走进杨辉三角形再探数字规律

<正>同学们在学习整式的乘法后,大都计算过a+b的n次方(a+b≠0,n为自然数)的结果:(a+b)²=a2=a²+2ab+b2+2ab+b².(a+b)2.(a+b)³=(a+b)3=(a+b)²(a+b)=a2(a+b)=a³+3a3+3a²b+3ab2b+3ab²+b2+b³.(a+b)3.(a+b)⁴=[(a+b)4=[(a+b)²]2]²=a2=a⁴+4a4+4a³b+6a3b+6a²b2b²+4ab2+4ab³+b3+b⁴.……并关注过计算结果中各项系数(补上(a+b)4.……并关注过计算结果中各项系数(补上(a+b)⁰=1,(a+b)0=1,(a+b)¹=a+b)组成的一张表及其中的数字规律.(各版本的教科书中的阅读材料都有相关探究和介绍)     

完全平方数的特点及判定

一个自然数的平方叫完全平方数.自然数的尾数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数,因此完全平方数的尾数只可能0,1,4,5,6,9这六个数,这是完全平方数的特点.但应注意,尾数是这六个数的数.不一定是完全平方数,如15就不是完全平方数.     

余弦定理的证明方法赏析

<正>一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在△ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有a²=b2=b²+c2+c²-2bccos A,b2-2bccos A,b²=c2=c²+a2+a²-2cacosB,c2-2cacosB,c²=a2=a²+b2+b²-2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在△ABC中,已知AB=c,AC=b,及∠A,求证:a2-2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在△ABC中,已知AB=c,AC=b,及∠A,求证:a²=b2=b²+c2+c²-2bccosA.     

余弦定理的一种变式及应用

<正>大家知道,余弦定理是:在△ABC中,a²=b2=b²+c2+c²-2bccos A,b2-2bccos A,b²=c2=c²+a2+a²-2cacosB,c2-2cacosB,c²=a2=a²+b2+b²-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a2-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a²=(b+c)2=(b+c)²-2bc(1+cos A).b2-2bc(1+cos A).b²=(c+a)2=(c+a)²-2ca(1+cosB).c2-2ca(1+cosB).c²=(a+b)2=(a+b)²-2ab(1+cosC).由观察知这三个式子有以下的列功能.(1)把已知三角形两边和与积及夹角,可迅速求第三边,为解题奠定基础;(2)已知等式中有两数和与两数积,因此它们可以与韦达定理建立联系;     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.(1)把下列算式中的9个汉字换成1⁹这九个自然数,并使算式成立.我的×中国梦=祖国富强.(2)求值:A=(19这九个自然数,并使算式成立.我的×中国梦=祖国富强.(2)求值:A=(1²+22+2²)/(1×2)+(22)/(1×2)+(2²+32+3²)/(2×3)+(32)/(2×3)+(3²+4)2+4)²/(3×4)+…+(10072/(3×4)+…+(1007²+10082+1008²)/(1007×1008)+(10082)/(1007×1008)+(1008²+10092+1009²)/(1008×1009).(北京市海淀区世纪城三期春荫园11号楼2单元1C(100097)胡怀志)2.已知两个数a,b均大于2,试证a+b与a·b的大小.     

盘点完全平方公式

<正>完全平方公式是进行代数运算与变形、解一元二次方程、解二次函数有关问题的重要的知识基础.这个知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用.难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解).同学们在学习中常见错误有:(1)难于跳出原有的定式思维,典型错误如(a±b)²=a2=a²±b2±b²;(错因:在公式(ab)2;(错因:在公式(ab)²=a2=a²b2b²的基础上类推,随意"创造")(2)混淆公式(a+b)2的基础上类推,随意"创造")(2)混淆公式(a+b)²=a2=a²+2ab+b2+2ab+b²与(a-b)2与(a-b)²=     

一道竞赛题“新解”的错误及其另解

<正>题目（2004年西部数学奥林匹克竞赛题）求证:对任意正实数a,b,c,都有1< (a/（a²+b²）^1/2)+(b/（b²+c²）^1/2)+(c/（c²+a²）^1/2≤(32^1/2/2) （*）文[1]利用三角代换,在证以上右边含上界的不等式时最后一步有误!现将文[1]证明过程的最后几步摘录如下:     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.     

一类无理分式对称不等式的研讨

<正>1引言加拿大数学杂志《Crux Mathematicorum》2009年第2期问题3419如下:问题3419^[1]设a,b,c是正实数,∑是关于a,b,c的循环和,(a)证明■(b)证明■《Crux Mathematicorum》2010年第2期刊登了问题3419(a)的一个证明,在该证明后编辑指出问题3419提供者已发表了问题3419(b)的一个证明.^[2]     

破解一道不等式难题

<正>问题设a,b,c∈R⁺,且a+3b+5c=15.求证:a^1/2+（5b）^1/2+（2c）^1/2≤（46）^1/2.多数同学们容易想到用均值不等式（ab）^1/2≤（a+b）/2①来处理,但面对所证不等式右边的根号,便束手无策.这时,只要"对症下药",去掉     

平行四边形的一个性质

<正>一、性质如图1, P为■ABCE所在平面上任一点,记PA=a,PB=b,PC=c,PD=d,AB=s,BC=t,BD=m,则m²-(s2-(s²+t2+t²)=(b2)=(b²+d2+d²)-(a2)-(a²+c2+c²).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m2).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m²+n2+n²=a2=a²+c2+c²+2bd.证明如图3,以BD为半径作⊙B,以CD为半径作⊙C,⊙B与⊙C的另一交点为D′,直线AD与⊙B、⊙C的另一交点分别为E、F.连结DD′、ED′、FD′,易知BC⊥DD′(连     

探究向量模的求法

题目（苏北2013年调研）已知平面向量a,b,c两两所成角为2π/3,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析求向量的模,利用模长公式|a|=a⁽1/（?）=x²+y^21/2解决.解|a+b+c|= a+b+c^1/2=（?）=3^1/33.进一步思考变式1已知平面向量a,b,c两两所成角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析本题得了解对向量的夹角的定义,夹     

一道2015年初中数学联赛试题的换元解法及联想

<正>2015年全国初中数学联合竞赛(初三年级)试题的压轴题为:已知实数a,b,c满足条件a/(b-c)²+b/(c-a)2+b/(c-a)²+c/(a-b)2+c/(a-b)²=0,求代数式a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)的值.组委会给出的解答莫名其妙地给出一个等式:     

解读乘法公式

<正>乘法公式是初一代数的重要内容,也是今后学习数学的基础,应用十分广泛,必须认真学好,并注意以下两点:1.抓住特点,准确证公式,例如完全平方公式(a±b)²=a2=a²±2ab+b2±2ab+b².特点是:a的降幂,b的升幂;系数是1、±2、1.记忆口诀是:首平方、尾平方,两倍首尾在中央.2.注意公式中字母的广泛含义,深刻理解公式,即公式中的字母可以是数字,单项式,也可以是多项式,深刻理解公式,是应用公式的关     

一个数学问题的简证

<正>题目^[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA²/b2/b²+PB2+PB²/c2/c²+PC2+PC²/a2/a²=1.证明如图所示.设射线AP交△PBC的外接圆☉O_1于点A',分别过点P、A'作直线AB的垂线,垂足为E,F,连接A'C,A'B.则∠PA'C=∠PBC=∠PCA=∠PAB.     

一道代数式求值问题的新解与一般化

<正>题目已知ax²+bx+c=0(a≠0)有实数根x_1与x_2,设p=x_12+bx+c=0(a≠0)有实数根x_1与x_2,设p=x_1⁽¹⁹⁹⁷⁾+x_2(1997)+x_2⁽¹⁹⁹⁷⁾,q=x_1(1997),q=x_1⁽¹⁹⁹⁶⁾+x_2(1996)+x_2⁽¹⁹⁹⁶⁾,r=x_1(1996),r=x_1⁽¹⁹⁹⁵⁾+x_2(1995)+x_2⁽¹⁹⁹⁵⁾.求ap+bq+cr之值.原解答(见参考文献[1]第183页例5)"由因导果",摘抄如下:由x_1,x_2是方程ax(1995).求ap+bq+cr之值.原解答(见参考文献[1]第183页例5)"由因导果",摘抄如下:由x_1,x_2是方程ax²+bx+c=0之二实根,所以ax_12+bx+c=0之二实根,所以ax_1²+bx_1+c=0①ax_22+bx_1+c=0①ax_2²+bx_2+c=0②     

三次与四次函数图像对称性探索

<正>二次函数是初中数学教学的一个重难点,我们先来回顾一下.对于二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x2+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x²+b/ax+c/a).根据公式(x+m)2+b/ax+c/a).根据公式(x+m)²=x2=x²+2mx+m2+2mx+m²,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)2,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)²+n(其中m、n是与x无关的常数).从上式中得到f(x)的对称轴方程为x=m(m=-b/2a),这也可以表达为:对于任意的x总有f(m     

有关广义中心三项式系数的3个超同余式

设b,c为整数,定义广义中心三项式系数T_n(b,c)=[xⁿx²+bx+c]ⁿ=[π/2]∑k=0(n 2k)(2k n)b^n-2kck(n∈N={0,1...}),这里[xn]P(x)表示多项式P(x)中xn项的系数.特别地,中心Delannoy多项式Dn(x)=T_n(2x+1,x2+x)(n∈N),中心三项式系数T_n=T_n(1,1)(n∈N).本文研究了孙智伟在[南京大学学报:数学半年刊,2019,36(1):1-99]中提出的猜想,即完全证明了两个关于Dn(x)和的超同余式和一个关于中心三项式系数的超同余式的特殊情形.例如,设p为素数,r,m为正整数满足p■m条件.则对于任何p-adic整数x,有1/m²p^3r-3(p^rm-1∑k=0(2k+1)Dk(x)²-P²p^r-1m-1∑k=0(2k+1)Dk(x)²)=0(mod p³).     

关于本原商高数的新猜想

设a,b,c是满足a=m²-n2-n²,b=2mn,c=m2,b=2mn,c=m²+n2+n²的正整数,其中m,n是适合m>n,gcd(m,n)=1,2|mn的正整数.运用初等数论方法讨论了方程c2的正整数,其中m,n是适合m>n,gcd(m,n)=1,2|mn的正整数.运用初等数论方法讨论了方程c^x+bx+b^y=ay=a^z的正整数解(x,y,z).证明(m,n)≡(0,1),(0,5),(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(4,5),(5,6),(6,7)或(7,0)(mod8)时,方程无解.上述结果部分地解决了有关本原商高数的一个新猜想.     

利用欧拉公式解方程(组)

<正>我们知道对于任意实数a,b,c,都有如下公式:a³+b3+b³+c3+c³-3abc=(a+b+c)(a3-3abc=(a+b+c)(a²+b2+b²+c2+c²-ab-ac-bc),我们称上述公式为欧拉公式.特别的,当a+b+c=0时,a2-ab-ac-bc),我们称上述公式为欧拉公式.特别的,当a+b+c=0时,a³+b3+b³+c3+c³=3abc.当我们解方程(组)时,经常会碰到有两项或三项立方加减或立方根加减的情况,都可充分运用欧拉公式求解.