用函数的眼光"看"数列问题

高中数学教材(人教版,必修)的数列的通项公式的概念是“数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式”.有时又可以理解为第n项an关于正整数n的“函数”,即an=f(n)(n∈N*).这说明了数列与函数的关系;利用这个关系,我们可以从函数     

利用函数的观点解决数列问题举例

在学习数列内容时适当加强与函数的联系,运用函数的观点和方法处理问题,不仅有利于对数列知识的理解,而且可使学生对函数的认识进一步深化,提高学生综合应用知识的能力.1.数列与函数概念的联系与区别数列的通项公式与前n项和均可以看成定义在自然数集(或其有限真子集)上关于项数n的函数.但在这之前接触的一般是自变量连续变化的函数,所以在应用函数观点解决数列问题时要特别注意.例1已知数列{an}的通项公式为an=nn--78..88,判断an有无最大值、最小值,若没有说明理由,若有则求出最大值、最小值.解:∵an=nn--78..88=n-n-88.8.+81=1+n-18.8,由…     

递推数列的通项公式求解方法探究

<正>根据数列所满足的递推关系,用累加或累乘的方法求出通项公式;或用转化与化归的数学思想及方程的思想构造出新的等差或等比数列,通过求得新数列的通项公式进而求出递推数列的通项公式.1.型如an+1=an+f(n)可作差累加求通项.若递推公式为a_(n+1)=a_n+f(n)型,则只需将原递推公式化为a_(n+1)-a_n=f(n),再以累加法可知a_n-a_1=g(n),于是a_n=a_1+g(n).     

运用函数与方程的观点研究数列

数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数,也可以看成方程或方程组,特别是等差数列的通项公式可以看成n的一次函数,而其求和公式可以看成是n的二次函数,因此许多数列问题可以用函数和方程的思想进行分析,加以解决.     

数列

1　本单元重、难点分析本单元的重点是理解数列的概念 ,能用映射、函数的观点看待数列 .掌握等差 (比 )数列的定义、通项公式、前n项和的公式 ,并能运用公式解决有关问题 ;理解等差 (比 )数列的性质 ,熟悉用等差 (比 )数列的性质求其前n项和的方法 .难点是等差 (比 )数列的性质及应用、数列前n项和公式的求法 .由于数列是特殊的函数 ,所以可以运用函数思想学习、研究数列 ,掌握将一个数列转化为等差 (比 )数列的方法 ,加强数列与相关问题的联系及综合运用 .通过对本章的研究性课题———分期付款问题的研究 ,了解数列在实际生活中的应用 .本…     

数列

1.本单元知识点数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型,是高中数学非常重要的基础内容.又由于数列与函数、方程、不等式有着紧密而广泛的联系,可以用来考查学生对数学思想方法的理解以及综合运用知识的能力,因此它也是高考的一个重点.本单元学习重点包括:数列的概念,an与Sn之间的关系,等差数列的概念、通项公式与前n项和公式,等比数列的概念、通项公式与前n项和公式.本单元学习难点包括:递推数列的求解,数列     

一个数列的通项公式是否唯一

因数列 { an}是定义在正整数集或其有限子集上的函数 ,故若给出一个数列的前若干项 ,欲求其通项公式 ,是和求函数解析式有密切关联的一个问题 .假若给定数列的前几项 ,能否写出其通项公式 ?如果能的话 ,能写出多少个 ?例 1　已知数列的前三项为 :3,9,2 7,请写出它的一个通项公式 .思路　习惯上把其一个通项公式写成an =3n.既然数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数 ,我们自然会想到 :能否用一个最低次的关于 n的整式函数来表示 ,对于数列3,9,2 7,…来说 ,已知其前三项 ,就是知其对应的函数 f(n)图像上三个点 P(1,3)、Q(2 ,9)和 R(3,2…     

借函数之力 攻数学难题

数列与函数关系密切,数列是定义在自然数集(或其子集)上的特殊函数,数列的通项与前n项和都具有隐含的函数关系.在处理一些数列的综合难题时,根据题目特征,凸显其函数关系,即有意识构造函数,从函数视角去研究,常能明确思路,简单而易操作.     

从求数列的通项公式谈起

现行中学数学教材指出,如果一个数列的第n项a_n与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。由已知数列的前若干项,求数列的通项公式,一般说来,有如下几种情况: ①写不出通项公式的,如3~(1/2)的精确到1/10~n的近似值数列; 1,1.7,1.73,1.732,… 2,1.8,1.74,1.733,…就没有通项公式。②通项公式不是用一个代数式表示的。     

探究递推数列通项公式求法的实质

已知数列的递推公式,求其通项公式是数列中一类常见的题型,这类题型如果单纯地看某一个具体的题目,它的求解方法是灵活多变的,构造的技巧性也很强.很多课外辅导资料均总结归纳了常见的几种递推数列通项公式的求法,题型上一般可以分为:形如an+1=an+f(n)型数列(其中f(n)不是常值函数);an+1=an·f(n)型数列;an+1=pan+q型数列;an+1=pan+f(n)型数列(p为常数);an=Aan/Ban+C型数列(A,B,C为非零常数).在日常的教学过程中,强迫学生死记硬背,或许能够收到一定的成效,但是数学是以培养学生思维能力为首要任务的学科,所以,我们有必要对以上几种题型的实质进行分析讨论,让学生明白所以然.笔者认为,无论哪种题型,最终均需要利用到等差数列(结合累加原理)或者等比数列(结合累乘原理)定义解决问题.     

殊途同归求通项

数列是中学数学重点内容之一,也是初等数学与高等数学的一个重要衔接点;而数列的通项公式则是研究数列的最佳载体,通项公式反映着数列中每一项的共性特征即通项中包含问题的规律性,在解题中一旦规律性突破了,就能顺利地解剖本质问题.数列问题特别是数列的通项公式问题历来是高考的重点,甚至很多次作为压轴题形式出现.本文主要利用等差数列和等比数列的性质来求解一些非特殊递推数列的通项公式.1利用等差数列的性质求数列的通项公式(1)an 1=an f(n)型例1(07北京)数列{an}中,a1=2,an 1=an cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比…     

求一类数列通项公式的思路

学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1　在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解　当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变…     

数列通项公式的求法

数列是一种以自然数 1,2 ,… ,ｎ作为自变量的函数 ,给出数列的方式常常有两种 ,一是由项与项数的关系给出的即通项公式法 ,二是由相邻项的关系给出的即递推公式法 .这两种方式都反映出了数列的结构特点和构成规律 .那么怎样由己知数列的递推公式来探求数列的通项公式呢 ?本文通过具体实例介绍几种常用的方法 .一、转化成等差等比数列此方法主要根据数列的递推关系式的特征 ,通过适当变形 ,构造出关于某个整体的等比或等差数列 ,求出该整体的通项后再求所求数列的通项 .例 1　已知数列 {ａｎ}中 ,ａ1 =1,ａｎ =3ａｎ-1 + 1(ｎ =1,2 ,3,… ) …     

递推数列的单调性

<正>数列是高中数学的重要内容,数列的单调性问题是高考中的难点也是热点问题.数列是一类特殊的函数,其定义域取正整数集或其有限子集,因此在处理数列的单调性问题时,可以利用数列单调性的定义a_(n+1)-a_n>0(<0),也可以通过构造函数(当数列的通项公式给出)来处理.但是对于无法求出通项的数列,比如递推数列:数列{a_n}满足a_1=t,a_(n+1)=f(a_n)的单调性问题,我们又该怎样去研究?本文结合具体的例子和同学们谈谈这类问题的求解方法.     

求数列通项的题型分析及方法总结

<正>求数列通项是数列部分的一种常考题型,本文中对求数列通项的题型进行分类总结,给出六种求解方法:累加法、累乘法、裂项相消法、特征根法、对数构造法、换元构造法.1 累加法形如a_n+1=a_n+f(n)或a_n+1-a_n=f(n)的递推数列,其中f(n)是关于n的函数.对于该类数列的通项求解可采用累加法.具体方法如下:将a_n+1=a_n+f(n)列举为■将(n-1)个式子左右两边对应相加,得a_n+1-a₁=f(1)+f(2)+……+f(n),进而可求得该数列的通项公式.     

自然数求和公式在初中数学规律题中的应用初探

自然数列在数列中有广泛的运用.这是因为所有的数列中,各项的序号都组成自然数列.任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系.自然数求和公式在初中数学规律题中展示出特殊的魅力.     

数列的通项及其求法

一、数列的通项一个数列{a_n},如果它的第n项a_n与n之间的函数关系可以用一个公式来表示,那么就说这个数列有通项公式,或说其有通项;如果它的第n项a_n与n之间的函数关系不能用一个公式来表示,那么就说这个数列没有通项公式,或说其无通项。因此对于全体数列按其通项存在与否可将它们分为两类,即有通项的数列和无通项的数列。对于无通项的数列,只能用语言描述的方法来表示该数列的确定性。如:(ⅰ)由小至大的全体素数组成的数列;(ⅱ)“π”的不足近似值分别精确到1/10,     

应用待定系数法求一类数列的通项公式

<正>数列通项公式是解决数列相关问题的重要途径,如何利用有效方法快速求出数列的通项公式,是解答和研究数列相关性质的关键.待定系数法作为数学解题的一种重要方法,形如a_n=pa_(n-1)+f(n)形式数列通项公式的求法采用待定系数法将会起到事半功倍的效果.变式一a_n=pa_(n-1)+f(n)中p≠1的常     

递推数列问题中的函数策略探究

<正>数列是一类特殊的函数,二者之间有着密切联系.对于某些数列问题,应用函数策略进行研究,可取得事半功倍之效.对于函数f(x),若数列{an}满足an+1=f(an),n∈N+,则f(x)为数列{an}的对应函数.1.若递推数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0和1,q≠0,p,q∈R),求{an}的通项.解析这是相对简单的类型,可以通过an+1     

试题研讨(4)

题 1　已知数列 {an}前 n项和为 Sn,若 a1= 2 ,nan 1=Sn n( n 1 ) .( 1 )求数列 {an}的通项公式 ;( 2 )令 Tn =Sn2 n,1当 n为何值时 ,Tn>Tn 1( n∈ N ) ?2若对一切正整数 n,总有 Tn ≤ m,求 m的取值范围 .( 2 0 0 2年苏州市模拟考试题 )命题溯源　求数列的通项公式是数列知识的重要问题 .1 983年高考题中首次出现由递推数列求通项公式的问题 ,连考了三年 ,当时形成了一个热潮 .多年来两类求数列通项公式的问题是常考常新 .一类是已知f ( an,Sn) =0求数列通项 an;另一类是与不等式相关的数列综合题 ,如 1 998年全国高考试卷末题 ,…