Su alcune soluzioni parametriche delle equazioni del moto intorno a un punto fisso di un solido pesante asimmetrico

Sunto. In questa nota si considerano le equazioni del moto intorno a un punto fisso di un corpo rigido pesante, nel caso in cui il baricentro appartenga a uno dei piani principali dell'ellissoide d'inerzia relativo al punto fisso (piano xy). Si ravvisa la possibilità di una particolare soluzione parametrica per mezzo di un parametro u tale che du=rdt, essendo r la componente della velocità angolare secondo l'asse z, e nell'ipotesi che il coseno direttore γ₃ secondo l'asse z della verticale discendente, sia della forma: γ₃=α₀(Ax₀p+By₀q)r, con α₀ costante, mentre gli altri simboli hanno il solito significato. Si dimostra che sono possibili soltanto due casi: Il 1^o é quello in cui il baricentro appartiene a uno degli assi x, y (y₀=o, oppure x₀=0), e questo corrisponde a un caso di integrabilità segnalato da Stekloff; il 2^o è quello in cui l'asse z è asse intermedio dell'ellissoide d'inerzia e la retta baricentrale coincide con l'intercezione del piano xy con uno dei due piani ciclici dell'ellissoide d'inerzia passanti per l'asse z. In questo secondo caso il moto si riduce a una rotazione uniforme del solido intorno a tale retta baricentrale disposta verticalmente, retta che appartiene al cono di Staude. Entrata in Redazione il 15 maggio 1975.     

On the index of elliptic partial differential operators inR n

Summary Let A= be an elliptic differential operator inR _u, If, for |α|=l, the coefficients a_α are ? nearly constant ? and, for |α|<l, they tend to zero at infinity with a certain swiftness, it is proved that A is a Fredholm operator with index_x(A)=0 between a suitable weighted Sobolev space M contained in W^l,p (R n) and L^p(R ⁿ, (1+|x|)^lp)== . It is shown, by counterexamples, that the above result, holds only if n>l, p>n/(n−l) and that isomorphism results can be obtained, in general only if the coefficients a_α(|α|<l) are assumed to be ? sufficiently small ? also on compact sets. Then a Sturm-Liouville type problem is studied and a class of negative and falling off at infinity potentials V(x) is constructed in such a way that the Schr?dinger operator H=−Δ+V(x), in L²(R ⁿ), has a zero eigenvalue.

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Sunto Sia un operatore differenziale ellittico inR ⁿ. Se, per |α|=l, i coefficienti a_α sono ? quasi costanti ? e, per |α|<l, tendono a zero all'infinito con una certa rapidità, si dimostra che A è un operatore di Fredholm con indice_X(A)=0 tra un opportuno spazio di Sobolev con peso M contenuto in W^l,p(R ⁿ) ed L^p(R ⁿ, (1+|x|)^lp)== . Si prova, mediante controesempi, che tale risultato è valido solo se n>l, p>n/(n−l) e che teoremi di isomorfismo si possono ottenere, in generale, solo se si assume che i coefficienti a_α (|α|<l) sono ? sufficientemente piccoli ? anche su insiemi compatti. Si studia quindi un problema del tipo Sturm-Liouville e si costruisce una classe di potenziali V(x) negativi e convergenti a zero all'infinito, tali che l'operatore di Schr?dinger H=−δ+V(x) in L²(R ⁿ) abbia un autovalore nullo.

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Entrata in Redazione il 10 agosto 1977.

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Work supported by C.N.R. (G.N.A.F.A.).     

Sul problema preliminare di una classica questione di calcolo delle variazioni

Sunto L'Autore fa la trattazione rigorosa del problema preliminare relativo alla classica questione di minimizzare l'integrale , (n>0). Fissato un puntoP ₀ del piano, determina l'insiemeE nel quale bisognerà assegnare un secondo punto P, che possa essere congiunto aP ₀ mediante un estremale Γ relativa a ℑ. Dà l'equazione della frontiera Γ* diE e ne studia l'andamento e le relazioni con le estremali uscenti daP ₀. Dimostra che perP ₀ e per un puntoP diE passa una sola estremale (non estremante) seP è in Γ*, ne passano due seP è interno aE, e assegna il criterio per decidere quale delle due può realizzare il minimo per ℑ.     

Contributi alla topologia differenziale delle coppie di calotte del 3o ordine tangenti

Sunto In uno spazio numericoX _n si considera una coppia di calotte superficiali o tridimensionali det 3^o ordine tangenti nel loro centro comune e dopo avere esteso ad essa la nozione di giacitura principale, in relazione ai possibili valori della dimensione k di questa si studiano le proprietà topologiche della coppia di calotte. Ci si limita ad esaminare i casi in cui k assume il valore minimo, mentre si studia in modo completo il caso di due calotte superficiali del 3^o ordine aventi in comune una calotta di 2^o ordine. Alcuni risultati vengono estesi al caso di due calotte d'ordine s aventi in comune una calotta d'ordine s-2. Vengono fatte infine applicazioni nell'ipotesi che le calotte in esame siano immerse in uno spazio proiettivo A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo Scientifico     

La risoluzione apiristica delle congruenze cubiche

Sunto. L'A. in una precedente Memoria degli ?Annali ? ha dimostrato che alle congruenze cubiche può assegnarsi la forma normalex ³+ax+a ≡ 0 (mod.p) conp primo, ed ha dato una formula apiristica di risoluzione nel caso che le tre radici della congruenza non abbiano lo stesso carattere quadratico modulop. è ripresa ora la questione e l'A. dimostra che la congruenza proposta può sempre trasformarsi linearmente in un'altra le cui radici non hanno lo stesso carattere quadratico modulop. Nel casop=6h+7, e nell'ipotesi che le tre radici della congruenza non abbiano lo stesso carattere cubico modulop, l'A. trova una nuova formula risolutiva della congruenza. Segue infine l'estensione del procedimento diNewton per la risoluzione approssimata delle equazioni alla risoluzione delle congruenze modulop ⁿ conn>2.     

Spazi\mathfrak{L}^{(p,\theta )} (\Omega , \delta ) e loro proprietà(Ω, δ) e loro proprietà

Sommario Si definiscono gli spazi , dove δ è una metrica inℝ ⁿ non necessariamente euclidea, e si generalizzano dei risultati di Campanato e Meyers relativi al caso della metrica euclidea. Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo di RicercaC del Comitato Nazionale per la matematica del C.N.R.     

Sul problema di Goursat per le equazioni del tipo iperbolico non lineari

Sunto Si considera l'equazione alle derivate parziali del secondo ordinedi tipo iperbolico non lineare: (1) F(x, y; z; p, q; r, s, t)=0 (F _s ²−4F _r F _t >0). Per tale equazione si risolvecon un nuovo metodo il problema di Goursat, cioè si dimostra cheesiste uno e un solo integrale della (1), che assume valori assegnati su due archi di curve passanti per uno stesso punto. Si considerano separatamente il caso in cui le due curve si incrociano nel punto commune e quello in cui hanno un estremo in comune, e si studia il campo d'esistenza dell'integrale.     

Una estensione del teorema di Fabry-Pólya-Ricci relativo al punto singolare delle serie di potenze

Sunto Si stabilisce una condizione sufficiente affinchè il punto z = 1 sia singolare per la serie Σ a_nzⁿ (di raggio 1); tale condizione tiene conto della cosiddetta ? sopra-emisimmetria ? per le componenti dei coefficienti appartenenti ad una successione di tratti, consente eccezioni alla sopra-emisimmetria e consente inoltre la posízione eccentrica generica per la coppia di componenti a somma preponderante. Nella forma generale della condizione si inquadrano, come casi particolari, una buona parte delle proposizioni note sull' argomento: in particolare tutte quelle che tengono conto della sopra-emisimmetria.

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Summary A sufficient condition is fixed in order that point z = 1 may be singular for the series Σ a_nzⁿ (radius 1): such condition, while keeping into account the so-called ? over-skewsymmetry ? for the components of the coefficients belonging to a succession of ? intervals ? makes it possible to have both exceptions to the over-skewsymmetry and an eccentric generical position for the couple of components giving the higher sum. The general form of the condition embraces, as particular cases, the greatest part of the propositions known on the argument: expecially the ones keeping over-skewsymmetry into account.

     

Equazioni ellittiche non variazionali a coefficienti continui

Riassunto Si considera un'equazione ellittica non variazionale a_aD^au=f a coefficienti continui in un apertogW di ℝⁿ e si dimostrano certe proprietà locali delle soluzioni forti dell'equazione medesima nell'ipotesi che f appartenga allo spazio di Morrey L ^2,λ(Ω) o allo spazio di John-Nirenberg ℰ(Ω). Analoga indagine è svolta supponendoΩ=ℝ ₊ ⁿ e supponendo che u verifichi sull'iperpiano x_n=0 condizioni di Dirichlet omogenee. Ricerca svolta nell'ambito dei Contratti di Ricerca del Comitato per la Matematica del C.N.R. Entrata in Redazione il 17 febbraio 1970.     

Su una particolare classe di funzioni tensoriali di un tetravettore e sulla conseguente interpretazione dell'elettromagnetismo diMaxwell-Lorentz

Sunto Si estende dapprima allo spazio euclideo a quattro dimensioni e poi allo spazio-tempo pseudoeuclideo la particolare classe di funzioni tensoriali di un vettore che, in una memoria precedente dello stesso autore, era stata considerata limitatamente allo spazio euclideo tridimensionale. Tali tensori godono della proprietà che al mutare del sistema di riferimento le espressioni analitiche delle nuove componenti del tensore, scritte rispetto alle nuove componenti del vettore, conservano l'invarianza formale. L'analisi di tali funzioni tensoriali mette in evidenza che le espressioni analitiche delle loro componenti risultano indeterminate a meno di un piccolo numero di funzioni del solo modulo del vettore, chiamate funzioni di distanza (f. d. d.). Dall' attuale analisi risulta che il numero delle f. d. d. atte ad individuare un tensore dello stesso ordine diminuisce con l aumentare del numero delle dimensioni dello spazio. Così per il tenore del 2⁰ ordine si hanno tre funzioni di distanza nell' S₃ e due nell' S₄. Per il tensore del 3⁰ ordine si hanno 7 f. d. d. nell' S₃ e 5 nell' S₄. Il tensore q_{l, m, n} emisimmetrico negli indici l ed n è individuato nello spazio-tempo da una sola f. d. d. Nell' ultima parte della memoria si cerca un' interpretazione dell' elettromagnetismo di Maxwell-Lorentz mediante le dette funzioni tensoriali nello spazio-tempo. Si compone il detto tensore emisimmetríco q_{l, m, n} con il tetraelemento di linea oraria percorsa da una carica puntiforme in moto e si integra lungo la linea oraria. Il detto tensore q_{l, m, n} è funzione, appartenente alla classe in considerazione, del tetrasegmento che unisce il punto-evento in cui si trova la carica con il punto-evento in cui si vuole calcolare il campo elettromagnetico da essa generato. Scegliendo opportunamente l' unica f. d. d. che individua q_{l, m, n} è possibile ottenere il tensore elettromagnetico generato dalla carica. Si riesce così ad isolare l' aspetto geometrico dell' elettromagnetismo di Maxwell-Lorentz dall'aspetto analitico, che consiste nella particolare f. d. d. del tensore elettromagnetico q_{l, m, n}.     

Un metodo numerico per la determinazione del carico critico nelle strutture lineari

Sunto L'impostazione energetica del problema dell'instabilità dell'equilibrio porta ad un problema variazionale: di determinare cicè una funzione η (configurazione) che renda minimo un rapportoK (carico critico). Tale problema conduce a sua volta ad un'equazione differenziale del 2^o ordine difficilmente risolubile nei casi pratici. Oppure si può ricorrere a due metodi approssimati: il metodo diRitz e il metodo delle successive approssimazioni. Questi metodi, che pure comportano notevoli difficoltà se condotti per via analitica, trovano un'efficace applicazione se le configurazioni η vengono rappresentate numericamente, nel modo illustrato nel testo. L'errore inerente alla rappresentazione numerica, per sua natura discontinua (divisione della struttura in intervalli finiti) viene pressochè eliminato con l'introduzione di un termine correttivo. Nel corso della Nota viene anche illustrata la seconda espressione del carico critico nel caso di aste compresse in sommità, e viene dimostrato perchè tale espressione porti a risultati più approssimati.     

Ricerche di Calcolo delle Variazioni

Sunto L'Autore mostra dapprima come sia possibile il sostituire, in un caso particolare, la funzione con un' altra più semplice; inoltre come mediante questa nuova funzione, oltre che mediante la funzioneE diWeierstrass, sia possibile applicare i metodi diretti del prof.Tonelli alla ricerca dell'estremo di un integrale della forma ds. Infine mostra, per tale caso particolare, un'interessante conseguenza geometrica delle equazioni diEulero.     

Fondamenti della geometria sulle varietà algebriche

Sunto Vengono qui continuaté le ricerche dell'Autore, dal 1909 in poi, intorno alla geometria sopra una varietà algebrica del corpo complesso e si costruisce in particolare una esauriente teoria delle irregolarità della varietà, fondata sia sopra una loro definizione geometrico-topologica, come sopra una loro definizione trascendente, stabilendosi inoltre l'equivalenza delle definizioni. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Questa Memoria, preparata in occasione del giubileo scientifico del CollegaGiovanni Sansone, ed a lui dedicata, vuole anzitutto attestare la mia, anzi la nostra gratitudine, verso chi mi è stato efficientissimo Condirettore per tanti anni, fin da quando cioè, per una deplorevole disposizione, restai solo nel Comitato Scientifico degli ? Annali ?, divenendone automaticamente, senza mia volontà, unico Direttore. Il Prof.Sansone fu il primo, in ordine di tempo, che scelsi per associarlo a me nella Direzione dell'antico e celebrato periodico. Con lui, a nostra volta, scegliemmo d'accordo, a mano a mano, per successive cooptazioni, gli altri Colleghi. All'abilità e alla solerzia tecnico-organizzativa di lui, siamo quasi interamente debitori dell'odierno prestigio e dell'attuale diffusione del nostro Periodico, oggi patrimonio prezioso, materiale e morale, della matematica italiana. La Memoria è stata preannunciata da una I Nota riassuntiva, contenente però quasi tutto l'essenziale, pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, seduta del 9 maggio 1959, e da una II Nota pubblicata nei Rendiconti della stessa Accademia, seduta del 14 settembre 1959. I fondamenti della parte più moderna della geometria sopra una varietà (dell'ordinario corpo complesso) i cui inizi spettano, come ben si sa, aNoether, furon posti in luce dalle seguenti Memorie dall'A. e da quelle di altri, con esse più o meno immediatamente collegate. Citazioni più circostanziate trovansi nelle Memorie cui alludiamo dell'A., e cioè:Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: I contributo, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1909. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: II Contributo, Annali di Matematica, 1951. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: III Contributo, Annali di Matematica, 1956. Ivi son richiamate anche le Note preliminari dei Comptes Rendus, 1955, 1956, sulle forme differenziali di 1^a specie. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: IV Contributo. La teoria delle irregolarità delle varietà algebriche, Rend. Acc. Naz. dei Lincei, 1956. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: V Contributo. Ancora sulla teoria delle irregolarità, Memorie dall'Accademia Nazionale dei XL, 1957–58. I risultati della presente Memoria potranno essere confrontati con quelli conseguiti daE. Marchionna nell'Appendice ch'egli, aderendo alla mia richiesta, ha aggiunte alla fine del mio Trattato citato nella nota (²) a piè della pag. 3 della presente Memoria (precisamente l'Appendice diMarchionna va da pag. 395 in poi). Il Trattato ha potuto essere completamente stampato, mercè la solerte cooperazione di lui, sia pel coordinamento d'una parte della materia, come per la correzione d'una buona metà delle bozze del volume, ch'egli ha preso in consegna quando il dattiloscritto non era neppure composto tipograficamente per intero. Per tutto ciò rinnovo qui al Prof.Marchionna l'espressione della mia viva gratitudine, alla quale si associeranno di certo quanti troveranno nel volume qualcosa di utile pei progressi della geometria algebrica, sia nel dominio classico, come in quello astratto. A proposito dei risultati contenuti nell'Appendice IV, devo ricordare che la relazione fra la somma dalle due ultime irregolarità diV _d, la deficienza del sistema canonico parziale staccato sopra una ipersuperficieE elementare, dal proprio sistema aggiunto |E' |, nonchè la sovrabbondanza del sistema |E' | viene conseguita pure per via algebrico-geometrica, diversa da quella qui esposta, nella pag. 429 dell'Appendice predetta e precedentemente nel lavoro diMarchionna Sul teorema di Riemann-Roch, ecc. (Nota III), Lincei, 1958, p. 673. Una delle vie indicate daMarchionna, onde pervenire alla relazione cui s'allude, presuppone tuttavia, in un secondo tempo, il teorema (diKodaira) di regolarità dell'aggiunto. Questosecondo modo di deduzione permette di ottenere più rapidamente il risultato, ed ha il vantaggio di conseguirlo più in generale, in relazione ad una generica ipersuperficieA non singolare, tracciata sopra unaV _d, priva di punti multipli; mentre qui (come nella Nota lincea preventiva) c'interessa di conseguire la relazione, di cui al successivo n. 2, con una dimostrazione del tutto autonoma. nel quadro della geometria algebrica classica, in quanto sopra la relazione cui si allude, noi vogliamo dipoi poggiare la deduzione di parecchie altre proprietà, stabilite daKodaira con mezzi di analisi, che si allontanano molto dal quadro predetto. Di ciò diremo più ampiamente nella presente Memoria e nelle Memorie che continueranno la presente.     

Su alcune proprietà di geometria euclidea ed hermitiana in uno spazio vettoriale quaternionale

Riassunto Identificati, in modo opportuno, gli spazi vettoriali Qⁿ ed R⁴ⁿ, si esaminano varie proprietà che intercorrono tra la metrica hermitiana di Qⁿ e la metrica euclidea di R⁴ⁿ. Si definisce poi, per ogni sottospazio E_t di E _4n (t =1, 2, 3, 4) una nozione di deviazione caratteristica assoluta che estende l'analoga nozione nota nel caso di cⁿ. Si riescono così a caratterizzare i sottospazi E_t pseudocaratteristici (cioè contenuti in un E₄ che si identifica ad una retta di Qⁿ), ed i sottospazi E_t a prodotto hermitiano reale. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di Ricerca del Comitato per la Matematica del C. N. R. per l'anno accademico 1964–65.     

Sulla rappresentazione delle soluzioni delle equazioni quasi-ellittiche in una regione angolosa

Sunto Un dominio limitato per il quale si possa assegnare un problema corretto di valori al contorno per una equazione quasi-ellittica ma non ellittica presenta sempre dei punti angolosi; un intorno, sulla frontiera, di uno di questi punti si può suddividere in porzioni e almeno in due di queste i dati differiscono anche numericamente. D'altra parte non è possibile ottenere uno spianamento di tale intorno senza alterare il tipo dell'equazione. In questioni di regolarizzazione è perciò utile possedere una rappresentazione in {(x_i, ..., x_n) ε Rⁿ; x_k ≥0 per k =1, 2, ..., n}, nel caso di n variabili, di una soluzione dell'equazione ottenuta dalla data considerando solo la parte principale con coefficienti costanti. Nella presente Nota trattiamo questo problema in un caso particolare. Entrata in Redazione il 3 dicembre 1968.     

Composition operators on the Lipschitz space in polydiscs

Let Un be the unit polydisc of Cn and φ= (φ1,...,φn? a holomorphic self-map of Un. Let 0≤α< 1. This paper shows that the composition operator Cφ, is bounded on the Lipschitz space Lipa(Un) if and only if there exists M > 0 such thatfor z∈Un. Moreover Cφ is compact on Lipa(Un) if and only if Cφ is bounded on Lipa(Un) and for every ε > 0, there exists a δ > 0 such that whenever dist(φ(z),σUn) <δ     

Una generalizzazione,per le serie,del metodo di sommazione di Nikola Obrechkoff nella teoria del prolungamento analitico

Sunto In questa Memoria viene posto un nuovo procedimento di sommazione, per ogni a raggio di convergenza ≠ 0, della serie Σ a_nzⁿ determinando il campo (includente il cerchio di convergenza) in cui è, essendo λ intero l'ordine di sommazione , uniformemente (p₁, p₂, ... ps_n sono tutti i numeri dispari positivi ≤ n; q₁, q₂, ... qr_n i numeri positivi pari ≤ n, con q₁=0). Questo campo di sommabilità tende per λ → ∞, ampliandosi, ad un campo limite che abbraccia completamente il campo limite a cui ampliandosi tende il campo di sommabilità, quando λ → ∞, relativo al metodo semplice di N. Obrechkoff; con questo ultimo si somma la ogni qualvolta è .     

Teoremi merceriani relativi a trasformazioni regolari non negative e anche più generali

Sunto Ad una successione (complessa) |s_n| associamo la successione trasformata |t_n| mediante una matrice di sommazione regolare C; sono noti teoremi merceriani (per es.G. H. Hardy, E. R. Love) che dalla relazione s_n — qt_n → (1 — q)l deducono s_n → l, sotto la condizione che il moltiplicatore q sia interno a determinati campi In questa NOta si considera C regolare non negativa e, mediante l'introduzione di un' opportuna ? funzione di aderenza di un insieme in un altro ? e l'applicazione del classico teorema del ? nocciolo ? diK. Knopp, si determinano campi più ampi di quello circolare stabilito daE. R. Love; si estende il risultato anche a matrici C regolari più generali mediante teoremi più recenti diR. P. Agnew eA. Robinson; inoltre si perfeziona il classico teorema diJ. Mercer-G. H. Hardy.

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Summary Let |t_n| be trasformed, by a regular summation matrix C, of a (complex) sequence |s_n|. Mercerian theorems (e. g. G. H. Hardy, E. R. Love theorems) deduce s_n → l from s_n — qt_n → (1 — q)l if q lies in a suitable domain. This paper is concerned with regular non-negative C. A suitable ? adherence-function of a set into another ? is introduced and theKnopp's ? Core theorem ? leads to wider domains thanE. R. Love circle. The result is extended to more general regular matrices C by means ofR. P. Agnew andA. Robinson theorems. The classicalJ. Mercer-G. H. Hardy theorem is also improved.

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A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.

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Il presente lavoro è stato oggetto di una comunicazione al VI Congresso Nazionale della Unione Matematica Italiana (Napoli, 11–16 settembre 1959).     

Asymptotic formulas for the hyperġeometric function2 F 1 of matrix argument,useful in multivariate analysis

Summary LetS _i have the Wishart distributionW _p(∑_i,n_i) fori=1,2. An asymptotic expansion of the distribution of for large n=n₁+n₂ is derived, when∑ ₁∑ ₂ ⁻¹ =I+n^−1/2θ, based on an asymptotic solution of the system of partial differential equations for the hypergeometric function₂ F ₁, obtained recently by Muirhead [2]. Another asymptotic formula is also applied to the distributions of −2 log λ and −log|S ₂(S ₁+S ₂)⁻¹| under fixed∑ ₁∑ ₂ ⁻¹ , which gives the earlier results by Nagao [4]. Some useful asymptotic formulas for₁ F ₁ were investigated by Sugiura [7].     

About entire functions with specialL 2-properties on one-dimensional subspaces of ℂ n

In this paper we consider special elements of the Fock space #x2131; _n . That is the space of entire functionsf:ℂ: ⁿ →ℂ, such that the followingL ²- condition is satisfied: . Here we show that there exists an entire functiong:ℂ ⁿ →ℂ such that for every one-dimensional subspace Π⊂ℂ ⁿ and for all 0<∈<2 we have , but in the limit case ∈=0 we have . This result is analogue to a result from [1]. There holomorphic functions on the unit-ball are investigated. Furthermore the proof — as the one in [1] — uses a theorem from [2]. Therefore we give another application of the results from [2] — namely for spaces of entire functions.