数坛上的一代“歌王”——辛格

正2021年2月11日,那位大范围"统一"了数学和物理学的数学家伊萨多·辛格(Isadore Singe),去世了,终年96岁.辛格是当代最杰出的数学家之一,其最杰出的工作是与英国数学家阿蒂亚合作发现并证明了阿蒂亚——辛格指标定理,由此打通了拓扑和分析两个数学子领域壁垒,搭建起纯数学和理论物理的桥梁,大范围统一了数学和物理学。美国南密西西比大学数学系教授丁玖受返朴公众号主编文小刚教授委托,     

数学家传《希尔伯特》中译本已出版

<正> 1970年,西德 Springer-Verlag 出版社出版了康斯坦西·瑞德夫人撰写的数学家传“希尔伯特”.最近,上海科技出版社出版了该书的中译本.译、校者是李文林、袁向东、吴允曾.当代,凡和数学有缘的人,没有一个不知道希尔伯特的大名的.他在数论、代数、几何、分析,数学基础等诸方面,开拓了众多的研究领域.“在整个数学版图上,留下了他巨大显赫的名字”:希尔伯特空间,希尔伯特不等式、希尔伯特变换、希尔伯特不变积分、希尔伯特不可约性定理、希尔伯特基定理、希尔伯特公理、希尔伯特子群、希尔伯特类域….多少才华横溢的青年,追随其后,也在数学青史上留下了美名.20世纪之初,希尔伯特在国际数学家大会的讲台上,发表了纵观数学全局的讲演,题目叫做“数学问题”(即著名的23个数学问题),当时他年仅38岁.半个世纪之后,当美国数学会请著名数学家赫尔     

一套引人入胜的数学读物——李学数《数学和数学家的故事》简介

我记不清楚 ,是在香港还是在内地买到一本《数学和数学家的故事》( 1) ,著者李学数 ,香港广角镜出版社出版 ,开本为 10 2× 183毫米 ,比内地的小 3 2开 787× 10 92毫米还小 ,呈细高状 .但内容很有意思 ,全书共有 15个小标题 ,例如“希腊邮票上的数学家定理和中国的‘商高定理’”、“悬赏十万马克求解的数学问题”、“黄金分割和费波那奇数”、“四色地图问题”、“你也可以发现数学定理”等等 ,读起来耐人寻味 .不过我当时并不了解作者在哪里、做何工作 ,而有一点则很清楚 ,那就是精通现代数学的学者 .还有作者李学数这个名字“学数”,使…     

“Dirichlet引理的推广”一文的改进

文〔1〕对于著名的Diriehlet引理:lim{t(x)黑丝“一,(+“)尸+._!_~}兰竺兰而二J 09g(+“,晋(其中抓约是【0,-们(无>0)上的单调增加函数)给出了一个有趣的推广: 命题l设 1。函数g(x)在〔o,h〕(h>0)上单调增加,落2。五弩“及黑粤“存在, 「几_,_、‘f(P幻,___,,。、r+“l(约二粼划。“、‘·,-万一“一“、下”zJ。下于.“并由此进一步得到了命题2一5. 二*。Il~*山二。,、、二。。二。、.f(x)**”、,曰*。*,、二,、‘由、山*。_:二, 伪伍“1,‘’日山’,目不丁‘列‘l丫“甲二攀兀厂甘忆日”队用u举’曰’“l’恺‘”价从几’仍机正沉’川以…     

费马大定理获证始末

1995年 5月 ,世界权威杂志《数学年刊》(ＡｎｎａｌｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ)刊登了英国数学家怀尔斯 (Ａ .Ｗｉｌｅｓ)的长篇论文《模椭圆曲线和费马大定理》 ,宣告了历时 350多年的著名数学难题“费马大定理”的彻底解决 .这是 2 0世纪末数学上的最高成就 .1　费马与费马大定理费马 (Ｐ .ｄｅＦｅｒｍａｔ,1 6 0 1 - 1 6 6 5)是法国数学家 ,生于法国南部图卢兹附近波蒙 -德洛马涅 ,卒于卡斯特尔 .早年在家乡受教育 ,后入图卢兹大学学习法律 ,毕业后任律师 .1 6 31年起一直任图卢兹议会议员 .他博闻饱学 ,精通数种文字 ,掌握多门自然…     

第四次数学危机(Ⅰ)——总述

1900年,希尔伯特第一问题提出:连续统能否良序?每一个数学家都会说:“它已在1904年被Zermelo的良序定理所解决”。本文建立了集合三分法,严格证明了一个良序集一定是一个可数集。同时揭露了良序定理及其它一些定理中证明的错误。因此,现代数学存在着第四次数学危机。     

脍炙人口的“斯坦纳——雷米欧司”定理

“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”,这是由雷米欧司提出面由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳——雷米欧司”定理．1840年,德国数学家雷米欧司(Lehmus)给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到:“几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易．等腰三角形的两底角平分线相等,初中生都会证．但反过来,三角形的两内角平分线相等,这个三角形一定是等腰三角形吗?我至今还没想出来．”此后,斯图姆又向许多数学家提出了这个问题,请求给出一个纯几何的证明．一年多后,瑞士大几何学家斯坦纳(Steiner,1796-1873)首次证明了它,于是,这个问题以“斯坦纳——雷米欧司”定理而闻名于世．     

数学解题教学中要辩证地看待“通法”与“巧法”

在近几年的数学解题教学中 ,由于没有辩证地看待和运用“通法”和“巧法” ,已引起师生对“通法”和“巧法”关系上的模糊认识 .对此 ,甘大旺先生在文〔1〕中开篇就说 :“《数学通报》1 992年第 8期发表了曾家鹏先生的文章 ,提倡运用通法、建议淡化特技之后、在中学数学教师中产生了较大的反响 ,如何把握通法与特技的界定呢 ?我们却无所适从 .”更甚的是日后舆论出现了“一边倒” ,对“通法”推崇有之 ,对“巧法”敬而远之 ,有的则是谈“巧”色变 .正如文〔2〕所说 :“由于不需理解的‘技巧’替代‘技巧’” ,对通法和巧法的认识“已走到贬…     

费尔马小定理在解竞赛题中的应用

法国数学家费尔马(1601-1665)所提出的猜想:当n是大于2的整数时,不定方程 x~n+y~n=z~n没有整数解。通常,人们称这个至今未获解决的问题为“费尔马大定理”。数论中还有一个被广泛应用的费尔马小定理:若p为素数,则 a~p=a (mod p)。推论:若p为素数,且(a,p)=1,则 a~(p-1)≡1 (mod p)。费尔马小定理在解决数学竞赛的问题中     

课堂互动在“试、探、练”中学得——以“函数的基本性质：零点”为例

一、案例背景 随着近几年高考数学难度的持续增加,高中数学课堂的教学内容也在不断扩大容量、加深难度,教师觉得“讲不完”,学生觉得“跟不上”,课堂教学效果一般.近年来我校提出了“基于‘学得’的课堂”的教学研究的新理念,2013年11月又开展了以“优化课堂互动,打造‘学得’课堂”为主题的教学研讨活动,目的是通过课堂上的师生互动、生生互动打造出学生主动学习的高效课堂.《上海市中小学数学课程标准》(试行稿)指出:“数学教学是教师引导学生进行数学活动,在师生之间、学生之间的积极交往和互动中,完成学习任务……数学教学的设计和实施方式,要由‘重教’转为‘重学’,由‘强制学生适合教学’转为‘创造适合学生的教学’.”为了积极探索课堂上如何让学生“动起来”、“学得到”,笔者展开研究.     

培养学生反思能力的实践与认识

反思指的是理论发展和解题思维过程的再现.这里的解题思维过程包括:概念的形成过程,定理的发现过程,论证定理或解题的思考过程,法则、方法和技巧使用的条件和背景的缘由等.荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔(Hans Freudenthal)教授指出:“反思是数学思维活动的核心和动力”     

一元多项式的根

对于1’>O,如果了(劣)~‘扩+‘一:扩一’十…十al劣+a0是复系数一元:次多项式,那么方程f(:)二。,即 a·‘,+‘一、‘,一‘+…+a,:+a。=0②①叫做复系数一元二次方程.方程②的根,也称多项式① 的根. 一27一中学数学(湖北)1992.12 类似地,如果j(,)是实系数(或有理系数、整系数等)一元:(、>0)次多项式,那么方程j(幻二O叫做实系数(或有理系数、整系数等)一元:次方程. 关于多项式的根的个数有以下重要定理: l代数墓本定理一元:次多项式在复数集中至少有一个根. :799年伟大的数学家高斯证明了这一重要定理· 2根的个数定理一元二次多项式有且仅有…     

“韦达定理”应正名为“赵爽定理”

若x_1,x_2是一元二次方程x~2-2cx a~1=0的根,则有: x_1 x_2=2c (I) x_1×x_2=a~2这是什么定理呢?那还用问,它不就是“韦达定理”吗?不错,但也不对,为什么这样说呢?因为这个定理并不是韦达最先发明的,而是我国的古代数学家赵爽首创,赵爽号君卿,是东汉末至三国时代人,他出身贫寒,父亲是做小本生意的,平时帮助父亲干活,一有空就发愤读书,他研究过张衡的天文数学著作《灵宪》以及刘洪的《乾象历》,并对《同髀算经》和《九章算术》进行了深入的研究,并作了详细注解。他是继《九章算术》以后,对数学进行理论研究的开山祖,在数学方面他的突出贡献主要是写了《勾股方圆图注》文中第一次正确地给出了勾股定理的理论证明,关于一元二次方程中根与系数的关系定理,也是在该注中给出的。他说:“其位弦为广袤合,令勾     

“1985”趣题

值此19 55年来临之际,特造“1985,,数题,向本刊的编者、作者、读者致贺。1。已知数100…01,试证此散是合数。 19 85个0证明.’.100…01二10‘。“.+1=(10竺‘’)a+1、一,一一洲 1985个0=(10‘约“+1)。(101,2‘一10“:+1 ·’·迎二“’是合数· 19 85个0. 2已知一个自然数减去49后,是一个完全平方数,这个自然数加上40后,是另一个完全平方数,求这个自然数。 解:设所求的自然数为之,贝〔依题意得{ 一49=‘+40=石C(1)(马少且万>O,C>0.(2)一(1)得:C3一B.== 40由(3)知C>B,C一B)0,一(一49)=89(8)89为质数, 证明:利用(x+1)名’.‘(x+1)“”’…     

优美的数学定理

数学定理一般都被认为是枯燥无味的 ,但数学家们有自己的审美标准 ,他们能从大家认为枯燥的定理中发现美 .几年前读过一篇数学小品文 ,文中提到 1998年DavidWells在《ThemathematicalIntelligencer》 (vol.10No .4p .3 0 )针对数学界发出问卷 ,评选最优美的数学定理 .文中列出二十四个被当今数学家认为最简明、最优美的数学定理让许多大数学家打分 .有些数学家认为简单就是美 ,有些数学家认为清楚明确就是美 ,有些数学家认为深刻才是美 .最后 ,根据统计结果 ,公布了数学家心中认为最美丽的数学定理 .这些定理的确都很简明 ,定理叙述最多两…     

从大江截流时间的估算谈建模

华罗庚先生在１９５８年《谈谈中学数学教材问题》中指出：“我们必须在中学阶段培养学生‘能算善想’的习惯．”并解释道：“所说的善想,也许不仅限于善想数学难题,而更重要的是善于把客观事物想象成数学问题．”善于把客观事物想象成数学问题,就是现今所说的数学建模...     

都是“直觉”惹的祸

数学离不开直觉，无论是数学史上一些数学大师的伟大创造，还是引无数英雄竞折腰的近代数学中的三大难题（费马大定理（1621年），哥德巴赫猜想（1742年），四色问题（1852年）），无不体现数学直觉的魅力，难怪很多大科学家给予数学直觉由衷的赞美．法国大数学家宠加莱提出：“逻辑用于证明，直觉用于发明．”著名数学家外尔曾说：“逻辑仅仅是核准直觉的胜利．”著名物理学家爱因斯坦也说过：“我相信直觉和灵感．”日本数学家（菲尔兹奖获得者）小平邦彦也说：“数学是需要深刻理解的学问，     

对微积分中主要矛盾的粗浅认识（续三）

4　数学中高与低、难与易的辩证关系在上一节中阐述:要说清楚高维欧氏空间中微分与积分是一对矛盾,以及它们是如何体现的,要用而且必须要用外微分形式才能说清楚.这就使我想起大数学家希尔伯特(DavidHilbert,1863-1943)于1990年在巴黎国际数学家代表会上那篇著名的演讲(参见TheBulletinofAmericanMathematicalSociety,Vol.8,P.437-445,478-479,1902,或Go¨ttingerNachrichten,P.253-297,1900)中一段十分精辟的话.他说:“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着,这些工具和方法同时会有助于理解已有的理…     

怎样加强中学各科数学间及数学与理化间的联系

中学的数学是由算术、代数、几何及三角所组成的一种有系统的课程,它们是论述现实世界数量的及空间的形式与关系的科学,因此,各科数学构成一个有机的整体,有着密切的联系。如果教学中把各科孤立起来,忽视它们之间客观存在的内在联系,必然会降低数学效果。“数学通报”九月号社论“在中学数学教学中向忽视各科之间的联系这一现象进行门争”中说的:“研究‘形’的几何学常要用到‘数’来研究‘形’,同时研究‘数’的代数学又常借助于‘形’的直观性去研究‘数’。”这一个很有价值的指示,应该在我们的教学实践中认真贯彻。再就中学所设各门课程来看,各科虽有其     

HPM视角下二项式定理的教学设计

HPM视角下的教学是当今教育的一大革新.“二项式定理”蕴含着浓厚的数学文化底蕴,其发展源远流长.本文追溯二项式定理的发展历程,并对其进行重构式教学运用.首先,以法国数学家蒙特摩尔的筹码游戏为切入点,猜想二项式定理,感受数学的探究之乐;其次,采用“组合数分析法”和意大利数学家卡斯蒂隆的“先异后同法”证明二项式定理,帮助学生形成数学理性思维;再次,借助杨辉三角探究二项式系数的性质,既加强数与形的结合,又传承中华优秀传统文化;最后,设计具有综合性、探究性、启发性的课后作业,深化基础知识,启迪数学思考.