等分圓周法

分圓周為n等分,或與此有聯繫的關於作正多角形的問題,在學校裏的教科書中,構成了平面幾何作圖問題的一部份。教師教給學生的,是利用圓規和直尺,把圓周分為3、4、6等份的方法;有時還講把圓周分成10或5等份的方法,並把能否等分圓周的高斯檢驗法,介紹給學生。當準確的作圖不能做到時,教師們便介紹一種近似的利用量角器分圓周的方法,墨守着教科書的成法,他們常常僅作到這一步為止。利用幾何的方法是可以準確地分圓周為3、5、6、15、17、及257等份的,然而這裏並沒有一個統一的方法;分圓周為15等份的方法是這樣,而分圓周為5或6等份的方法又是那樣,所有的方法都得記住,這對學生有何益處呢? 正由於這樣,從學校裏畢業的人,幾乎在任何時候,誰也不用把圓周分為5、10、17等份的幾何方法,他們往往純粹只利用量角器來分圓周     

談談關於平面幾何中的“一定值”問题

平面幾何中有關“一定值”的問題,是同學感到困難的。初三、高一同學每遇到關於“一定值”的問題,班上只有極個別同學能獨立解出來,他們不知按題意分析,“一定值”是什麼,因此,摸不到問題的具體終結,無從下手解題,凡是碰到“一定值”一類的問題,總是老師講,學生聽,學生不能獨立發展這個知識,時間花了許多,費了許多力,結果不討好;我認為這原因主要在講解問題時,關於“一定值”意義,分析不夠,指示不夠,因而學生對“一定值”問題,感到摸不到頭腦。新編初中幾何93頁第13題:“等腰三角形底邊上的一點到兩腰距離之和是一定長(等於腰上的高),”書上在括弧內具體指出了問題的要求,但講解這問題時,若單純的按“等於腰上的高”囫圇吞棗的證下去,而對“一定長”為什麼是指“等於腰上的高”,不加以詳細分析、那便是為解題而解題,不能完成教學這個問題的主要目的,教學這個問題的主要目的,是為解關於“一     

佈列一次方程教學中的分析與綜合

如果學員在算術學習中能熟練地運用分析與綜合的方法解析應用題,已經熟悉了應用題中的數量間的相依關係。同時,如果教員不是有意或無意地把代數學科與算術學科對立起來,而是按科學的系統把它們自然地連接起來,那麼布列一次方程的教學就不是什麼困難的事,但這只是問題的一方面,問題的另一方面是:由於布列方程與布列算式之間的差異,由於布列方程的中心問題是尋找數量間的相等關係。因此,對於如何運用科學的分析與綜合的方法以進行布列方程的教學,這仍是值得研究的問題。布列方程中的兩種解析方法是明顯的:先找出未知數與已知數的相依關係,組成代數式,從而發現數量間的相等關係,布列方程——這是把各個部分統一為整體的思維過程,我們叫它為“綜合法”;理解了應用題的條件,先在思想上有     

談談“求一個數的幾分之幾”的講法

記得去年曾聽到同志們談論“求一個數的幾分之幾”的問題,都認為“不好講”或“同學不容易接受”,今年又聽到和去年相同的論調,因此,就決定把它當作目前存在的問題提出來,以便引起同志們的研究、討論,更好地改進我們的教學。當我們講授初中算術第二分冊§150時,同學們或多或少地曾提出一些問題來,如“這不是和乘法一樣嗎,”“太麻煩,我們用乘法作行不行?”“……?”這是一個必然的過程,從提問當中我們可發覺同學們是進步了;因為他們已經懂得如何應用已學的知識解決實際問題,同時還知道應用簡便的方法比麻煩的方法好,這對於數學這門課程來說是難能而可貴的。是不是說就等於答應同學們的要求了呢?我     

算術課本第二分册§171分數四則的教學

(一)教學目的因為§171是分數一章的最後一個小單元,而分數四則的運算理論及法則前面都已講过,此較简單的應用問题的解法,學生已具有相當的基礎,因此,§171的教學目的似應着重兩點:(1)把以前學過的分數四則,再加鞏固一下,即對於加減乘除的混合算式。要使學生演算得正確和熟練,特別是關於口算的地方,要使學生掌握一定程度的熟練技巧。(2)關於混合使用加減乘除的應用問題,要使學生理解並能熟練地作出解法。正如教學大綱(草案)算術部分說明中所謂:“算術教學的目的在於教會學生自觉地、     

圓周率3927/1250的作者究竟是誰?它是怎樣得來的?

在九章算術方田章的劉徽注中,我們看到他的周率157:50,和另外一個更精密的周率3927:1250,注中說明第一個周率是從計算圓內接正192邊形的面積得來的,第二個周率是用計算圓內接正5072邊形的面積來證實的,文氣連貫,不像是兩個人的手筆,在他敍述第一個周率的後面,注者援引“晉武庫中漢朝王莽(所)作銅斛”的銘文,而劉徽注九章算術又明明有魏景元四年的自序,在時間上似乎有些矛盾。又,本節李淳風等注釋的最後幾句話是:“今者修撰,(?)摭諸家,考其是非,沖之為密,故顯之於徽術之下,冀學者之所裁焉,”清代李潢(?—1811)撰九章算術細草圖說,因為懷疑從“晉武庫”以後一段注文是祖沖之的話,就是李淳風等所謂“顯之於徽術之下”的,這樣把這第二個周率的創設歸功於二百年後的祖沖之了,事實上,九章算術,方田,少廣,商功,三章中有關圓面積的問題,原有的答案都依照“徑一週三”計算,劉徽注用他的第一個周率157:50來修正,李淳風等注釋又補用祖沖之的約率,π=22/7的演算法,李淳風等以為π=22/7比π=157/50尤為精密,所謂“顯之於徽術之下”的是在“徽術”之後添上“密     

π≒3927/1250的作者和祖沖之的圓周率算法

一.引言中國數学史上现有很多懸案和爭論,例如勾股普遍定理最早的發現者为誰?“九章算術”的成書時代等等。但在1956年5月“數学通報”上又提了这样一个問題,即:圓周率3927/1250为誰所首創?其中錢宝琮教授認为是刘徽;而孫熾甫同志則主張是祖沖之,这兩种看法是不同的,在此以前也曾有过爭論,現在筆者也想就这問題發表一點管見,另外一个問題就是祖沖之的各种圓周率值是怎样求得的,尤其其中对於355/113一值的求得有兩种不同的主張:一是得自“調日法;一是得自連分數法,而筆者尚有第三种不成熟的看法,也在这裏介糾出來,請大家指教, 二.π≒3927/1250的作者 關於3927/1250的最早記載是在“九章算術”注中,而其注者最早的是刘徽,其後有祖沖之、甄鷟     

數學界動態

1.中國科學院數學研究所華羅庚所長根據中保文化協定已於5月中旬去保加利亞人民共和國訪問,在訪問期間並擬在數倫、矩陣幾何及其在代數上的應用、多元複變函數論諸方面作學術報告。 2.北京大學自5月4日起舉行了1954—1955學年科學討論會,數學力學方面舉行了四次報告會,共報告了論文17篇,其中包括四篇綜合性的,除了這17篇之外還有四篇論文因時間關係沒有報告,茲按北京大學原定程式把論文題目及報告人分別報導如下:     

對於數學批改作業的一些意見

目前在中學裏,對於批改學生的作業還存在一定的缺點和困難,因此改進作業的批改方法,是目前中學數學教學中亟待解决的問題。最近在數學通報上刊登了壽望斗同志的“關於数學練習本批改力法的改進意見”。個人認為壽望斗同志對這項工作的主張和他所介紹的批改方法都有極大的參考價值,為此個人謹對這個問題發表幾點補充性的意見。 數學課的書面作業負有雙重任務:一方面通過學生獨立的書画作業,來鞏固學生的既得知識,把已學得的理論知識應用於實際,鞏固和提高學生的技能和熟練技巧,提高學生的作題能力,同時書画作業還有它一定的教育意義,因此,“教師應當把學生家庭獨立作業看做是我國青年腦力勞動文化發展底一種方法,也應當看做是培養性格底意志品質——正確性、目的性、堅決性、     

關於數學練習本批改方法的改進意見

此文所提出的問題是中學生現在還存在的,所提出的辦法也很具體,特載於此,請大家討論,再對於這個辦法,有人認為一個學生重抄一個題,不免加重學生負担,須另設法,也有人認為一個題,所費的精力和時間很少,似屬可行,合併提明,统希大家斟酌。     

數学問題及解答欄

本欄每期刊載不同領域的若干問題,供同志們練習演算作參考。為此目的,我們很歡迎讀者同志作出解答寄交我們,並且歡迎提出供大家解答的新問題。每期問題的答案及正確解答同志的姓名在三個月後本欄內公佈。為了能及時將稿件送往出版社,本期問題的回答請讀者在下月二十日以前寄“北京清華園中國科學院數學研究所轉數學通報問題及解答欄工作組”。由於我們工作人員很少,一般收到的解答信件均不改正寄回。     

一個作圖題的另外解法

本通報1953年1-2月號發表的“東北敬部編譯「平面幾何」中的三個作圖題”一文中第一題“求作一圓,切於已知角的一邊上的已知點,而於另一邊上截取一弦等於已知綫段”,現有文成宜和王麗庭兩位同志提出另外的解法,但兩位同志的解法賞大致相類,為省篇幅,我們經過改寫合併發表於下。 設P是已知角XOY的OX邊上的一個已知點,l為已知綫段,假定所求圓已經作出,它切OX於P點,截OY得AB弦,有AB=l(這裹AB與OY同向)。今將P點依OY的方向平移至Q點,使PQ=l,於是PQBA為平行四邊形;再以直綫OY為軸將Q點反射得Q′點,則有     

初中算术百分法一章的教法

(一) 数學目的百分法一章的教學,是在學生已經掌握了分數四則的基础上来進行的.因此百分法一章的教學目的應該是使學生在充分理解分數四則的基礎上,能用百分法更熟練地解决各式各樣的应用問題.所謂“在理解分数四則的基础上”這句话,是指在解决有关百分法的問題時要避免一些机械的背誦、申言之:即是防止學生形式主義地套用公式而不動用思想例如說:見了一個問題、一點也不聯系分數的运算的理論,而先去生硬地尋找哪是母數哪是子數……,然後即搬用公式. 另外,在教百分法這一章時,進行愛国主義教育是有特别重要的意義的.我們国家在短短的幾年建設中,在各方面都已獲得了極為光輝的成就.這樣的资料在報紙上雜志上隨處皆是.利用這樣的資料編為例題或习題,是非常之好而且是很自然的.     

海倫-秦九韶公式

我國宋代大數學家秦九韶所發明的“三斜求積術”,就是從已知三角形的三邊而求其面積的方法,原術載於秦氏所著數書九章一書的第五卷第二題,共原題及術文錄後:     

數學舆實際

學生學習的過程中,沒有一個階段裏沒有數學課程。從小學一年級開始學算術,進了中學要學代數、幾何、三角。到了大學和高等學校裏,除了文法科裏一部分學生外,要學高等数學。但高等数學的內容,在概念上就和中學的數學課程的內容完全不同,理論也增多了,常有講了很多理論而没有把它們直接用到計算裏的情形。在第一次講課裏,雖在序言中講了數學的發展是由於客觀實際的需要,但到了理論很多而沒有把它們直接應用到計算時,例如講到無窮小定理舆變量極限定理那一段時,同學往往又會感到這些理論似乎是脫離了實際,因而感到很抽象,於是發出這類的問題:“老師,這些理論在實際上怎樣用法?”這種思想是狭隘的實用觀點,為了要澄清這稀狹隘的實用觀點,應該深刻地體會數學舆實際的關係。通過生產活動,人類逐漸地了解自然的現象,自然的規律,人和自然的關係,封建時代的生產主要是農業生產,由於田畝的計算,我國的數學家早在公元前一千餘年就發現了勾股定理,即     

積分學簡史

古代 積分學產生於求面積和體積的問題,古代東方學者早就知道一些由經驗獲得的很簡單的幾何圓形的面積與體積的测量法則,特別是還在紀元前2000年以前埃及人和巴比倫人就能近似地測出圓的面積(巴比倫人取π≈3,埃及人取π≈3.16)並且知道底為正方形的截斷角錐體體積的測量法則。古希臘科學首次地提出給與角錐及圓的測量法則以理論根據的問題;這是在數學中引進無窮一概念的原因。根據一系列原始資料的考據,積分方法的原則為紀元前五世紀生於阿布吉爾(?)的著名唯物哲學家德謨克里特所首次創立。顯然,德謨克里特是把物體看作由大量的微小部分所組成的,從這種觀點上看來圆錐是由極薄的具有不同的直徑的圓柱片一層層重疊起來的總體,德謨克里特作過許多有價值的發現;例如,他指出角錐體與圓錐體分別等於等高等底的角柱體或圓柱體的三分之一。但是他的證明不久就不再滿足數學嚴謹性的要求。     

極限與複數的教學總結

現用高中代數教科書是與教學大綱(草案)最不一致的一科,為提高教學質量而完成數學教師的任務,對教材的處理,是特別需要認真鑽研的,從上學年起我們互助組明確了這個問題,使我們對教材的掌握上,感到有些收穫,茲就代數課中的兩個進行教學比較困難的單元來談一談: 1、極限高二代數中的極限概念、是數學的基本概念之一,應用它來叙述關於循環小數,無限遞降等比數列,幾何課中圓周長和圓面積,以及圓柱、圓錐与球的表面積和體積等問題,在中學數學課中它是完全必要的一部份,但極限這一單元,在     

九章算術方程術校勘记

十一世紀以前的九章算術經過轉輾傳鈔,錯誤與脫落的字很多,宋元豐中,秘書省刻算經十書時,雖然曾經請李籍等“鉤校”過,誤文奪字還是不能避免,後來的刻本與抄本,非但不能改善,而且因為籌算失傳,九章術文難以瞭解,文字的混亂現象比以前更厲害了,我們研究數學史的,若不通過校勘工作,決不能發掘古代數學的真意,現在通行板本的九章算術都是孔氏微波榭本的翻印本,是經過戴震校勘過的,但是戴震沒有做好他的工作,在有些地方,他自作聰明地硬把原本不錯的文字改掉,後來的讀者很容易給他蒙蔽而引起誤會,在九章算術方程章裏,消去一未知量項是用“直除”法的,劉徽注解釋“直除”法的應用也很清楚,戴震用明朝數學書(例如程大位算法統宗等)中所提倡互乘相消法去改寫劉徽注原文,犯了重大的錯誤,幸虧我們還有楊輝詳解九章演算法、永樂大典本與毛氏汲古閣影宋抄本九章算術作為依據,可以糾正他的錯誤。方程章第一問術文劉徽注,依據楊輝詳解九章演算法引與永樂大典本,都說:“先令右行上禾乘中行為齊同之意,為齊同者,謂中行直減右行也,從簡易,雖不言齊同,以齊同之意觀之,其義     

中学生課外活動中的諾模術

諾模術是应用数学的一个年青的分支。“諾模術屬於数学的領域。它有独立的理論結構,是帮助解各种类型的方程的工具”(苏联大百科全書)。提出这样一个問題求解:直角三角形兩直角边为a=4.3厘米,b=3.7厘米,試計算斜边,要精确到一位小数,这个問題通常是这样解决的:众所周知,直角三角形斜边的平方等於其兩直角边平方之和。先自乘4.3得18.49,自乘3.7得13.69,然後把这兩数加起來得32.18。     

中国数学會天津分會學術講演會纪要

中國數學會天津分會根據會員的意見,認為對於近似計算存在問题很多,很多教師過去都未加注意,有的教師去年講過貝爾曼著數學解析教程及加里寧著代數學教程(皆係張理京等譯)也發現很多不明確的問題,其他如中學的幾何物理,大學的許多課程的蘇聯教材中都很重視這點,天津分會根據這種情况遂於六月廿七日上午請中國科學院數學研究所研究員閔乃大同志作了一次報告。 閔乃大同志在報告中指出近似計算的重要性,計算數學和理論數學在處理問題中的區别,又详細解釋和比較上述兩書中許多名詞的含義,也指出一些翻譯文字的可能錯誤,詳細地解釋了絕對誤差,相對誤差舆近似數的關係,近似數的基本運算(加减乘除乘方開方求對數等)所發生的誤差問题。以後並單略介紹方程的近似解,並舉一突出的例子來喚起大家的注意,這是一個普通二元一次聯立方程,由这方程求出的解的誤差比這解本身的值還大,因此這種解是毫無實際意義的,最後在