用导数三探零点问题

方程f(x)=0的根也称为函数f(x)的零点,研究方程f(x)=0的根就是研究函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往被压轴.在2011年高考冲刺复习中,如     

利用函数图象确定零点个数

<正>在高中必修课程体系中,判断函数零点的个数属于必学内容之一,函数零点个数的判断比较抽象,需要深入理解,与方程有关的根和函数的零点个数的内容主要包括两个理论以及由这两个理论推广出的一个理论.理论1:函数y=f(x)有零点?方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点.     

超越方程a~x=x(a>0且a≠1)根的分布

笔者曾在教学中遇到这样一个问题：当a＞1时,函数y＝ax的图象与函数y＝x的图象有无交点．对于中学生来讲,问题的难点在于：当a＞1时,如何取a使函数y＝αx的图象与函数y=x的图象有交点．问题的本质是超越方程ax=x的根的分布．本文将对这一问题利用分析的方法作深人地探讨．1根的分布定理1方程a"一x的根的分布：l）当。Me｝时,方程。x＝x无解;2）当a-e。时,方程a"一x有唯一解x-e;3）当1＜。＜e5时,方程。x一x有且只有两根今1,夸2,且占IE（工,庄）,主ZE（庄,十一）;4）当OMaMI时,方程a"一x有唯一解z,iE（0,1）．证明引进…     

数形结合在函数与方程应用中的原则

<正>方程f(x)=0的根也称为函数f(x)的零点,研究方程f(x)=0的根就是研究函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.对零点问题的研究集中体现了数形结合的思想方法.本文举例谈谈数形结合在函数与方程中的应用中,需要把握主要的两个原则:简单性原则和等价性原则.方程f(x)-g(x)=0的解,可化为方程f(x)=g(x)的解,也可看作函     

综合题新编选登

题170已知两个二次函数:y=f(x)=ax2 bx 1与y=g(x)=a2x2 bx 1,函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x11时,设x3,x4是方程ax2 bx 1=0的两实根,且x31时,试判断x1,x2,x3,x4的大小关系;解1)由于函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x10,∴|b2a|>1,即b2a>1或b2a<-1,∴-b2a<-1或-b2a>1成立,于是得抛物线y=f(x)的对称轴x=-b2a在(-1,1)的左侧或右侧,故y=f(x)在(-1,1)上是单调函数.2)由于x1…     

用导数三探零点问题

方程f（x）=0的根也称为函数f（x）的零点,研究方程f（x）=0的根就是研究函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标．对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往“被压轴”．在2011年高考冲刺复习中,如何在零点题型上有所突破？导数是研究函数的图象与性质的最重要工具,因此解决有关方程根的分布或函数零点问题,导数方法是首选．本文以一道模拟题解法的三次改进,例说如何用好导数工具,解决函数零点问题．     

数形结合变视角 合理分类定乾坤——2022年全国高考乙卷导数压轴题解法研究

<正>1试题呈现(2022年全国高考乙卷第21题)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe^-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围．本题第(1)问考查函数在某点处的切线问题,利用导数的几何意义就可以解决．第(2)问考查的是函数在两个区间上的零点问题,解决函数零点问题的一种方法就是通过研究函数的单调性观察图象与x轴交点的个数,另一种是通过分离参数后探究两个函数图象交点的个数．     

从函数零点谈起

我们把使函数y=f（x）的值为0的实数x称为函数y=f（x）的零点．由此可以看出,函数y=f（x）的零点,就是方程f（x）=0的实数根．从图像上看,函数y=f（x）的零点,也是它的图像与x轴交点的横坐标．     

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b.则a b=m.经类比探讨,笔者得到如下结论.定理若方程x·f(x)=m和x·f-1(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.该定理的证明用到类似文[2]的引理:若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为P(x0,y0),则点P′(y0,x0)一定是函     

幂指函数图象的交点问题

在教学函数时,有这样一个问题:函数y=2~x与y=x~2图象的交点个数为()A.1B.2C.3D.以上都不对这是一个指数函数与幂函数图象的交点问题.大多数学生通过画草图得出第一象限和第二象限各有一个交点,选B.其实上面两个函数图象在第一象限内有两个交点(2,4)、(4,16),正确答案应为C.这说明仅凭草图找交点是很容易出错的.那么,一般的指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数y=xn(n∈Q)图象的交点情况又如何呢?大家知道,这两个函数图象的交点问题实际就是方程ax=xn根的问题.显然当n=0时,方程ax=x0没有实根,函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x0图象无交点.下面我…     

不动点的性质及应用

本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略,权当对教材的补充.一、函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解(1)代数意义:若方程f(x)=x有实根x0,则y=f(x)有不动点x0.(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根据情况进行讨论,同时结合图形来求解有关不动点的问题.二、函数不动点的性质性质1:函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),-1不动点.证明:由f(x0)=x0,可得f-1(x0)=x0,所以x0是y=f-1(x)的不动点.性质2:定义在R的…     

数形结合解复合函数的零点个数的常见解法

<正>本文通过利用函数图像的方法研究复合函数y=g(f(x))的零点问题,即复合函数方程g(f(x))=0的根,令u=f(x)(内层方程),这样g(f(x))=0就转化成g(u)=0.当外层方程g(u)=0容易求解时,可以先解方程g(u)=0,再解内层方程u=f(x),这样方程的总个数即为复合函数y=g(f(x))的零点个数.     

一类问题的纠错为什么这么难——关于函数f(x)=log_2g(x)的值域为R的教学

问题已知函数f(x)=log_2(x~2+kx+2) (x∈R)的值域为R,求实数k的取值范围。错解要使函数f(x)的值域为R,只需g(x)= x~2+kx+2>0对一切x∈R恒成立,所以有△=k~2-8<0,解得-2 2~(1/2)相似文献   

三次方程实根的个数初探

在初中数学中,我们曾利用判断式来判断二次方程根的个数.那么,对于三次方程的根的个数,该如何求呢?利用导数,便可以解决.下面讨论:方程ax3+bx2+cx+d=0(a>0)的根.分析函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与x轴有几个交点,方程便有几个实根.解由题意得f′(x)=3ax2+2bx+C.     

从一道题看TI-92图形计算器的作图功能

有这样一道题:已知方程 2x-1=-2x2-α有两个不等实数根,求α的范围.在讲解这一道题时,笔者采用了如下方法: 解原方程等价于2x=-4x2-2α, 设y1=f1(x)=2x,y2=f2(x)=-4x2-2α. 要使原方程有两个不等实根,则需f1(x)与f2(x)的图象有两个不同交点,如图1所示. 由图可知:-2a>1,即α<-1/2.     

函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的非连续解

讨论了函数方程f(x y)=f(x) f(y)解的性质,给出了方程的一个非连续解及其图像特点     

利用导数探究方程的根的个数

<正>利用导数可判断函数的单调性、求可导函数的最值与极值、还可判断函数的图象交点及方程的根的个数等.下面就如何利用导数探究方程的根的个数问题举例说明:例1已知函数f(x)=-x~2+8x与g(x)=6lnx+m,问:是否存在实数m,使得方程g(x)-f(x)=0有且只有两个不同的正实根.若存在,求实数m的值,若不存在,说明理由.     

y=f(a+x)的特征确定y=f(x)的哪些性质?

函数y=f(a+x)(a≠0,以下不特别说明都有这样的要求)是由函数y=f(x)经过简单的函数复合得来,它们之间从性质到图象都有着密不可分的关系,试题常以告诉y=f(a+x)的性质,研究y=     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

一道函数零点问题的多视角求解

题目已知函数f(x)=lnx+(1-m)x在区间[1,e2]内有且仅有一个零点,则实数m的取值范围是.本题是一道与函数零点有关的参数取值问题,函数f(x)在某区间上有且仅有一个零点,就是对应函数的图象与x轴在区间内有一个交点,也是对应方程在该区间内有唯一的实数解解决本