两道三角题的多变

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册p219有这样两道题目: sinα+Sinβ+sinγ-sin(α+β+γ)=4nin(α+β)/2sin(β+r)/2sin(r+α)/2cosα+cosβ+COSr+COs(α+β+r)=4cos(α+β)/2cos(β+r)/2cos(r+α)/2 利用和差化积公式即可证得,这里从略。下面我们把(1)、(2)作为基本关系式,对a、β、γ作某种代换,就可变换出一些常见的三角恒等式。为节省篇幅,这些恒等式的推证过程请读者自己完成。     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

两角和的正弦及余弦的几何解释

三角学中两角和的正弦公式及余弦公式为 sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ, cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。这两个公式是一切三角公式的基础,从它們可以导出两角差的公式、倍角公式、牛角公式,甚至单角公式。使学生正确而牢固地掌握上述公式,是非常必要的。几何解释并不是严格証明,因为所列公式中,α与β为任意角,而我要介紹的几何解释是α,β都为銳角時的情形。     

斯坦纳定理的又一个证明

<数学通报2005年第3期数学问题解答栏1539题为:"已知:α、β为锐角,且sin2α/sin(2α+β)=sin2β/sin(2β+α).求证:α=β".……     

两角和正切公式与韦达定理

在两角和正切公式中有tanα+tanβ与tanαtanβ,而韦达定理中有两根和x1+x2与两根积x1x2.由此可知两角和正切公式与韦达定理有内在联系,二者的结合点是tanα、tanβ是某一元二次方程的两根,在解题中,若能够注意到这点,能迅速找到切入点,对提高解题能力大有好处,现举例说明.例1已知方程x2+6x+7=0的两根为tanα、tanβ.,求证:sin(α+β)=cos(α+β).分析要证sin(α+β)=cos(α+β),可     

一道三角题的直接证明

题目:已知:α,β∈(0,π/2),且sin(α+β)=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2. 　　此题一般是结合三角函数单调性用反证法加以证明,笔者给出一个比较简单的直接证明.……     

《数学通报》第2044号问题的两种简证及探究

《数学通报》数学问题解答栏目第2044号问题是:α、β为锐角,且(1+sinα-cosα).(1+sinβ-cosβ)=2sinα.sinβ.求证:α+β=π2.问题提供人给出的解答中变换较多,运算繁琐,思路极不自然本文给出这一问题的两种简     

简单明快又一解

本刊1992。2《优化解题过程的方法》给出的一些解题方法,确实多富精巧解法,给人以启迪。该文例3 已知:α、β∈(-π/2,π/2), 求证:|(sinα sinβ)/(1 sinαsinβ)|<1。夏季刊文:如果f(x)=1g(1-x)/(1 x), 则f(a) f (b)=f((a b)/(1 ab))成立。 (*) 构造函数,由f(sinα) f(sinβ) =1g (1-sinα)/(1 sinα) 1g(1-sinβ)/(1 sinβ)=… =f(sinα sinβ)/(1 sinαsinβ)确定|(sinα sinβ)/(1 sinαsinβ)|<1。巧则巧矣,但“联想到”(高中《代数》第一册P_(70))的“习题”*,这条“蹊径”未免有点偏狭。笔者下面提供一种解法,方法比原解法更     

又谈一道三角题的证明

题目已知:α,β∈(0,π/2),且sin(α+β)=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2.此题是1983年第17届全苏数学竞赛十年级试题,尽管题目条件比较简单,但论证角度非常丰富,很多经典的书籍和期刊文章对其均有一定的研究,文[1]对此题进行了如下的剖析(剖析1),并给出了一个解(解法1),笔者从这个剖析和解展开研究,得到一些思考结果,整理如下,与大家交流.     

一类离心率范围问题的统一结论

1　题目已知椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,F1,F2 是焦点 ,如果C上存在一点P ,使∠F1PF2 =α(0° <α<180°) ,则椭圆离心率的范围是sin α2 ≤e <1.证明　方法 1:设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,∠PF2 F1=θ,则∠PF1F2 =180° - (α +θ) .在△F1PF2 中 ,根据正弦定理得 :msinθ=nsin[180° - (α +θ) ]=2csinα,根据比例性质及诱导公式得m +nsinθ +sin(α +θ) =2csinα.因m +n =2a ,故 2asinθ +sin(α +θ) =2csinα,所以e =ca =sinαsinθ +sin(α +θ)=2sinα·cos α22sin α2 +θcos α2=sin α2sin(α2 +θ)≥sin α2 ,当…     

一道高考题的多种证法隐含的数学文化

1 引言“关注学生数学文化意识的养成、努力推进数学文化教育,已经成为当今数学教育改革的一个重要特征.”[1]的确,近几年关于中学数学教育与数学文化的研讨和实践越来越多.上至大学教授的理论与案例研究[2],下至中学一线教师的课堂实践,包括笔者也曾作过尝试[3].然要想在中学被普通教师重视,并进行大量实践,还需要“指挥棒”的引领.令人欣喜的是近几年高考题中,已开始有意识地向这方面进行引导.如2009年湖北卷最后一个选择题,便是直接采用人教版教材中的引入例子:毕达哥拉斯学派的“形数理论”进行出题.而2010年四川卷直接出大题,如第19题:(1)①证明两角和的余弦公式C(α+β):cos (α+β)=cos αcos β-sin αsinβ;②由C(α+β)推导两角和的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcosβ-cos αsinβ.(2)略.     

高中代数一的两道习题

高一代数中有这样一道习题:已知f(x)=1g1-x/1+x,求证f(a)+f(b)=f(a+b/1+ab)。这是一个错题,如在等式右边中取a=5,b=5,则a+b/1+ab=10/26。在函数的定义域(-1,1)中,而f(-5)、f(5)均不存在(无意义),即等式不能成立。因此,本题还须增加-1相似文献   

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ=12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ =12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ =12 〔cos(α+ β) +cos(α- β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α + β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题( 1 )同新课程卷 ( 2 )( 2 )圆锥曲线 ρ=8sinθcos2 θ的准线方程是(A) ρcosθ=- 2 (B) ρcosθ=2(C) ρsinθ=- 2 (D) ρsinθ=2( 3)同新课程卷 ( 3)( 4 )…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）

第Ⅰ卷(选择题　共 5 0分 )参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ=12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ=12 〔cos(α+ β) +cos(α - β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α+ β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ +c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题 :本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 5 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1 )设集合A={x｜x2 - 1 >0 },…     

考点12 三角函数的化简与求值

1.(全国卷,1)已知α为第三象限的角,则α2所在的象限是().(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限2.(北京卷,5)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是().(A)sin(α+β)>sinα+sinβ(B)sin(α+β)>cosα+cosβ(C)cos(α+β)相似文献   

正弦平方差公式及应用

高中数学第一册（下）（人教版）P45 7题（4）： 求证： sin（α＋β）sin（α-β）=sin^2α-sin^2β. 利用两角和差的正弦公式易证上式,此式对任意的α、β均成立．     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

坐标法·图形特征·三角等式

题目:已知Sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0(α、β、γ是任意实数),求证:sin3α+ sin3β+sin3γ=3sin(α+β+γ)、cos3a+cos3β+cos3γ=3cos(α+β+γ),此题在《数学通讯》1986年11期《问题解答》栏里用复数的有关知识进行了证明,一般资料上也是这样证明的,下面我从单位圆的角度给出一个简捷证法,     

对一道课本习题的多种证法探究

<正>试题(北师大版高中数学必修5第57页第1题)如图1,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点.设∠APC=α,∠BPC=β.求证:sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证法1正弦定理记PB=a,PA=b,PC=l,AC=m,BC=n.在△PAC中,sinα/m=sinA/ l,在△PBC中,sinβ/n=sinB/l.所以sinα=msinA/l,sinβ=nsinB/l.所以sinα/a+sinβ/b=msinA/la+nsinB/lb=m/l·sin(α+β)/m+n+n/l·sin(α+β)/m+n=sin(α+β)/m+n·m+n/l=sin(α+β)/l,     

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释

在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又　 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴　cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山…