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[题目]设数列{a_n}的前n项之和S_n,a_1=1且a_m~2+1=S_(n+1)+S_n(n∈N),求数列{a_n}的通项公式。(摘自新江《中学教研》1992年第七期《培养学生观察能力浅见》一文) 此题常见解法是: ∵a_(n+1)~2-a+_n~2=S_(n+1)-S_(n-1)=a_(n+1)+a_n (1) a_(n+1)~2-a_n~2=(a_(n+1)-a_n)(a_(n+1)+a_n) (2) 由(1)、(2)得:a_(n+1)-a_n=1 (3) 或a_(n+1)+a_n=0 (4) ∴数列{a_n}是公差为1的等差数列或公比为-1的等比数列。故a_n=a_1+(n-1)·1=n 或a_n=a_1(-1)~(n-1)=(-1)~(n-1) 此解法似无懈可击。现有一个不同于其解答的数列{b_m}:1、2、3、-3、-2、-1、1、-1、0、1、-1、…(其中当m≥10时,b_n=(-1)~n)也满足题设条件a_1=1和 相似文献
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本文给出等差数列的两个判定方法,并举例说明其应用。 1.通项公式判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=k_n+b.(k,b为常数) 证:若{a_n}是公差为d的等差数列,则a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),记d=k,a_1-d=b,∴a_n=kn+。若a_n=kn+b,(k,b为常数),则a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+l)=k, (n=1,2,…) 故{a_n}是等差数列。 2.前几项和判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是S_n=an~2+bn,(a,b为常数) 证:若{a_n}是等差数列,则S_n=na_1+n(n-1)/2 d=(d/2)n~2+(2n_1-d)n/2 相似文献
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《中学生数学》2021,(15)
<正>等差数列{a_n}的首项为a_1,公差为d,其前n项和可以表示为:S_n=An2+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An2+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An2+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An2+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An2+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax2+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax2+Bx开口向下,f(0)=0,f(12)>0,f(13)<0,其对称轴x=x_0(x_0∈(6,6.5)),所以当n=6时,S_n取得最大值. 相似文献
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一般地,数列{a_n}若满足递归关系 a_n= ∫(a_(n-1),a_(n-2),…,a_(n-k)),那么它由递归关系及k个初始值确定,我们称其为递归数列。与递归数列有关的问题是数学竞赛中的一个热点。确定某些递归数列的通项在有关递归数列问题的研究中又占有重要地位,以下是几种常用方法。 1.代换法。例1 在数列{a_n}中,a_1=1,a_(n 1)=5a_n 1,求a_(n 1) 解依题设a_n 1=5a_n 1 ①以n代换n十1,可得 a_n=5a_(n-1) 1 ②①-②得a_(n 1)-a_n=5(a_n-a_(n-1))(n≥2) ③对③进行迭代,得 相似文献
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在等差数列{a_2}中,a_n=a_1+(n-1)d和S_n=na_1+1/2n(n-1)d即a_2=dn+(a_1-d)……(1)和S_n=1/2dn~2+(a_1-1/2d)n……(2)分别是特殊的一次函数和二次函数。(1)式的图象是直线y=dx+(a_1-d)上一系列的点(1,a_1),(2,a_2),…,(n,a_n),…,的集合,(2)式的图象是抛物线y=1/2dx~2+(a_1-1/2d)x上的一系列的点(1,S_1),(2,S_2),…,(n,S_n),…,的集合。根据上面的这种几何意义,对于等差数列,我们可以得到下面的一些关系。 相似文献
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<正>在2015年高考数学试题中,有7道数列试题就是"差比型"(等差数列和等比数列的乘积构成的新数列)数列的求和,本文试图从解法的角度来探究.一、试题展示(2015年高考湖北,理18)设等差数列{a_n}的公差为d,前n项和为S_n,等比数列{b_n}的公比为q.已知b_1=a_1,b_2=2,q=d,S_(10)=100.(Ⅰ)求数列{a_n},{b_n}的通项公式; 相似文献
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1985年第三届美国数学邀请赛(AIME)试题第五题是: 选取一列整数a_1,a_2,a_3,……,使得每个n≥3都有a_2=a_(n-1)-a_(n-2),若该数列的前1492项之和等于1985,而前1985项之和等于1492,那么前2001项之和是多少? 原参考答案根据关系式a_n=a_(n-1)-a_(n-2)所暗示的递推规律给出了一个探索性解答,这里将通过求通项公式的办法进行解答;并在此基础上得出两个一般性公式。解:∵ a_n=a_(n-1)-a_(n-2), ∴ a_n-a_(-1)+a_(-2)=0 易知此递推式乃二阶齐次线性递归方程,解相应的特征方程x~2 -x+1=0得: 相似文献
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一类线性循环数列的通项公式 总被引:1,自引:0,他引:1
定义:若数列{a_n}满足循环方程 a_n=C_1a_(n-1) C_2a_(n-2) ¨ C_ka_(n-k)其中n=k_1,k 2,…;C_k0,就称数列{a_n}是一个k阶线性循环数列。方程 相似文献
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类型1 a_(n 1)=pa_n q例1 (2006福建(理))已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n 1)=2a_n 1(n∈N~*),求数列{a_n}的通项公式.解由已知a_(n 1)=2a_(n 1),两边同除以2~(n 1),得(a_(n 1))/(2~(n 1))=(a_n)/(2~n) 1/(2~(n 1)).变形得(a_(n 1))/(2~(n 1)) 1/(2~(n 1))=(a_n)/(2~n) 1/(2~n),∴数列{(a_n)/(2~n) 1/(2~n)}是常数列,即(a_n)/(2~n) 1/(2~n)=(a_1)/2 1/2,故所求数列通项为a_n=2~n-1.点拨形如a_(n 1)=pa_n q(p、q常数,p≠1,q≠0)的递推关系求通项,通常先两边同除以 相似文献