一种特殊四面体的独特性质

三条侧棱两两互相垂直的四面体,它具有对棱互相垂直且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心等性质,同时发现这种特殊的四面体还具有一些美妙独特的性质,现归纳如下,以供参考．     

类比猜想又一例

在文[1]中沈老师将平面几何中的一个结论＂△ABC的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心且重心分中线之比为2∶1（从顶点到中点）.＂类比猜想得到立体几何中的一个结论： 空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线,且四条中轴线交于一点,这点叫此四面体的重心,则空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1（从顶点到对面三角形的重心）.     

类比猜想又一例

<正>在文[1]中沈老师将平面几何中的一个结论"△ABC的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心且重心分中线之比为2∶1(从顶点到中点)."类比猜想得到立体几何中的一个结论:空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线,且四条中轴线交于一点,这点叫此四面体的重心,则空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1(从顶点到对面三角形的重心).本文再给出由平面几何类比到立体几何     

四面体

四面体是最基本也是最重要的一种几何体,它是三角形在空间的直接推广.四面体的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来,如:连接四面体对棱中点的线段交于一点且互相平分;连接四面体任一顶点与它对面三角形重心的线段交于一点G,且这点将所在线段分成的比为3:1,这个点G称为四面体的重心;四面体都有外接球和内切球;等等.等腰四面体(对棱均相等的四面体)、直角四面体(有一组共顶点的三条棱两两互相垂直的四面体)和正四面体是三种特殊的四面体,在竞赛中经常涉及到.较复杂的多面体问题常转化为四面体问题加以解决,常用的数学思想方法有变…     

立体几何中的活跃分子——直角四面体

三条侧棱两两相互垂直的四面体是一种特殊的四面体,我们称之为直角四面体,它具有以下性质:(1)任何一条侧棱垂直另两个侧棱构成的平面;(2)三个侧面两两垂直;(3)顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心等,立体几何中很重要的概念和定理.都能从这个直角四正面体中衍生,因此深入研究直角四面体,对于把握空间图形中直线和平面的关系,尤为重要.下面利用直角四面体的性质简解两道商考题.……     

直角三角形类比直角四面体

如果三角形有一个内角为直角 ,则称这个三角形为直角三角形 ;类似地 ,四面体若有一个顶点处的三个平面角都是直角 ,则称这个四面体为直角四面体 .直角三角形与直角四面体有许多性质非常相近或相似 ,本文将给以简要归纳及论证 ,以期读者从中体验平面图形与空间图形的内在联系与和谐与统一的数学美 .类比 1　在直角△ABC中 ,∠C =90°,D为C在斜边AB上的射影 ,则BC2 =BD·AB .类似地 ,在直角四面体A1 A2 A3A4中 ,点A1为直角顶点 ,记Ai 所对的面的面积为Si(i=1 ,2 ,3,4) ,O为点A1 在底面上的射影 ,则S42 =S△A2 OA3 ·S1 .证　如图…     

四面体

四面体又叫三棱锥 ,它是最简单、最基本的多面体 .四面体在立体几何中的地位就象三角形在平面几何中的地位一样 ,在数学竞赛中 ,立体几何以四面体为主要内容 .1　一般四面体由于四面体是三角形在空间的推广 ,因此 ,三角形的许多性质也都可以推广到四面体 :1 )连接四面体对棱中点的线段交于一点 ,且在这里平分这些线段 .2 )连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点Ｇ ,且这点将所在线段分成的比为 3∶1 ,Ｇ称为四面体的重心 .3)每个四面体都有外接球 ,球心Ｏ是各条棱的中垂面的交点 ,此点到各顶点距离等于球半径 .4)每个四面体都有内切…     

四面体

四面体是最基本也是最重要的一种几何体。它是三角形在空间的直接推广．四面体的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．如：连接四面体对棱中点的线段交于一点且互相平分；连接四面体任一顶点与它对面三角形重心的线段交于一点G．且这点将所在线段分成的比为3：1。这个点G称为四面体的重心；四面体都有外接球和内切球；等等．等腰四面体（对棱均相等的四面体）、直角四面体（有一组共顶点的三条棱两两互相垂直的四面体）和正四面体是三种特殊的四面体．在竞赛中经常涉及到．较复杂的多面体问题常转化为四面体问题加以解决，常用的数学思想方法有变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等．     

直角四面体的几个特性

同一顶点上的三条棱两两互相垂直的四面体称为直角四面体.本刊文[1]～文[3]相继给出了此类四面体的若干性质,本文再给出直角四面体的几个特征.性质1设P是直角四面体P-ABC的直角顶点,A,B,C所对面的面积分别为S1,S2,S3,P到所对面的距离为h,四面体的外接球半径和内切球半径分别为R,r,则     

射影定理在四面体中的推广

本文将射影定理在四面体中作推广: 定理在四面体ABCD中,过顶点A的三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直,O是顶点A在底面上的射影。则S2△ABC=     

三棱锥顶点在底面上的射影为底面重心的充要条件

1 问题大家知道,对于一个三棱锥,三条侧棱相等(或三侧棱与底面成等角)是顶点在底面上的射影为底面外心的充要条件;三侧面与底面成等角(或三顶点到底面三边等距)是顶点在底面上的射影为底面内心或旁心(射影在三角形内为内心、射影在三角形外为旁心)的充要条件;二对对棱垂直是顶点在底面上的射影为底面垂心的充要条件.我们自然会问:顶点在底面上的射影为底面重心的充要条件是什么呢?     

四面体的几个有趣不等式

众所周知，三角形的射影定理揭示了边角关系，在三角形理论中扮演了重要角色．类似地，对于空间的四面体，也有相应的射影定理，它揭示了各侧面积与侧面间二面角的关系．本文利用空间的射影定理，探讨关于四面体的几个有趣不等式．     

三角形重心的两条性质的推广

文［１］给出了三角形重心的几条性质,现将前两条性质推广到空间四面体中．性质１以四面体重心与顶点的连线段为棱可构成四面体,且该四面体的体积是原四面体体积的１４．证明如图１,设Ｇ是四面体Ｓ—ＡＢＣ的重心,Ｏ１、Ｏ２分别为△ＡＢＣ、△ＳＡＣ的重心,Ｄ为ＡＣ...     

“三角形中的定理在四面体中的类比”一文的补充

文 [1]介绍了三角形中一些重要定理在四面体中的类比 .读后深受启发 ,但文 [1]还缺一些三角形性质的类比 ,作为该文的补充 ,笔者也介绍 3条类比性质 .1　中位线定理三角形的中位线平行于第三边 ,并且等于第三边的一半 .定理 1′　在四面体S ABC中 ,D ,E ,F分别是SA ,SB ,SC的中点 ,则平面DEF∥平面ABC ,并且△DEF的周长等于△ABC周长的一半 ,△DEF的面积等于△ABC面积的四分之一 .2　射影定理直角三角形一直角边的平方 ,等于它在斜边上的射影与斜边的乘积 .定理 2′　如图 1,在四面体S ABC中 ,SA ,SB ,SC两两垂直 ,S在平面…     

四面体的界点、界心及其坐标公式

笔者在文 [1 ]、[2 ]中给出了三角形特殊点的一般坐标公式及四面体的内心和旁心的坐标公式 ,本文将介绍四面体的界心概念的定义 ,并给出界心的坐标公式 .图 1四面体关于一棱的中界面可定义如下 :如图 1 ,过棱 AD作四面体 A -BCD的截面 ADP,交对棱于 P,如果平面 ADP把它的全面积分为两等份 ,就称平面 ADP为四面体关于棱 AD的中界面 .显然每一个四面体有 6个中界面 .1　中界面的性质定理中界面 ADP分对棱 BC成两段之比为　　　 BPPC=S- S3 S- S2( 1 )这里我们记 A - BCD的顶点 A、B、C、D的对面三角形面积分别为 S1、S2 、S3…     

三棱锥顶点射影选择题

老:.三棱雄的1侧棱都相等;泛斜高都相等:召侧棱与底所成的角都相等;4侧棱与底面相邻的两棱成等角;S侧面与底面所成的乙而角怕等;6这个四面体中,有两组相分的伎互相垂直;7三侧面互相垂直;8三侧棱相等.三底棱也相等则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的(A)垂心;(B)外心;(C)内心;(D)中心.附上期本栏答案(D);2(C);3(A)C5三棱锥顶点射影选择题@李尧亮$江苏江阴一中~~     

四面体的内心和旁心的坐标公式

笔者在文 [1]中给出了三角形特殊点的一般坐标公式 ,本文将给出四面体的内心和旁心的坐标公式 .四面体的内切球心是和各面的距离相等的一点 ,它是各二面角的平分面 (共 6个 )的交点 .引理　四面体的二面角的平分面与对棱的交点把对棱分成两段的比等于该二面角的两面面积的比 .证明　如图 1,四面体 ABCD中 ,二面角B— AD— C的平分面ADP1交对棱 BC于 P1,我们将证明 BP1P1C=S3S2 .　 1图 1其中 S2 、S3是顶点 B、C的对面的面积 .类似地 ,顶点 A、D的对面的面积用 S1、S4 表示 .令 P1到面 S3、S2 的高为 h3、h2 .∵　 BP1P1C=VB…     

一类定值问题在圆锥曲线中的推广

文[1]将一些特殊平面图形或空间几何体的定值性质的一系列研究([2]?[4])结论推广到三角形、四边形、正多边形、四面体的“重心圆(或重心球)”,即命题1[1]以三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)的重心为圆(球)心的任意圆周(球面)上的点到三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)各顶点的距离的平方和为定值.     

四面体的等角共轭点性质初探

1 引言 在文[1]和[2]中,我们已将三角形"等距共轭点"的概念及有关性质推广至四面体中.本文将进一步研究"等角共轭点"的概念及性质在四面体中的推广. 过△ABC的顶点A作两条直线,关于∠A的平分线对称,与BC所在直线分别交于A1、A2,则线段AA1与AA2称为从△ABC的顶点A引出的一对"等角线".     

四面体的重心与垂心的性质

1 四面体的重心 由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义.