一道上海高考题的探究与推广

一、分析与研究 2010年高考上海卷理科第23题第（Ⅱ）问： 设直线L1：y=k1x＋p交椭圆Г：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）于C,D两点,交直线L2：y=k2.x于点E.若k1·k2=-b2/a2,则E为CD中点。     

椭圆切线方程的两种巧妙求法

问题求椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）上一点P（x0,y0）处的切线方程.求椭圆上某点处的切线方程,通常是设出过切点的直线y-y0=k（x-x0）,联立直线与椭圆方程,由判别式Δ=0求解,往往计算量较大,容易望而却步;不少资料书上虽然给出了结论x0x/a2＋y0y/b2=1,但鲜有推导结论的方法,很多同学一知半解.授人以鱼,不如授人以渔,数学中不少结论和公式的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方法,     

一道调研试题的探源

南京市2014届高三第一次模拟考试的第18题是一道饶有趣味的解析几何题：在平面直角坐标系xOy中,如图1,已知过点（1,3/2）的椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的右焦点为F（1,0）,过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点,点B关于坐标原点的对称点为P,直线PA,PB分别交椭圆C的右准线l于M,N两点.（1）求椭圆C的标准方程;     

巧用圆的方程 妙解椭圆问题

在处理一类椭圆C：x^2＋y^2/a^2＋b^2=1（a〉0,b〉0,a≠b）与直线l：y=kx＋h的有关问题时,若能根据题意令x/a=x′,y/b=y′,即可把椭圆C、直线l分别变成圆C′：x′^2＋y′^2=1、直线l′：by′=kax′＋h,从而把椭圆与直线的位置关系问题转化为圆与直线的位置关系问题．如果需要还可以利用公式x/a=x′、y/b=y′将所得结果再转化回来．此法新颖、别致、简捷、实用,下面举例说明．     

一道解析几何调研题的解答、拓广及应用

问题已知圆O：x^2＋y^2=8交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴、直线l：x=-4为准线的椭圆． （Ⅰ）求椭圆的标准方程;     

有心圆锥曲线切线的一个性质

经研究发现,椭圆有如下的一个与切线有关的优美而简捷的性质。性质1若A1,A2为椭圆x2/a2＋b2/y2=1（a〉b〉0）的左、右顶点,P为椭圆上任意一点（不同于A1,A2）,直线PA1,PA2分别交直线l：x=t于点M,N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点。     

对一道2014年四川省高考试题的变式探究

2014年四川省高考数学试卷21题：已知椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程;（2）设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q。     

2014年高考四川卷理科第20题的解法赏析和推广

2014年高考已经落下帷幕,笔者特别关注了四川卷理科的第20题：例1（2014年四川卷理科第20题）已知椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程;（2）设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点.     

三个共轴等离心率椭圆的有趣性质

我们知道,椭圆x2/a2＋y2/b2=λ1（λ1〉0）与椭圆x2/a2＋y2/b2=λ2（λ2〉0,λ2≠λ1）有相同的对称轴（x轴和y轴）和相等的离心率e=（（2a-b2）/a）~（1/2）,下面我们给出关联三个共轴等离心率椭圆的两个有趣性质.定理1给定两个共轴等离心率椭圆C1：     

巧用椭圆的切点弦方程解题

命题从椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）外一点p（x0,y0）作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB的方程为x0x/a2＋y0y/b2=1．     

一类高考题的简解及探究

例1（2009年山东卷理科第22题）设椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,过M（2,√2）,N（√6,1）两点,0为坐标原点,（1）求椭圆E的方程;（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且蕊上魂？若存在,写出该圆的方程,并求｜AB｜的取值范围,若不存在说明理由．     

“圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质”再探

文[1]中给出如下定理： 定理1椭圆x^2/^a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0），A（a，0），直线l与椭圆交于C，D两点，则AC⊥AD←→直线l过定点（a（a^2-b^2）/a^2＋b^2，0）.     

椭圆的又一个有趣性质

椭圆有很多有趣的性质,本文再给出一个.性质1过椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的焦点斜率为k1的直线交椭圆于A、B两点,若C为线段AB的中点且直线OC的斜率为k2,则椭圆的离心率e满足e2=1 k1k2.证明设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x21a2 y21b2=1,x22a2 y22b2=1.两式相减得x21-x     

对一道2012年高考模拟试题的探究

安徽省安庆市2012年高三模拟考试(二模)文科第20题:已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,e=13,过F1的直线l交椭圆C于A、B两点,|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,且|AB|=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)M、N是椭圆C上的两点,若线段MN被     

落霞与孤鹜齐飞 秋水共长天一色——2012年浙江高考解析几何试题的本原探讨

一、问题的呈现问题已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为1/2,其左焦点到点P(2,1)的距离为姨%10,不过原点O的直线l与C相交于A、B两点,且线段AB被直线OP平分.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求△APB的面积取最大值时直线l的方程.     

2013年高考江西卷理科第20题的进一步探究与应用

文[1]《探究2013年高考江西卷理科第20题》从2013年高考江西卷理科第20题出发,一般化了椭圆的一个性质,并在双曲线、抛物线中进行类比推理,推广了这一性质,得到了如下三个结论：结论1已知点P（c,b2/a）,过椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的右焦点F任作一条不垂直于x轴的直线l,交椭圆C于A,B两点,     

例说解析几何中距离计算的转化策略

解析几何中，已知P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其间的距离由公式来求，但在涉及到直线与曲线相交等问题时，两点问的距离若用这个公式来求解，会显得复杂，而通过恰当的转化，则简单易求．这里总结常见的距离计算的转化方式，供复习参考．1距离与斜率的转化求直线与曲线相交时两交点间的距离，通常利用韦达定理转化为用直线的斜率k或线的交点坐标．例1椭圆与直线x＋y=1相交于A、B两点，C为AB中点，若O为坐标原点，OC斜率为，求a、b．例2已知椭圆，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，记．（1…     

试题研讨(6)

题 1　 (2 0 0 2年广州市高三测试题 )已知椭圆 C的中心在原点 ,焦点在 x轴上 ,离心率 e= 12 ,且经过点 M(- 1 ,32 ) .( )求椭圆 C的方程 :( )若椭圆 C上有两个不同点 P、Q关于直线 y =4x m对称 ,求 m的取值范围 .命题溯源　此题根据 1 986年广东省高考试卷末题改编而成 ,主要考查学生求曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系 ,以及综合运用数学知识解决问题的能力 .原解思路　 ( )依题意 ,设椭圆的方程为　 x2a2 y2b2 =1 (a >b >0 ) ,则1a2 94b2 =1 ,ca =12 ,a2 - b2 =c2 .解得　 a =2 ,b =3 ,c =1 .∴　椭圆 C的方程为　 x24 y23 =…     

综合题新编选登

题 79　已知P ,Q是椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 )上两个动点 ,O为原点 ,直线OP的斜率为k ,而直线OP与OQ的斜率之积为m ,且 p =|OP| 2 + |OQ| 2 是一个与k无关的定值 .1)求m ,p的值 ;2 )若双曲线Γ的焦点在x轴上 ,渐近线方程为y =±mx ,椭圆C与双曲线Γ的离心率分别为e1,e2 ,求e2 -e1的取值范围 .解　OP的方程为 :y =kx ,与椭圆C的方程联立 ,可得 :x2 =a2 b2b2 +a2 k2 ,∴ |OP| 2 =x2 + y2 =(1+k2 )x2=a2 b2 (1+k2 )b2 +a2 k2 .同理可求得 :|OQ| 2 =a2 b2 [1+ (mk) 2 ]b2 +a2 ·(mk) 2=(k2 +m2 )a2 b2a2 m2 +b2 k2 .∴ p =|OP| …     

2014年北京理科卷第19题的探究历程

2014年北京理科卷第19题：已知椭圆C：x2＋2y2=4,（1）求椭圆C的离心率.（2）设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2＋y2=2的位置关系,并证明你的结论.此题是近年解析几何中常考的一种题型──运动中的＂不变＂问题.考查椭圆方程、直线与圆的位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查转化化归思想、数形结合思想、特殊与一般等数学思想，是一道精心打磨的好题．