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20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1 锐角三角形ＡＢＣ中有内接△ＤＥＦ ,且ＦＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＥＦ ⊥ＡＢ于Ｆ ,求证 :Ｓ△ＡＢＣ ≥ 3Ｓ△ＤＥＦ.(武汉华中理工大学西十四舍 5号 黄元兵 43 0 0 74)证 △ＡＢＣ三边分别与△ＤＥＦ三边垂直 ,又△ＡＢＣ为锐角三角形 ,有∠Ａ =∠ＤＥＦ ,∠Ｂ =∠ＥＦＤ ,∠Ｃ =∠ＦＤＥ即有△ＡＢＣ ∽△ＤＥＦ .又公比ｑ=ＢＣＤＦ =ＢＤＤＦ ＣＤＤＦ=ｃｏｔＢ ＤＥＤＦｓｉｎＣ=ｃｏｔＢ ｓｉｎＢｓｉｎＡｓｉｎＣ =ｃｏｔＢ ｓｉｎ(Ａ Ｃ)ｓｉｎＡｓｉｎＣ=… 相似文献
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题 1 在锐角三角形ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ .这是一道三角不等式 ,证明的方法比较多 ,下面给出二种几何证法 .图 1 证法 1图证 [方法 1] 设△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ(由于△ＡＢＣ为锐角三角形 ,Ｏ在△ＡＢＣ内部 ) ,设其直径为 1,连结ＡＯ ,ＢＯ ,ＣＯ并延长交⊙Ｏ分别于Ｄ ,Ｅ ,Ｆ .顺次连结Ａ ,Ｆ ,Ｂ ,Ｄ ,Ｃ ,Ｅ ,Ａ .设△ＡＢＣ三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ.∠ＢＡＣ ,∠ＡＢＣ ,∠ＡＣＢ简记为∠Ａ ,∠Ｂ ,∠Ｃ .∵∠Ａ =∠ＢＥＣ ,在Ｒｔ△ＢＥＣ中 ,ｓｉｎ∠ＢＥＣ =ａ ,ｃｏｓ… 相似文献
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20 0 1年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 96 ＡＣ是 ＡＢＣＤ较长的一条对角线 ,Ｏ为 ＡＢＣＤ内部一点 ,ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ ,ＯＦ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＯＧ⊥ＡＣ于Ｇ .求证 :ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ=ＡＧ·ＡＣ证明 不妨设Ｏ在△ＡＢＣ内 ,ＯＦ与ＯＣ交于Ｐ ,连结ＡＯ ,作ＢＭ ⊥ＡＯ ,ＢＬ⊥ＡＣ ,ＤＮ ⊥ＡＯ ,ＤＫ⊥ＡＣ ,ＣＱ ⊥ＡＯ ,Ｍ、Ｌ、Ｎ、Ｋ、Ｑ均为垂足 .∵Ｅ、Ｂ、Ｍ、Ｏ四点共圆∴ＡＥ·ＡＢ =ＡＯ·ＡＭ同理 ,ＡＦ·ＡＤ =ＡＮ·ＡＯ∴ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ =ＡＯ· (ＡＭ ＡＮ)(1 )设∠ＤＡＣ =α ,∠ＣＡＢ =β ,∠… 相似文献
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20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6 Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学 金旗 2 42 40 0 )图 1引理 如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解 如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ… 相似文献
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《数学通报》2001,(6)
20 0 1年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 1 ＡＢ是⊙Ｏ非直径的弦 ,半径ＯＣ ⊥ＡＢ于Ｍ ,Ｄ是ＯＢ的中点 ,Ｅ在劣弧ＢＣ上 ,且∠ＡＥＤ =∠ＡＣＯ ,ＡＥ交ＣＢ于Ｆ ,交ＣＯ于Ｎ .求证 :Ｓ△ＦＣＮＳ△ＤＭＯ =ＣＮＭＯ.(重庆市合川太和中学 陈开龙 40 1 555)证明 如图 ,延长ＣＯ交⊙Ｏ于Ｐ ,连结ＥＰ ,ＦＤ .∵ＣＰ是直径 ,ＯＣ ⊥ＡＢ ,∴ＡＰ =ＢＰ ,故∠ 1 =∠ 2 ,ＡＣ =ＢＣ .∵∠ＡＥＤ =∠ＡＣＰ ,又∠ＡＥＰ =∠ＡＣＰ ,∴∠ＡＥＤ =∠ＡＥＰ ,即Ｅ ,Ｄ ,Ｐ三点共线 .∵ＯＢ =ＯＣ ,∴∠ 3=∠ 2 ∠ＯＢＣ =2∠ 2 … 相似文献
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《数学通报》2002,(5)
20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366 如图 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ外的两个旁切圆 ,Ｅ、Ｊ、Ｇ和Ｆ、Ｋ、Ｈ是切点 ,直线ＥＧ、ＦＨ交于Ｐ点 ,直线ＥＪ、ＦＫ交于Ｉ点 ,ＡＤ ⊥ＢＣ于Ｄ ,求证 :Ｐ、Ａ、Ｉ、Ｄ四点共线 .(江苏省苏州市第十中学 沈建平 2 1 5 0 0 6)证明 设ＢＣ=ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ =ｃ ,Ｒ是△ＡＢＣ外接圆半径 ,直线ＥＧ、ＡＤ交于Ｐ′ ,直线ＦＨ、ＡＤ交于Ｐ″,下面设法证明Ｐ、Ｐ′、Ｐ″是同一点 .因为ｃ+ＡＨ=ａ+ＣＦ ,所以ｃ + (ｂ-ＣＦ) =ａ +ＣＦ ,ＣＦ =ｂ+ｃ-ａ2 .在Ｒｔ△… 相似文献
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题 1 8 △ＡＢＣ是以Ｂ为直角顶点的直角三角形 ,ＡＢ =1 ,ＢＣ =2 ,Ｄ为ＢＣ中点 .直线ｌ过点Ａ且垂直于平面ＡＢＣ ,Ｐ是ｌ上异于Ａ的点 .1 )证明 ,Ｐ在ｌ上运动时 ,恒有∠ＢＰＤ<∠ＢＡＤ ;2 )证明 ,Ｐ在ｌ上运动时 ,∠ＣＰＤ <∠ＣＡＤ并不恒成立 ;图 1 题图3 )求∠ＣＰＤ的最大值 .解 1 )由ＰＡ⊥面ＡＢＣ和ＣＢ⊥ＡＢ ,知ＣＢ⊥ＰＢ ,于是有ｔｇ∠ＢＰＤ=ＤＢＰＢ <ＤＢＡＢ=ｔｇ∠ＢＡＤ ,而这两个角都是锐角 ,∴∠ＢＰＤ <∠ＢＡＤ .2 )∠ＣＰＤ ,∠ＣＡＤ也都是锐角 ,故∠ＣＰＤ <∠ＣＡＤ等价于ｃｏｓ∠ＣＰＤ >ｃｏｓ∠ＣＡ… 相似文献
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用三角法研究几何竞赛题,常可使题中各量之间的关系变得直接明了;可把几何变换和复杂的演绎推理转化为三角函数的运算,方法简单,思路清晰.沟通几何与三角的关系,除了直接利用三角函数的定义和有关的三角公式外,主要借助于正弦定理和余弦定理.例1 (1996年全国高中联赛试题)⊙Ｏ1与⊙Ｏ2和△ＡＢＣ的三边所在的三条直线都相切,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈ为切点,并且ＥＧ,ＦＨ的延长线交于Ｐ点.求证:ＰＡ⊥ＢＣ.证 如图1,延长ＰＡ交ＢＣ于Ｄ,连Ｏ1Ａ,Ｏ1Ｅ,Ｏ1Ｇ,Ｏ2Ａ,Ｏ2Ｆ,Ｏ2Ｈ,则ＥＤＤＦ=Ｓ△ＰＥＤＳ△ＰＦＤ=ＰＥｓｉｎ∠1ＰＦｓｉｎ∠2.在△ＰＥＦ… 相似文献
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问题 已知ＰＡ⊥平面ＡＢＣ,如图1,我们称△ＡＢＣ是△ＰＢＣ在平面ＡＢＣ上的射影三角形,那么这两个三角形的顶角∠ＢＡＣ与∠ＢＰＣ哪一个大呢? 这个问题看起来非常简单,凭直觉都认为∠ＢＡＣ>∠ＢＰＣ.事实并非如此,剖析如下.图2∠ＢＡＣ>∠ＢＰＣ的情形1)过Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ.当垂足Ｄ在线段ＢＣ上时,因ＰＡ⊥平面ＡＢＣ,则ＰＤ⊥ＢＣ.在Ｒｔ△ＰＤＡ中,ＡＤ<ＰＤ.在ＰＤ上取一点Ａ′,使ＡＤ=Ａ′Ｄ.易证△Ａ′ＢＣ≌△ＡＢＣ,因此∠ＢＡ′Ｃ=∠ＢＡＣ,如图2.因∠ＢＡ′Ｄ>∠ＢＰＤ∠ＤＡ′Ｃ>∠ＤＰＣ∠ＢＡ′Ｃ>∠ＢＰＣ.从而∠ＢＡ… 相似文献
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20 0 1年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 30 6 △ＡＢＣ中 ,∠ＡＢＣ=70° ,∠ＡＣＢ =30° ,Ｐ为形内一点 ,∠ＰＢＣ =40°,∠ＰＣＢ =2 0° .求证 :ＣＡ·ＡＢ·ＢＰＡＰ·ＰＣ·ＣＢ =1(黑龙江绥化教育学院 田永梅 1 52 0 54)证明 如图 1 ,以ＡＢ为一边在△ＡＢＣ内作正△ＤＡＢ ,连ＤＰ ,ＤＣ .在ＡＣ上取一点Ｅ ,使ＥＣ=ＤＣ ,连ＰＥ .由∠ＡＣＢ =30° ,可知Ｄ为△ＡＢＣ的外心 ,有∠ＤＣＢ =∠ＤＢＣ =1 0° .由∠ＤＣＰ=1 0°=∠ＡＣＰ ,可知Ｅ与Ｄ关于ＰＣ对称 ,有∠ＰＤＣ =∠ＰＥＣ ,ＰＥ =ＰＤ .由∠ＰＢＡ =30°… 相似文献
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1 △ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1 题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即 ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有 ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ … 相似文献
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《中学生数学》2003,(8)
初一年级1.50 .2 .令 Ｃ =1× 2× 3×…× 10 0 2 ,Ｄ =2× 4× 6×…× 2 0 0 4 .∵ Ａ·Ｃ =Ｂ·Ｄ ,∴ ＡＢ =ＤＣ =2 10 0 2 .3.周长为 3× ( 43) 3 =6 4初二年级1.∵ ｐ2 +ｑ2 =ｐ2 ·ｑ2 , ∴ 1ｐ2 +1ｑ2 =1.∴ 原式 =ｐ|ｑ|- ｑ|ｐ|.当 ｐ <0 <ｑ时 ,原式 =ｐ2 +ｑ2ｑ·ｐ =ｐｑ ,当ｑ <0 <ｐ时 ,原式 =- ｐｑ .图 12 .如图 1,由于ＡＢＣＤＥＦ的各内角都是钝角 ,那么ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ三边所在直线 ;ＢＣ、ＤＥ、ＡＦ三边所在直线 ,分别可构成△ＰＱＲ、△Ｐ′Ｑ′Ｒ′ ,而∠Ｐ =∠ＡＢＣ -∠ＰＣＢ ,∠Ｐ′ =∠ＤＥＦ -∠… 相似文献
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数学问题解答 总被引：2，自引：0，他引：2
20 0 1年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 46 已知 :点Ｐ是△ＡＢＣ内一点 ,∠ＰＡＢ =∠ＰＢＣ =∠ＰＣＡ=α.Ａ′Ｂ′,Ｂ′Ｃ′,Ｃ′Ａ′分别过Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点 ,且分别垂直于ＰＡ ,ＰＢ ,ＰＣ .求证 :Ｓ△ＡＢＣ =Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ｓｉｎ2 α(江西省宜丰县二中 龚浩生 3 3 63 0 0 )证明 如图 ,过点Ｃ′作Ｃ′Ｄ⊥Ｂ′Ｐ于Ｄ ,连结ＣＤ .因为 ＰＡ⊥Ａ′Ｂ′ ,ＰＢ⊥Ｂ′Ｃ′所以 Ａ ,Ｂ′,Ｂ ,Ｐ四点共圆所以 ∠ＤＢ′Ｂ =∠ＰＡＢ =α又显然 ,Ｐ ,Ｂ ,Ｃ′,Ｄ ,Ｃ五点在以ＰＣ′为直径的圆上 .所以 ∠ＰＤＣ =∠Ｐ… 相似文献
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Ａ组一.填空题:(每小题3分,共24分)1.在△ＡＢＣ中,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ=1∶2∶3,那么△ＡＢＣ是三角形.2.如果等腰三角形的腰长为10ｃｍ,那么底边长的取值范围是.3.Ｒｔ△ＡＢＣ的两锐角的平分线交成的角是.4.“对顶角相等”的逆命题是.5.在一个钝角三角形中,已知一个锐角等于30°,则另一个锐角ｘ的取值范围是.6.在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中,ＡＢ=ＤＥ,∠Ａ=∠Ｄ,欲使△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ,则根据边角边公理还需;根据角边角公理还需;根据角角边公理还需.7.如果等腰三角形两边长分别是8ｃｍ和13ｃｍ,那么它的周长为.8.在△ＡＢＣ中,∠Ｂ=70°,ＡＤ是… 相似文献
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一 .什么是“三线合一”在等腰三角形中 ,顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 ,简称“三线合一” .二 .“三线合一”的应用如右图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,(1 )∵ＡＢ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,ＢＤ =ＤＣ .(2 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＢＤ =ＤＣ ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,∠ 1 =∠ 2 .(3 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ⊥ＢＣ ,∴ＢＤ =ＤＣ ,∠ 1 =∠ 2 .根据以上三个推理 ,灵活运用它们 ,是解题的关键 .例 1 一个等腰三角形底边上的高为 3ｃｍ ,那么它底求证 :ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ .(2 )当Ｐ不是边ＡＢ的中点时 ,ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ 是否仍然成立 ?请证明你的结论 .(北京市宣武区 2 0 0 1年初中升学统一考试题 )(1 )分析 :由于Ｐ是ＡＢ的中点 ,所以ＰＡ =ＰＢ ,从而 ＰＡＰＢ=1 .欲证 ＰＡＰＢ =ＣＭＣＮ,只需证 ＣＭＣＮ =1 ,即证ＣＭ =ＣＮ .连结ＰＣ ,因为ＡＣ =ＢＣ ,ＰＡ =ＰＢ ,根据“三线合一” ,得ＰＣ⊥ＡＢ ,ＰＣ平分∠ＡＣＢ ,即∠ＡＣＰ =∠ＢＣＰ .依题意得折痕ＭＮ⊥ＰＣ ,所以ＭＮ∥ＡＢ ,从而得∠ＣＭＮ=∠... 相似文献
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20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1 三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1 (直接法 ) 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同… 相似文献
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预备定理 设斜截三棱柱ＥＦ ＡＢＣＤ中 ,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ ,(如图 1)则斜截三棱柱的体积为Ｖ =(λ +ｍ + 1)3(ｍ + 1) ·Ｓ·ｈ .该定理证明见文 [1],从略 .已知棱台Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＡＢＣ中 ,设Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ =Ｓ1,Ｓ△ＡＢＣ=Ｓ2 ,高为ｈ ,试推导三棱台的体积公式 .图 2 棱台解 如图 2 ,作Ａ′Ｄ∥ＢＢ′ ,Ｃ′Ｅ∥ＢＢ′分别交ＡＢ ,ＣＢ于Ｄ ,Ｅ .其中Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＤＢＥ为三棱柱 ,值得注意的是几何体Ａ′Ｃ′ ＡＤＥＣ即为上文所提到的斜截三棱柱 ,对其应用定理 :λ… 相似文献
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定理 1 过三角形的重心任作一条直线 ,把这三角形分成两部分 ,证明 :这两部分面积之差不大于整个三角形面积的 19.图 1 定理 1图分析 如图 1,过△ＡＢＣ的重心Ｇ的任意直线分别交ＡＢ ,ＡＣ于Ｅ ,Ｆ ,过Ｇ作平行于底边ＢＣ的直线分别交ＡＢ ,ＡＣ于Ｐ ,Ｑ .先证明 :ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ=Ｓ9,这里Ｓ表示△ＡＢＣ的面积 .事实上 ,ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ =Ｓ - 2ＳＡＰＱ=Ｓ - 2·4Ｓ9=Ｓ9.后证明 :ＳＥＢＣＦ-ＳＡＥＦ<ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ (1)由于∠ＥＰＧ =∠Ａ ∠ＡＱＰ >∠ＡＱＰ ,故能在△ＥＰＧ内作直线ＰＲ ,使∠ＲＰＧ =∠ＧＱＦ ,… 相似文献
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《数学通报》2001,(11)
20 0 1年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 3 6 ⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ垂直于非直径的弦ＣＤ ,弦ＡＥ与半径ＯＣ交于点Ｆ ,弦ＤＥ交弦ＢＣ于点Ｇ .求证 :ＦＧ∥ＡＢ .(四川省普格县荞窝农场子弟学校 王承宣 6 1 5 3 0 2 )证明 如图 ,连结ＢＤ、ＣＡ .∵ＡＢ ⊥ＣＤ ,∴ ＣＡ =ＤＡ ,ＣＢ=ＢＤ ,∴∠ＣＯＡ =∠ＣＢＤ ,又ＡＯ =ＣＯ ,∴∠ＡＣＦ =∠ＧＣＤ ,又∠ＥＡＯ=∠ＥＤＢ ,∠ＣＡＦ=∠ＣＤＥ ,∴△ＡＣＯ ∽△ＣＢＤ ,△ＡＯＦ∽△ＤＢＧ ,△ＡＣＦ∽△ＤＣＧ ,∴ ＣＦＣＧ =ＡＣＣＤ =ＡＯＢＤ =ＦＯＧＢ,即 ＣＦＦＯ =Ｃ… 相似文献