多项式基函数法

提出一种新型的数值计算方法--基函数法.此方法直接在非结构网格上离散微分算子,采用基函数展开逼近真实函数,构造出了导数的中心格式和迎风格式,取二阶多项式为基函数,并采用通量分裂法及中心格式和迎风格式相结合的技术以消除激波附近的非物理波动,构造出数值求解无粘可压缩流动二阶多项式的基函数格式,通过多个二维无粘超音速和跨音速可压缩流动典型算例的数值计算表明,该方法是一种高精度的、对激波具有高分辨率的无波动新型数值计算方法,与网格自适应技术相结合可得到十分满意的结果.     

由二元函数全微分求积一例所想到的

通过二元函数全微分求积一例，指出为了保证终点M(x，y)取遍所给定的单连通的开区域G，求得定义在G内的原函数u(x，y)，所选取的积分路径不含有δP/δy及δO/δx不连续的点，必须根据具体情况因制宜选择正确的积分路径，否则会产生错误。     

基于径向基函数插值的积分方程求解

将径向基函数(radial basis function,RBF)插值引入积分方程的求解中,具体将待求函数表示为RBF的线性组合,再通过配点法将积分方程离散为线性或非线性方程组,求得权系数后给出待求函数的近似表示.论文选用的RBF是插值性能优异的多重二次曲面(multiquadric,MQ)函数,能在较少节点下取得较高的近似精度;而且RBF定义为距离的函数,在三维或高维插值时仅需改变距离公式,因而便于推广到高维积分方程求解中.在RBF插值矩阵的构造中,元素的积分计算分别通过高斯积分或基于区域剖分的数值求积完成,实现了一维、二维下Fredholm和Volterra方程的求解.算例结果表明:论文方法具有实施方便和精度较高的优点,是一种适合积分方程求解的新方法.     

RBF-PU方法求解二维非局部扩散问题和近场动力学问题

采用单位分解径向基函数(radial basis function partition of unity,RBF-PU)方法,数值求解了二维非局部扩散问题和近场动力学问题。主要思想是对求解区域进行局部划分,在局部子区域上分别进行函数逼近,然后加权得到未知函数的全局逼近。这种基于方程强形式的径向基函数方法在求解非局部问题时,不需要处理网格与球形邻域求交的问题,避免了额外的一层积分计算,实施简便,计算量小。数值实验显示计算结果与解析解吻合较好,RBF-PU方法可以准确有效地求解非局部扩散方程和近场动力学方程。     

求解粘性流体和热迁移联立方程的迎风局部微分求积法

微分求积方法(DQM)已成功地应用于数值求解流体力学中的许多问题．但是已有的工作大多限于正规区域的流动问题,同时缺少用迎风机制来描述流体流动的对流特性．该文对一个不规则区域中的不可压缩层流和热迁移的耦合问题给出了一种具有迎风机制的局部微分求积方法,对通过边界和坐标不平行的收缩管道中的流体,只用少数网格点得到了比较好的数值解．和有限差分方法（FDM）相比较,这一方法具有计算工作量少、存储量小和收敛性好等优点．     

二维非饱和土壤水分运动方程的径向基配点差分法

针对二维非饱和土壤水分运动方程,将径向基配点法结合差分法构造了一种新的数值算法.该算法先采用差分法处理非线性项,再利用径向基函数配点法的隐格式求解方程,避免了因非线性项的存在导致不能直接使用配点法的现象,并且证明了该算法解的存在唯一性.通过对非饱和土壤水分运动的数值模拟,并采用试验数据对新算法进行了验证,模拟结果与试验结果非常吻合,表明该算法实用、有效.同时,比较分析了不同径向基函数以及不同算法的模拟精度,结果表明,与MQ函数和Guass函数相比,新的径向基函数具有更好的模拟精度,且相对于有限差分法和有限元法,本文提出的方法具有一定的优越性.     

一类无穷下级整函数的Julia集的径向分布

主要研究方程f"(z)+A(z)f'(z)+B(z)f(z)=0(A(z)),B(z)为整函数)的解、解的多项式或微分多项式这些具有无穷下级的整函数的Julia集的径向分布问题.     

基于Gauss全局径向基函数的近岸浅水变形波高数值计算新方法

应用Gauss全局径向基函数来模拟波浪浅水变形波高变化方程中的未知函数,经实例分析探讨得到了一种可用于求解该方程数值解的新方法,并将其计算结果与常用数值分析方法得到的数值解相互对比印证,证明了基于Gauss全局径向基函数法计算结果的正确性.经验证,Gauss径向基函数法的平均计算误差相比其他方法均要小,表明该方法拥有更高的计算精度.同时,根据Gauss全局径向基函数的逼近结果,得出了浅水变形波高变化微分方程数值解的拟合函数,在实际工程中,可以利用该拟合函数来代替原方程的解析解,研究成果可为求解近岸浅水区域波浪运动提供一种新思路.     

求解扩散方程的非对称径向基函数配点法

本文针对扩散方程,借助于Halton节点,基于径向基函数和迭代法提出一种新的无网格方法.该方法在时间层上采用全隐离散,在空间层上构造了θ-型迭代格式,然后利用径向基函数去逼近未知函数.由于本文采用紧支集径向基函数,因而导出的离散系统矩阵是稀疏的,且有较好的条件数.最后通过数值实验验证新方法的有效性.     

轴对称Poisson方程的Trefftz有限元解法

将径向基函数应用到一类轴对称Poisson方程的数值求解中,提出了一种Trefftz有限元计算格式.非0右端项将问题的特解引入Trefftz单元域内场,致使单元刚度方程涉及区域积分.利用径向基函数对特解近似处理,可消除区域积分,从而保持Trefftz有限元法只含边界积分的优势.为获得特解,选取求解域内所有单元的节点和形心作为基本插值点,而在求解域之外构造一个虚拟边界,在其上布置一定数目的虚拟点作为额外插值点.数值算例验证了该方法的有效性和可行性.     

不带微商的边界型求积公式

本文在不带微商项的条件下,对一些特殊区域构造了具有最高代数精确度的边界型求积公式。还对某些较广泛的区域解决了构造3次边界型或非边界型求积公式的“最少结点数”的问题。 首先,我们在立方体区域上将Sadowsky的42点5次边界型求积公式的结点个数减少到32点,并证明了要构造立方体区域上的5次边界型对称求积公式,结点个数不能少于32。文中还构造出n维双层球壳区域上具有最高(3次)代数精度和最少结点个数((2n+2)点)的边界型求积公式。因此,[5]中构造出的3维双层球壳区域上的8点3次边界型求积公式是“最少结点数”的求积公式。最后,证明了对于2维、3维轴对称区域(即关于所有坐标轴都对称的区域)构造3次求积公式,至少分别用到4个和6个结点。对于n维球域构造3次求积公式至少要用到2n个结点。 本文出现的求积公式都是不带微商项的。     

球面混合插值的逼近性质

球面径向基函数(SBF)和多项式样条函数均为处理球面散乱数据的有效工具. 本文考虑由球面径向基函数与球面多项式函数组成的混合插值模型, 并利用最小二乘法求解该模型. 对于该插值模型, 首先, 给出带Bessel势的Sobolev空间中的Bernstein不等式, 然后利用该不等式建立逼近正定理,并进一步给出该插值工具的误差估计. 最后, 研究该插值方式(即利用最小二乘法求解混合插值模型)的稳定性.     

用“升阶法”求解一类一阶线性微分方程——兼谈逆向思维能力的培养

"升阶法"能够把一类特殊的一阶线性微分方程化为二阶常系数齐次线性微分方程求解,而一般的一阶线性微分方程的求解问题可以转化为二元函数全微分的求积问题.利用"升阶法"和"全微分法"对学生进行逆向思维训练,培养学生的创新思维能力.     

一类轴对称平面域上的求积公式

§1 引 言 设二维区域Ω,权函数p(x,y)0,(x,y)∈Ω。寻求以下的求积公式 y≈sum from j=1 to N(c_j(x_j,y_j)), (1.1)使其具有m次代数精度而结点数N为最小,其中c_j为权系数,(x_j,y_j)为结点,j=1,2,…N。我们称具有这种性质的求积公式为具有m次代数精度的最少结点求积公式,简称为最少结点求积公式。 研究各种求积公式中结点数下界,以及构造出各种区域上最少结点求积公式是很有意义的问题。由于求积公式的结点数下界对于固定的代数精度而言,是随积分区域而变化的。因此,只能对各种具体的区域来研究结点数下界的问题。例如和H.Moller     

求解Bratu型方程的径向基函数逼近法

基于径向基函数可以逼近几乎所有函数的强大逼近功能,借鉴弹塑性静力学的处理方法,提出位移、速度、加速度联合插值的径向基函数表达式,结合MATLAB数值软件进行计算机编程,成功求解了Bratu型强非线性方程,并给出相应的相对误差.通过分析几种典型的算例,并将计算结果与一些现有的数值分析法得到的数值解进行对比,表明了该方法的可行性和精确性,为求解强非线性Bratu型方程提供了一种新思路.     

基于模糊径向基函数神经网络的模糊数据建模研究

提出将模糊径向基函数神经网络(FRBFN)用于模糊数据的建模,并提出融和圆锥模糊向量的聚类方法和模糊线性回归的学习算法。仿真研究表明．FRBFN及其算法在模糊数据建模方面有一定的优势。     

非齐次弹性力学问题双互易边界元方法研究北大核心CSCD

基于弹性力学边界元方法理论,将边界元法与双互易法结合,采用指数型基函数对非齐次项进行插值得到双互易边界积分方程.将边界积分方程离散为代数方程组,利用已知边界条件和方程特解求解方程组,得出域内位移和边界面力.指数型基函数的形状参数是由插值点最近距离的最小值决定,采用这种形状参数变化方案,分析径向基函数(RBF)插值精度以及插值稳定性.再次将指数型基函数应用到双互易边界元法中,分析双互易边界元方法下计算精度及稳定性,验证了指数型插值函数作为双互易边界元方法的径向基函数解决弹性力学域内体力项问题的有效性.     

构造边界型求积公式的代数方法

众所周知,在被积函数具有连续性时,可以用代数方法构造不带微商项的边界型求积公式。但是这类公式的代数精度均有无法超越的先天界限,所以对低度光滑的被积函数(比如说具有一阶连续可微性)而言,构造这类边界型公式不能充分利用被积函数光滑性的条件,因而所得求积公式的代数精度较低,且一般无法再提高。另外,由于被积函数的光滑程度较低,用降维法构造边界型求积公式也不太适宜。在此种情况下,我们提出用代数方法构造带有一阶微商项的边界型求积公式。这类公式保留了简洁的特点,而且它的代数精度突破了不带微商的同类公式的先天界限。构造这类公式的基本原则仍然是     

结构动力响应中急动度的计算

急动度(jerk)在工程实践中具有重要的意义.将径向基函数逼近与配点法相结合,发展了一种能够有效求解动力响应的数值算法.该方法使用径向基函数插值来逼近真实的运动规律,能够用于急动度和急动度(三阶)方程的计算,弥补了传统的数值方法无法计算急动度的不足.并针对微分方程的特点,提出了改进的多变量联合插值函数,同时添加与微分方程同阶的初值条件,可显著减小数值震荡.算例表明,该方法具有计算过程简单、精度高的特点,同时对急动度方程也有很好的适用性.     

某类包含Hurwitz-Lerch Zeta函数的三阶积分算子

本文研究了包含Hurwitz-Lerch Zeta函数的积分算子W_(s,b)f(z)的关于亚纯函数的微分从属与微分超从属性质.利用三阶微分从属与微分超从属的定义,通过选取适当的允许函数,得到了由算子W_(s,b)f(z)定义的亚纯函数类的某些三阶微分从属和微分超从属结果,进而得到Sandwich型双从属结果,推广了二阶微分从属与超从属的相关结果.