數學舆實際

學生學習的過程中,沒有一個階段裏沒有數學課程。從小學一年級開始學算術,進了中學要學代數、幾何、三角。到了大學和高等學校裏,除了文法科裏一部分學生外,要學高等数學。但高等数學的內容,在概念上就和中學的數學課程的內容完全不同,理論也增多了,常有講了很多理論而没有把它們直接用到計算裏的情形。在第一次講課裏,雖在序言中講了數學的發展是由於客觀實際的需要,但到了理論很多而沒有把它們直接應用到計算時,例如講到無窮小定理舆變量極限定理那一段時,同學往往又會感到這些理論似乎是脫離了實際,因而感到很抽象,於是發出這類的問題:“老師,這些理論在實際上怎樣用法?”這種思想是狭隘的實用觀點,為了要澄清這稀狹隘的實用觀點,應該深刻地體會數學舆實際的關係。通過生產活動,人類逐漸地了解自然的現象,自然的規律,人和自然的關係,封建時代的生產主要是農業生產,由於田畝的計算,我國的數學家早在公元前一千餘年就發現了勾股定理,即     

幾何學(續)

Ⅵ.幾何學的解釋同一項幾何理論可以有各種不同的應用,各種不同的解釋(現實化、模型、有時候也叫做說明),理論的任何應用不外乎道理論的某些推論在相應的現象區域中的“現實化”。各種不同現實化的可能性是一切數學理論的共同特性,這樣,算術的關係便在最不相同的各類物件上達到現實化;而同一個方程常常描寫完全不同的現象,數學撇開了內容,只研究現象的形狀,而由形狀的觀點看來許多性質各異的現象常常是相類似的,數學應用的繁多,特別是幾何學應用的繁多,正是從它的抽象的性質獲得保障的,我們認為某種物體系統(現象區域)提供了一項理論的現實化,只要在這物體區域中的關系都可以用這理論的語言來描述,因而這理論的每一句斷語表明了所考慮區域中的某一件事實,特別是假使理論是建立在某種公理系統的基礎上的話,那麼這理論的解釋就是某種物體及其間     

佈列一次方程教學中的分析與綜合

如果學員在算術學習中能熟練地運用分析與綜合的方法解析應用題,已經熟悉了應用題中的數量間的相依關係。同時,如果教員不是有意或無意地把代數學科與算術學科對立起來,而是按科學的系統把它們自然地連接起來,那麼布列一次方程的教學就不是什麼困難的事,但這只是問題的一方面,問題的另一方面是:由於布列方程與布列算式之間的差異,由於布列方程的中心問題是尋找數量間的相等關係。因此,對於如何運用科學的分析與綜合的方法以進行布列方程的教學,這仍是值得研究的問題。布列方程中的兩種解析方法是明顯的:先找出未知數與已知數的相依關係,組成代數式,從而發現數量間的相等關係,布列方程——這是把各個部分統一為整體的思維過程,我們叫它為“綜合法”;理解了應用題的條件,先在思想上有     

關閉撓曲線的全曲率

<正> §1.引言.大家知道,微分幾何學所討論的一般是關於圖形的局部性質.但是這些局部性質與圖形的整個性質間常存在有某些關係.討論圖形的整個性質的微分幾何學叫做整體性的.關於整體性微分幾何學有這樣的一個著名定理:設一關閉撓曲線C     

談談關於平面幾何中的“一定值”問题

平面幾何中有關“一定值”的問題,是同學感到困難的。初三、高一同學每遇到關於“一定值”的問題,班上只有極個別同學能獨立解出來,他們不知按題意分析,“一定值”是什麼,因此,摸不到問題的具體終結,無從下手解題,凡是碰到“一定值”一類的問題,總是老師講,學生聽,學生不能獨立發展這個知識,時間花了許多,費了許多力,結果不討好;我認為這原因主要在講解問題時,關於“一定值”意義,分析不夠,指示不夠,因而學生對“一定值”問題,感到摸不到頭腦。新編初中幾何93頁第13題:“等腰三角形底邊上的一點到兩腰距離之和是一定長(等於腰上的高),”書上在括弧內具體指出了問題的要求,但講解這問題時,若單純的按“等於腰上的高”囫圇吞棗的證下去,而對“一定長”為什麼是指“等於腰上的高”,不加以詳細分析、那便是為解題而解題,不能完成教學這個問題的主要目的,教學這個問題的主要目的,是為解關於“一     

軌跡教法的經驗

圖形的運動變化,軌跡方法的應用,新教材是非常重視的。因為幾何教學的任務之一,就是對空間觀念的培養和發展學生空間的想像力,而“軌跡”就能幫助解决很多的問題,過去同學學習“軌跡”时,由於教師教法生硬、先講定義,以致同學感到“軌跡”太抽象,不易理解,因此我認為講解這一節時必须很好地體會教材,熟習教材,學習蘇聯先進教學方法,運用直觀教具并多舉同學日常生活所熟習的事例來講解。     

數學界動態

1.中國科學院數學研究所華羅庚所長根據中保文化協定已於5月中旬去保加利亞人民共和國訪問,在訪問期間並擬在數倫、矩陣幾何及其在代數上的應用、多元複變函數論諸方面作學術報告。 2.北京大學自5月4日起舉行了1954—1955學年科學討論會,數學力學方面舉行了四次報告會,共報告了論文17篇,其中包括四篇綜合性的,除了這17篇之外還有四篇論文因時間關係沒有報告,茲按北京大學原定程式把論文題目及報告人分別報導如下:     

罗巴切夫斯基幾何学的一种实現法——龐卡勒方法

今年是幾何學中的革命者,俄羅斯的偉大學者羅巴切夫斯墓逝世一百周年紀念,對於這樣一位劃時代的偉大學者的哲學思想、科學創造以及其深遠的後果都需要專著來加以詳細的介紹,我在此只想接觸到一個很狹的問題,即羅巴切夫斯基幾何學的實現法的問題。在實現法的方面,大學以上的讀者可以從微分幾何中的負定曲率曲面上的幾何去得到實現,也可以由射影幾何的方法在一圓內得到實現,為了中學水平的讀者的需要,我也曾在“幾何學通論”中作了粗略的介紹,現在不準備去重提,本文將介紹由法國數學家龎卡勒提出的一種實現法。什麼是實現問題呢?原來,歐幾裏得幾何學在兩千多年中曾被看作是唯一的幾何學,也就是被認為是反映客觀世界中的形的唯一的方法,這種幾何學有一系列的公理,由這系列的公理經過純邏輯的推演可以得出各種定理,這系列的公理所推演出的結果是不互相矛盾的,這一系列的公理是否足夠推演出我們一般書中的那些結果呢?從邏輯上看它們最初是不完全     

積分學簡史

古代 積分學產生於求面積和體積的問題,古代東方學者早就知道一些由經驗獲得的很簡單的幾何圓形的面積與體積的测量法則,特別是還在紀元前2000年以前埃及人和巴比倫人就能近似地測出圓的面積(巴比倫人取π≈3,埃及人取π≈3.16)並且知道底為正方形的截斷角錐體體積的測量法則。古希臘科學首次地提出給與角錐及圓的測量法則以理論根據的問題;這是在數學中引進無窮一概念的原因。根據一系列原始資料的考據,積分方法的原則為紀元前五世紀生於阿布吉爾(?)的著名唯物哲學家德謨克里特所首次創立。顯然,德謨克里特是把物體看作由大量的微小部分所組成的,從這種觀點上看來圆錐是由極薄的具有不同的直徑的圓柱片一層層重疊起來的總體,德謨克里特作過許多有價值的發現;例如,他指出角錐體與圓錐體分別等於等高等底的角柱體或圓柱體的三分之一。但是他的證明不久就不再滿足數學嚴謹性的要求。     

中国数学會天津分會學術講演會纪要

中國數學會天津分會根據會員的意見,認為對於近似計算存在問题很多,很多教師過去都未加注意,有的教師去年講過貝爾曼著數學解析教程及加里寧著代數學教程(皆係張理京等譯)也發現很多不明確的問題,其他如中學的幾何物理,大學的許多課程的蘇聯教材中都很重視這點,天津分會根據這種情况遂於六月廿七日上午請中國科學院數學研究所研究員閔乃大同志作了一次報告。 閔乃大同志在報告中指出近似計算的重要性,計算數學和理論數學在處理問題中的區别,又详細解釋和比較上述兩書中許多名詞的含義,也指出一些翻譯文字的可能錯誤,詳細地解釋了絕對誤差,相對誤差舆近似數的關係,近似數的基本運算(加减乘除乘方開方求對數等)所發生的誤差問题。以後並單略介紹方程的近似解,並舉一突出的例子來喚起大家的注意,這是一個普通二元一次聯立方程,由这方程求出的解的誤差比這解本身的值還大,因此這種解是毫無實際意義的,最後在     

在算術教學中運用直觀原則的體驗

“直觀原則”是中學教學過程中重要教學原則之一;教學中直觀因素愈多,學生领會教材就愈順利也愈深刻。在教學中運用直觀原則是多種多樣的,算術教學也是這樣。因而,在算術教學中運用直觀原則,不應局限於實物的運用,只要是能够使教材或所講述的內容達到“直觀性”舆“具體性”的方式方法,就應加以運用和重視。一年來,在課堂教學中我們除掉運用必要的“實物教具”(如用模型說明三角形和圓形面積的公式等)外,又經常通過下列幾種方法來貫徹直觀原則: (一) 運用“圖線”以說明與指導學生解四則應用問題。 對於一些條件衆多,關係比較複雜的習題,最初,學生往往把握不住已知量和未知量之間的關係,因此在解題時不知從何着手,我們在指導學生解這類習題時,當學生明確了那是已知條件和要求的未知数以後,多籍助於“圖線”法,使習題中的各個量間的關係明確化。具體化,從而促進學生積極思考,發現解法的關鍵。     

对鑽研初中平面幾何的系統性與連貫性的两點體會

普希金教授曾教導我們:“普通學校教育的任務就是給學生系統的、深刻的知識,而不是給學生零碎的、片斷的知識,”我所担任的幾個班的學生的幾何知識就是不鞏固不系統的,學生是硬性的孤立的死記定理,以致於他們對知識領會不深刻、不透徹,容易忘記,這與不能發掘教材的系統性而使學生掌握系統全面的知識是有直接關係的,因此使栽在鑽研教材的時候特別注意了教材的系統性與連貫性,僅就我個人水平提出以下兩點體會: (一)對“平行四邊形”一節的體會:這節教材是在學生已學過平行線的知識基礎上來進行的,而且學生在算術中對平行四邊形及特殊的平行四邊形(矩形、菱形、正方形)已有初步的知識,這些幾何圖形的本身又具有强烈的直觀因素,因     

量

量——是基本的數學概念之一,隨著數學的發展,它的意義受到了一系列的擴張。 1.早在歐幾裏得的“幾何原本”中,就清楚地敍述了現在為了與其後的擴張區別而稱之為正的無向量的性質,這一原始的量的概念是長度、面積、體積、重量等較具體的概念的直接擴張,每種具體的量都和一定的較量物體或其他對象的較量方法有着聯繫,如在幾何學中,線段可以藉疊置來比較,這一比較則導致長度的概念:即若二線段完全重合則謂二線段長度相等;若置一線段於另線段的一部分上但不能遮蓋其全部時,則謂第一線段的長度小於第二線段,為了依照面積比較平面圖形或依照體積來比較空間物體所必需的更加複雜的方法是大家都知道的。與此相類似,衡量物體的輕重則導致重量的概念。按照以上所述,則在全部齊性量的系統範圍內(在全部長度的系統範圍內,或是全部面積、全部體積的系統範圍內)建立了不等關係:即彼此同屬於同類的兩個量,或是二者相等(a=b),或是第一個量小於第二個量(a相似文献   

論中学數学各种之間的联系

數学是什么?恩格斯曾經極其精闢的說过:“純粹數学的对象是現实世界的空間形式及數量關係,”又说:“我們的幾何以空間關係为出發点,而我們的算術和代數則以數量为出發點。”現在距离恩格斯時代已有好幾十年,近幾十年來數学方面又已有了非常偉大迅速的發展,我們所認識的現实世界的空間形式和數量關係日益包括更多更丰富,但是恩格斯的話还是正確的。 數學既然是研究現实世界的空間形式及數量關係,那末它的各科之間是不是彼此孤立的呢?要回答这个問題我們首先应該看一看現实世界的空間形式及數量關係的本身是否孤立的,斯大林曾經說过:“与形而上学相反,辯証法不是把自然界看作什么彼此隔离,彼此孤立,彼此不相依賴的各个对象或各个現象底偶然堆     

論黎曼測度V_m在常曲率空間S_(m+1)中的變形

<正> 在歐氏空間E_(m+1)中的安裝及變形問題在近一世紀的幾何學者的工作中得到了解决,而所確定的V_m E_(m+1)一般是不能變形的。就是說,能够變形的只是狹窄的一類超曲面.運用了外微分形式的方法,很詳細地綜合了這些工作,並且完全地給出     

洛必大法則的一個推廣

用來求無窮小或無窮大變量之此的極限的洛必大(G.F.de l′Hospitale)法則為我們所熟知,本文用幾何方法來證明此法則因而推廣此法則,最後並利用推廣後的法則說明它與極限論中一古典定理——施篤茲(O.S.Stolz)定理問的關係。§1. 洛必大法則的幾何證明洛必大法則有兩個,可叙述如下: 法則一如f(t)及g(t)連續於區間(a,b),且(?)而在這區間內部導數f′(t)及g′(t)都有限,且f′(t)≠0;如果(?)(有限或無窮大),則必(?) 這裹為了以後說話方便,將所有的極限都寫成了右極限,其實只要這一法則能够證明,那末     

希爾伯脫的“幾何學基礎”及其在問题的歷史發展中的地位(續)

歐幾里得的“原本” 歐幾里得(公元前約300年)的“原本”中包含幾何學基礎的系統的叙述,它的方式是:集成了距該時代總共約3個世耙在希臘的土壤上的數學發展。從那時起差不多封現代為止,“原本”被認為科學嚴密性的叙述體裁的模範;誰也沒有企圖過動手實行它的根本上的改編,而我們的中學教本直到現在基本上還是重刊了歐幾里得的“原本”。     

等分圓周法

分圓周為n等分,或與此有聯繫的關於作正多角形的問題,在學校裏的教科書中,構成了平面幾何作圖問題的一部份。教師教給學生的,是利用圓規和直尺,把圓周分為3、4、6等份的方法;有時還講把圓周分成10或5等份的方法,並把能否等分圓周的高斯檢驗法,介紹給學生。當準確的作圖不能做到時,教師們便介紹一種近似的利用量角器分圓周的方法,墨守着教科書的成法,他們常常僅作到這一步為止。利用幾何的方法是可以準確地分圓周為3、5、6、15、17、及257等份的,然而這裏並沒有一個統一的方法;分圓周為15等份的方法是這樣,而分圓周為5或6等份的方法又是那樣,所有的方法都得記住,這對學生有何益處呢? 正由於這樣,從學校裏畢業的人,幾乎在任何時候,誰也不用把圓周分為5、10、17等份的幾何方法,他們往往純粹只利用量角器來分圓周     

無窮小

無窮小是以零為極限的變量,對於這種變量引用普遍的極限定義可得如下的深入的定義:若對於任何指定的正數ε,變量y在其變化過程中達到這樣一個時刻,從該時刻起y的絕對值恒保持小於ε,則變量y稱為無窮小,如n依次取所有的自然數1,2,3,…时,變量為無窮小,因為當n>100時y<0.1,當n>10000時y<0.01,一般當n>1/ε~2时y<ε。若變量y的極限為有盡數a,则極限式limy=a相當於關係式lim(y-a)=0,即相當於差(y-a)為無窮小,因此我們也可以反過來:把無窮小的定義—特殊場合     

諾模学

諾模學在俄文叫Номография;是研究書線標值用作計算的一種學問,在淺顯的應用方面叫諾模術;也當譯為圖算法,其所書岀的圖叫算圖,亦即謂諾模圖。這種方法在我國工程界僅有而未事推廣。然而在蘇聯,是在廣泛地應用着的:高等工業學校;生產部門及軍政機關,……,到處使用着(莫斯科大學也開有諾模室)。我們知道,諾摸圖主要的是“列線圖”,即排列幾條(少则三條)直線或曲缐而各標以函數尺度的計算圖。畫着缐網的“網銘圖”也是其中的一種。列線圖亦多名共線圖。其使用的方法極簡單:用尺一比,就可得到關係式中幾個變數間的一組相應值來。其圖式有平行線的,乙字形的,三角形的,方形的;二直一曲的,一直二曲的,三曲的,……,說不可盡。於常見的十幾種圖式之外,有很複雜的圖式。很複雜的方程都可以用諾模算圖表示其變數之間的相應價值。在蘇聯,諾模術已不僅是一種計算技術了,而是已成為一種有科學體態的學科。譯者譯此短文,目的在讀者起來直追這門絕妙而大有用的學科。圖算學科之有助於祖國建設與社會主義事業,實不可限量!