can be taken into account without introducing the factorization of the desired velocity distribution with no modification of the basic assumptions of the Prigogine model.

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Sommario Si considera l'equazione cinetica del traffico di Prigogine. Si dimostra che il termine di rilassamento, la cui forma fu introdotta da Prigogine per ragioni di semplicità matematica, si può ricavare da due ipotesi «strutturali». Si dimostra cosi che il termine di rilassamento tiene conto del tempo trascorso in coda dal veicolo. Poichè la fattorizzazione della distribuzione della velocità desiderata è incompatibile con l'ipotesi che il programma di ciascun guidatore sia indipendente dalla concentrazione locale, Paveri Fontana introdusse una modificazione della teoria di Prigogine sostituendo il termine di rilassamento con un nuovo termine. Si dimostra che il termine di Paveri implica un tempo di residenza in coda nullo. Si dimostra anche che l'ipotesi di programma invariante si può tenere in conto senza introdurre la fattorizzazione della distribuzione della velocità desiderata e senza modificare le ipotesi fondamentali del modello di Prigogine.

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This work was supported by the Italian Consiglio Nazionale delle Ricerche, under a research contract of the Mathematical Committee.     

Tensorial formulation of neutron diffusion theory

Summary In this paper a tensorial formulation of monoenergetic neutron diffusion theory is presented as can be derived starting from the integral form of the Boltzmann equation. A result of this tensorial approach is that, as a consequence of a spatial variation of the macroscopic cross sections or of the finite dimensions of the body under examination, the diffusion coefficient is no longer a constant scalar quantity, but a second order symmetric tensor, whose components are functions of both the position and the properties of the material the body is made of. The components of the diffusion coefficient tensor are explicitly evaluated in the case of some homogeneous convex bodies.

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Sommario In questa nota viene presentata una formulazione tensoriale della teoria della diffusione di neutroni monoenergetici, quale può essere dedotta a partire dalla forma integrale dell'equazione di Boltzmann. Nell'ambito di questa formulazione si precisa che il coefficiente di diffusione, in conseguenza di una variazione regolare delle sezioni d'urto macroscopiche con la posizione o delle dimensioni finite del mezzo in esame, non è più una quantità scalare costante, ma un tensore simmetrico del secondo ordine, le cui componenti sono funzioni della posizione e delle proprietà del materiale. Queste componenti vengono calcolate esplicitamente per alcuni mezzi omogenei convessi.

     

The multiple collision method in solving the Boltzmann equation for time-dependent test particle transport

Summary The multiple collision method is applied to solve a time-dependent problem of test particle transport as governed by the Boltzmann equation in the frame of the scattering kernel formulation for the collision term. Several features of the solution found are discussed. Curves representing the approach to the steady state are presented.

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Sommario Il metodo delle collisioni multiple è applicato per risolvere un problema temporale di trasporto di particelle «cavia», problema che è descritto dall'equazione di Boltzmann nell'ambito della formulazione, secondo un nucleo di «scattering», del termine di collisione. Alcuni casi particolari della soluzione trovata vengono discussi. Vengono infine presentate curve rappresentanti l'approccio allo stato stazionario.

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presently on leave of absence from the Department of Nuclear Engineering, University of Arizona, Tucson.     

Experimental and Numerical Investigation on Cavitating Flows in Diesel Injection Systems

The present study is concerned with the phase change during rapid depressurization of fluids: the role of vapor bubbles nucleation and growth and the effect on the system fluid dynamics were modeled and experimental measurements were made. Following a control-volume approach, averaged equations governing the motion of a one-dimensional, homogeneous, no-slip two-phase flow were used considering both thermal equilibrium (equal temperature) and non-equilibrium (non-equal temperature) between the liquid and vapor phases. In the non-equilibrium model, the heat transfer from the liquid to the vapor and the corresponding mass transfer velocity were modeled. Model results were compared with experimental data for a loss-of-coolant accident in nuclear power plants: the comparison of numerical vs. experimental data showed the role of nucleation velocity during the earliest phase of rapid depressurization. The experimental study of two-phase flow in a diesel engine injection system has been carried out using a rotative pump which is operated by using a purpose-developed test-bench; pressure measurements inside the system pipes were performed using pressure transducers; moreover, an ultrasonic technique was employed to study phase change phenomena. Several measurements were performed comparing the results obtained by different experimental techniques with the model outputs.Sommario.presente studio riguarda il fenomeno della cavitazione durante la depressurizzazione di fluidi. E'stata considerata la velocità di formazione e nucleazione delle bolle di vapore e le equazioni di conservazione sono state integrate con solutori al 1°e 2°ordine di tipo ENO. Sono stati utilizzati dati sperimentali ottenuti durante incidenti per perdita di refrigerante in centrali nucleari; per quanto riguarda gli apparati di iniezione, gli autori hanno sviluppato due differenti tecniche sperimentali, basate rispettivamente sulla pressione e sulla riflessione degli ultrasuoni. Il confronto dei risultati numerici con quelli sperimentali è stato soddisfacente.     

Spatial interaction in magneto-micropolar continua

Summary We consider a micropolar continuum, whose material points are endowed with magnetic moment, in the presence of a magnetic field within the approximation of the quasimagnetostatics. We deduce the balance equations by a suitable averaging technique and then we examine the compatibility of spatial interaction effects with thermodynamics. As a result, we show that such effects are confined to the constitutive equations for the dissipative stress_DT, the dissipative couple stress_Dm and the heat flux q. Moreover, as a consequence of the reduced dissipation inequality, a linear theory would account only for a dependence of_DT,_Dm, and q on the velocity gradient, the angular velocity, the gradient of the angular velocity, and on the temperature gradient.

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Sommario Si considera un continuo micropolarc, i cui punti materiali sono dotati di momento magnetico, in presenza di un campo magnetico nell'approssimazione della quasimagnetostatica. Dopo aver dedotto le equazioni di bilancio mediante un opportuno procedimento di media, si esamina la compatibilità tra effetti di interazione spaziale e seconda legge della termodinamica e si mostra che tali effetti possono essere presenti solo nelle equazioni costitutive per lo stress dissipativo (di Cauchy)_DT.lo stress dissipativo delle coppie_Dm e il flusso di calore q. Inoltre, in conseguenza della disuguaglianza di dissipazione ridotta, si osserva che una teoria lineare permetterebbe solo una dipendenza di_DT,_Dm, q dal gradiente di velocità, dalla velocità angolare, dal gradiente della velocità angolare e dal gradiente di temperatura.

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This work was supported by the «Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica» of CNR.     

A numerical study of vorticity layers in a two-dimensional stratified shear flow

A numerical study is conducted to find out the conditions of occurrence of a secondary Kelvin-Helmholtz instability in the thin layers (referred to as baroclinic layers) that form in a stably-stratified shear layer. For this purpose, three high resolution calculations of a moderately stratified shear layer have been carried out, at a fixed Reynolds number. The wavelength of the initial perturbation is progressively increased, starting from the fundamental wavelength predicted by linear stability theory up to twice this fundamental wavelength. The baroclinic layer of the flow is shown to lengthen and destabilize progressively from one calculation to the other, eventually bearing a secondary Kelvin-Helmholtz instability. The structure and dynamics of the baroclinic layers of the three calculations are examined in the frame of a theoretical model proposed by Corcos and Sherman ([1]). An excellent agreement with the predictions of this model have been found. We next show that the stability of the layer is controlled by the large-scale Kelvin-Helmholtz vortex, via the strain field that it induces in the stagnation point region of the layer. A consequence of this study is that secondary Kelvin-Helmholtz instabilities are fostered by the pairing of primary Kelvin-Helmholtz vortices in a strongly-stratified shear layer.

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Sommario E stato condotto uno studio numerico per trovare le condizioni in cui insorge una instabilità secondaria di Kelvin-Helmholtz negli strati sottili che si formano in uno strato di scorrimento stabilmente stratificato. A questo scopo sono state effettuate tre simulazioni ad alta risoluzione a fissato numero di Reynolds e stratificazione bassa. La lunghezza d'onda della perturbazione iniziale è stata progressivamente aumentata dalla lunghezza fondamentale predetta dalla teoria lineare della stabilità fino a due volte questa stessa lunghezza. È stato osservato che da una simulazione all'altra lo strato baroclino del flusso si allunga e si destabilizza progressivamente, generando eventualmente un'instabilità di Kelvin-Helmholtz secondaria. Utilizzando il modello teorico proposto da Corcos e Sherman (1976), per le tre simulazioni sono state analizzate la struttura e la dinamica dello strato baroclino. È stato trovato un accordo eccellente con le predizioni di questo modello. È stato in seguito mostrato che la stabilità dello strato è controllato dai vortici di Kelvin-Helmholtz di larga scala attraverso il campo di deformazione che inducono nella regione del punto di ristagno dello strato. Una conseguenza di questo studio è che le instabilità secondarie di Kelvin-Helmholtz sono forzate dall'accoppiamento dei vortici primari in uno strato di scorrimento fortemente stratificato.

     

A new class of flexure-free torsional vibrations of annular rods

It is shown that the system of partial differential equations governing small amplitude vibrations of an elastic ring has solutions describing motions in which the axial curve C of the ring remains rigid, but executes a rocking motion while the cross-sections undergo torsional rotations about C that vary periodically both in time and in distance along C. This type of flexure-free torsional vibration can occur both in rings that are stress-free in a circular equilibrium configuration and in rings formed by bringing together and sealing, with or without the addition of twist, the ends of rods that are stress-free when straight.

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Sommario Si mostra che le equazioni che governano le oscillazioni di piccola ampiezza di travi elastiche anulari hanno soluzioni che corrispondono a moti nei quali l'asse C della trave è sottoposto a un'oscillazione rigida e le sezioni trasversali subiscono una rotazione torsionale che varia periodicamente nel tempo e con l'ascissa lungo C. Questo tipo di vibrazione torsionale, non accompagnata da flessione dell'asse, si presenta sia quando la configurazione anulare è priva di sforzi sia quando tale configurazione può pensarsi ottenuta inflettendo una trave che in uno stato privo di sforzi è ad asse rettilineo, imprimendo ad essa una eventuale deformazione torsionale, e collegando fra loro le sue estremità.