张角定理及其应用

<正>一、张角定理设A、C、B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA、PC、PB上的点,线段AC、CB对点P的张角分别为a、β,且a+β<180°,则A、C、B三点共线的充要条件是:(sin(a+β))/(PC)=(sinα)/(PB)+(sinβ)/(PA).     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

一道立体几何题的两个拓展结果

题目:设α-l-β是锐二面角,点A∈α,点B∈β,直线AB与α、β所成的角分别是θ1和θ2,点A,B到棱l的距离分别是d1和d2,则d1:d2,等于()(A)cosθ1/cosθ2(B)cosθ2/cosθ1(C)sinθ1/sinθ2(D)sinθ2/sinθ1重新审视这道题会得到以下结论命题1设二面角α—l—β的平面角是θ,点A∈α,点B∈β,AB=a,直线AB与α、β所成的角分别是θ2和θ1,点A、B到棱l的距离分别     

坐标法·图形特征·三角等式

题目:已知Sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0(α、β、γ是任意实数),求证:sin3α+ sin3β+sin3γ=3sin(α+β+γ)、cos3a+cos3β+cos3γ=3cos(α+β+γ),此题在《数学通讯》1986年11期《问题解答》栏里用复数的有关知识进行了证明,一般资料上也是这样证明的,下面我从单位圆的角度给出一个简捷证法,     

构造函数巧证不等式题两例

例1在△ABC中三内角分别为α,β,γ,求证：sinα sinβ sinγ≤(33~(1/2))/2．证明在△ABC中有α β γ=π,要证的不等式可化为(sinα sinβ sinγ)/3≤(3~(1/2))/2=sinπ/3,即证(sinα sinβ sinγ)/3≤sin(α β γ)/3．构造函数y= sinx(0＜x＜π)其图像如图所示．     

图证三角等式二例

图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则     

关于角格点一些猜想的证明

文 [1 ]提出了 4 5个猜想 ,但笔者没有看出其规律 ,因而不能知道被省略的猜想 ,本文将证明文 [1 ]列出的全部猜想 .首先约定 ,本文中的 A,B,C,β,γ分别表示图 1中△ ABC的三个内角及∠ PBC,∠ PCB的度数 .定理 1　在图 1中 ,cot∠ PAB =sin Csin (β γ)sin ( B C) sinγsin ( B -β)- cot( B -β) .证明　在△ ABC,△ PBC中 ,分别运用正弦定理 ,得BCsin ( B C) =ABsin C,BCsin (β γ) =PBsinγ,所以　 AB =BCsin Csin ( B C) ,图 1　 PB =BCsinγsin (β γ) .在△ PAB中 ,再运用正弦定理 ,得ABsin(∠ PA…     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

数学问题解答

2008年10月号问题解答(解答由问题提供人给出) 1756实数α,β,γ满足α+β+γ=0,求u= sinα+sinβ+sinγ的最大值. (陕西省高陵县一中高凯庆710200)解由条件有u=sinα+sinβ-sin(α+β).不妨设0≤β<2π,而α∈R,则     

关于高超声速绕流问题的激波层方法

切尔诺依(ГГ.Черный)的高超声速绕流激波层的级数解法,不适用于(γ-1)/(γ+1)<<2/(γ十1)M2sin2β(γ=c_p/c_v为绝热指数,M为马赫数,β为激波倾角)的情形。本文只假定在激波邻近存在激波层,在此薄层内,气体密度很大,但不排除(γ-1)/(γ+1)<<2/(γ+1)M2sin2β的情形。     

用三面角公式求二面角大小

先介绍三面角公式：如图1,设O-ABC为一个三面角,∠AOB＝α,∠AOC＝β,∠BOC＝γ,二面角B-OA—C的大小为θ,则有cosθ=（cosγ-cos αcosβ）/sin αsinβ。     

端点相连的三条弦的性质

<正>端点相连的三条弦可分为几种情形,下面介绍它们的性质.情形1[1]如图1,AB、AC、AD是⊙O中依次的三条弦,记∠CAD=α、∠BAC=β,则AC·sin(α+β)=AB·sinα+AD·sinβ.证明连接BD、BC、CD,由托勒密定理得AC·BD=AB·CD+AD·BC 1设⊙O的半径为R,显然有     

四边形内角的正弦性质

克罗地亚的高中是四年制的,2008年克罗地亚国家数学竞赛州赛三年级试题中有一题如下:试题设α,β,γ为某三角形的三个内角.证明:若α,β,γ满足sin3α+sin3β+sin3γ=0,则它们     

妙解一则

问题已知关于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α、β,求cos(α+β)的值.解由题意知,点A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)在直线3~(1/2)x+y+a=0上,同时又在圆x2+y2=1上.直线AB的斜率为k=-3~(1/2),因而     

两道三角题的多变

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册p219有这样两道题目: sinα+Sinβ+sinγ-sin(α+β+γ)=4nin(α+β)/2sin(β+r)/2sin(r+α)/2cosα+cosβ+COSr+COs(α+β+r)=4cos(α+β)/2cos(β+r)/2cos(r+α)/2 利用和差化积公式即可证得,这里从略。下面我们把(1)、(2)作为基本关系式,对a、β、γ作某种代换,就可变换出一些常见的三角恒等式。为节省篇幅,这些恒等式的推证过程请读者自己完成。     

椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用

求椭圆、双曲线离心率一般涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,可先找出含a,b,c的等式关系,再求离心率·在教学过程中,笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的“神奇”效果!现用定理的形式叙述并证明·1离心率公式定理1(如图1)设椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是椭圆的离心率,则有sinαsin+γsinβ=e·图1图2证明在△PF1F2中,|sPinFα2|=|sPinFβ1|=|Fsi1nFγ2|,则|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|Fsi1nFγ2|,∴sinα2+asinβ=si2ncγsinαsin+γsinβ=22ac=e·定理2(如图2)设双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P是双曲线上异于实轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是双曲线的离心率,则有|sinαsin...     

单位圆内接正三角形顶点坐标的一个性质

设A,B,C为单位圆x2＋y2=1上的三个点,且△ABC为正三角形,则可设A,B,C的坐标分别为A（cosα,sinα）,B（cosβ,sinβ）,C（cosγ,sinγ）．若k为整数则有如下结论：     

借助于向量代数知識証明几个平面三角公式

1.試証正弦定理 a/sin A=b/sin B=c/sin C。 証。如图1作AB的垂綫DC,因为封閉綫段在任意軸上的投影的代数和为零,又因为AB垂直于DC,其在DC上的投影为零;而AC在DC上的投影为b sin A,CB在DC上的投影为-a sin B,     

对一道例题的再思考

文[1 ]中王佩其老师分析了例1因为没有挖掘隐含条件而致错.其实,该题我们也可以这样巧妙地求解:构造三角形,通过三角形的性质达到问题解决.例1　(文[1 ]例1 )已知锐角α,β,γ满足sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,求α- β的值.解　由题意可得sinα+sin(π+ β) +sin(π-γ) =0 ,cosα+cos(π+ β) +cos(π-γ) =0 ,设A(sinα,cosα) ,B(sin(π+ β) ,cos(π+ β) ) ,C(sin(π-γ) ,cos(π-γ) )是△ABC三个顶点的坐标,则易知原点O ( 0 ,0 )是△ABC的重心.又因为△ABC的三个顶点到原点的距离都等于1 ,所以O ( 0 ,0 )还是△ABC…     

用向量方法证明和差化积公式

公式1/2（sinα＋sinβ）=sinα＋β/2 cosα-β/2 1/2（cosα＋cosβ）=cosα＋β/2cosα-β/2